Probabilidades de Eventos Combinados

Una pareja tiene dos hijos. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean varones?

Solución

Dado que hay la misma probabilidad de tener un niño o una niña, la probabilidad de que uno de los hijos sea niño es $P("Boy")=0.5$.

Como el resultado del primer hijo (que sea niño o niña) no afecta al resultado del segundo, podemos decir que el sexo de cada hijo es independiente. Por tanto:

$P("Twoboys")=P("Boy")\times P("Boy")=0.5\times 0.5=0.25$

Tiras un dado normal de 6 caras. ¿Cuál es la probabilidad de que saques un 3 o un 5?

Solución

Como no puedes sacar 3 y 5 al mismo tiempo, estos dos sucesos se excluyen mutuamente. Esto significa que podemos aplicar la regla de la "suma":

$P("rolling3"\cup "rolling5")=P("rolling3")+P("rolling5")=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$

Hay 4 manzanas rojas idénticas. Dos de ellas son venenosas y las otras dos son inofensivas. Sin embargo, el veneno no es muy fuerte. Sólo morirás si comes las dos manzanas venenosas consecutivamente.

Te comes tres de las manzanas. ¿Cuál es la probabilidad de que vivas?

Solución

Denominemos "P" a las manzanas venenosas y "A" a las manzanas normales. La combinación de todos los resultados posibles es la siguiente

AAP, APA, PAA, PAP, PPA, APP

Sólo morirás si consumes dos manzanas venenosas consecutivamente. Por tanto, sobrevivirás si el resultado es AAP, APA, PAA o PAP. Utilizando la fórmula básica de la probabilidad:

$P("Surviving")=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

Por tanto, la probabilidad de sobrevivir es $\frac{2}{3}$

El 45% de los propietarios de mascotas tienen perros, y el 4% tienen perros y gatos. Dado que alguien tiene un perro, ¿qué probabilidad hay de que también tenga un gato?

Solución

Primero, utiliza la fórmula de probabilidad condicional para expresar matemáticamente la pregunta:

A continuación, introduce los números de la pregunta y calcula la respuesta:

$P("Cat"|"Dog")=\frac{P("Cat"\cap "Dog")}{P("Dog")}=\frac{0.04}{0.45}=\frac{4}{45}=0.0889$ a 3 s.f.

La tasa de infección de una enfermedad concreta en una población es del 1%. La prueba para detectar esta enfermedad es exacta el 99% de las veces. Demuestra esta información utilizando un árbol de probabilidades.

Solución

Si la prueba tiene una precisión del 99%, significa que

• si das positivo, hay un 99% de probabilidades de que tengas la enfermedad
• si das negativo, hay un 99% de probabilidades de que no tengas la enfermedad

Podemos ilustrarlo de la siguiente manera:

Diagrama de árbol 1

La segunda columna de ramas, etiquetadas como "infectado" y "sano", indica las probabilidades condicionales.

Por ejemplo, las ramas exteriores indican la probabilidad de que alguien esté infectado si da positivo en la prueba:

Diagrama de árbol 2

Podemos utilizar este diagrama para, por ejemplo, hallar la probabilidad de que alguien esté infectado si da negativo. Lee el diagrama como sigue:

Diagrama de árbol 3

Podemos ver que $P\left(Infected\right|Negative)=0.01$.

Otra interpretación es que la información a la izquierda del símbolo "dado que" indica el resultado de la primera rama. La información a la derecha del símbolo "dado que" indica el resultado de la segunda serie de ramas.

Tomemos el escenario del ejemplo anterior. ¿Cuál es la probabilidad de que alguien esté infectado y dé negativo?

Solución

En primer lugar, reformula la pregunta utilizando la fórmula de la probabilidad condicional:

De nuestro diagrama de árbol anterior, sabemos que la probabilidad de que alguien esté infectado dado que da negativo es 0,01. También sabemos que la probabilidad global de que alguien dé negativo es de 0,99.

Introduce estas probabilidades y reordénalas:

$P\left(Infected\right|Negative)=0.01=\frac{P(Infected\cap Negative)}{0.99}$

Por tanto, la probabilidad de dar negativo y estar infectado es de 0,0099.