Probabilidades Mutuamente Exclusivas

Definición de sucesos mutuamente excluyentes

Tomemos como ejemplo el lanzamiento de una moneda: puede salir cara o cruz. Como evidentemente son los únicos resultados posibles y no pueden darse al mismo tiempo, llamamos a los dos sucesos "cara" y "cruz" mutuamente excluyentes. La siguiente es una lista de algunos sucesos mutuamente excluyentes :

• Los días de la semana: ¡no puede darse el caso de que sea lunes y viernes a la vez!

• Los resultados de una tirada de dados

• La selección de una carta "diamante" y otra "negra" de una baraja

Lo siguiente no es mutuamente excluyente, ya que podría ocurrir simultáneamente:

• Elegir un "trébol" y un "as" de la baraja

• Sacar un "4" y sacar un número par

Intenta pensar en tus propios ejemplos de sucesos mutuamente excluyentes para asegurarte de que entiendes el concepto.

Probabilidad de sucesos mutuamente excluyentes

Ahora que entiendes lo que significa la exclusividad mutua, podemos definirla matemáticamente.

Tomemos los sucesos mutuamente excluyentes A y B. No pueden ocurrir al mismo tiempo, por lo que podemos decir que no hay intersección entre ambos sucesos. Podemos demostrarlo mediante un diagrama de Venn o utilizando la notación de conjuntos.

Representación de la exclusividad mutua en un diagrama de Venn

Sucesos mutuamente excluyentes

El diagrama de Venn muestra muy claramente que, para ser mutuamente excluyentes, los sucesos A y B tienen que estar separados. De hecho, puedes ver visualmente que no hay solapamiento entre los dos acontecimientos.

La representación de la exclusividad mutua en notación de conjuntos

Recuerda que el símbolo "$\cap$" significa "y" o "intersección". Una forma de definir la exclusividad mutua consiste en señalar que la intersección no existe y, por tanto, es igual al conjunto vacío:

$A\cap B=\varnothing$

Esto significa que, como la intersección de A y B no existe, la probabilidad de que A y B se den juntos es igual a cero:

$P(A\cap B)=0$

Regla para eventos mutuamente excluyentes

Otra forma de describir sucesos mutuamente excluyentes utilizando la notación de conjuntos es pensar en la "unión" de los sucesos. La definición de unión en probabilidad es la siguiente:

$P(A\cup B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P(A\cap B)$.

Como la probabilidad de la intersección de dos sucesos mutuamente excluyentes es igual a cero, tenemos la siguiente definición de sucesos mutuamente excluyentes, que también se conoce como "regla de la suma" o regla "o":

Es una regla muy útil de aplicar. Echa un vistazo a los siguientes ejemplos.

Ejemplos de probabilidad de sucesos mutuamente excluyentes

En esta sección, trabajaremos con un par de ejemplos de aplicación de los conceptos anteriores.

Sucesos independientes y sucesos mutuamente excluyentes

A veces los alumnos confunden los sucesos independientes con los sucesos mutuamente excluyentes. Es importante conocer las diferencias entre ellos, ya que significan cosas muy distintas.