Sucesos dependientes e independientes

Si tienes una bolsa con 6 bolas rojas y 4 azules, y sacas una bola de la bolsa, ¿cuál es la probabilidad de que esa bola sea azul?

Solución:

\[P(\text{de que la pelota sea azul})=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}=0,4=40%\]

Por ejemplo, al lanzar una moneda dos veces, el resultado del primer suceso no afecta a la probabilidad del segundo. La probabilidad de obtener cara la primera vez es \(\frac{1}{2}\), y la probabilidad de obtener cara la segunda vez también es \(\frac{1}{2}\).

Dado que \(P(A)=0,6\), \(P(B)=0,5\) y \(P(A\cap B)=0,4\), demuestre que \(A\) y \(B\) no son sucesos independientes.

Solución:

\(P(A\cap B)=P(A)·P(B)=0,6·0,5=0,3\neq 0,4\)

Por lo tanto, \(A\) y \(B\) no son sucesos independientes.

Tienes una bolsa con \(12\) bolas: \(6\) rosas, \(4\) azules y \(2\) amarillas, y sacas \(2\) bolas de la bolsa, sustituyendo la bola cada vez. ¿Cuál es la probabilidad de elegir una bola azul y una amarilla?

Solución:

Veamos esto, más claramente, en un diagrama de árbol:

Fig. 3: Diagrama de árbol del ejemplo para las pelotas.

El hecho de que la pelota vuelva a meterse en la bolsa cada vez significa que los sucesos son independientes, por lo que podemos utilizar la regla de la multiplicación para hallar la probabilidad de que ambos sucesos ocurran juntos.

Observando el diagrama de árbol, podemos ver que hay dos posibles caminos a seguir:

1. Conseguir primero una bola azul y después una amarilla.
2. Conseguir primero una bola amarilla y después una azul.

Utilizando la regla de la multiplicación \(P(A\cap B)=P(A)·P(B)\), ambos caminos dan la misma probabilidad \(\frac{8}{144}\).

Como puedes ver en el diagrama de árbol, ahora tienes que sumarlos para calcular la probabilidad de que cualquiera de los resultados sea 1 o 2:

\[P(1 o 2)=\dfrac{8}{144}+\dfrac{8}{144}=\dfrac{16}{144}=\dfrac{1}{9}=0,11111=11,1%\]

Hay tres sorteos diferentes, cada uno con un total de 50 números. Si compras 1 boleto para la rifa 1, 5 boletos para la rifa 2 y 10 boletos para la rifa 3. ¿Cuál es la probabilidad de que ganes las tres rifas?

Solución:

A = ganar la rifa 1

B = ganar la rifa 2

C = ganar la rifa 3

Los tres sucesos son independientes, ya que la ocurrencia de cada suceso no afecta a la probabilidad de ninguno de los otros sucesos. Por lo tanto, podemos utilizar la fórmula de la regla de multiplicación expandida de la siguiente manera:

\[P(A\cap B\cap C)=P(A)·P(B)·P(C)\]

\[P(A\cap B\cap C)=\dfrac{1}{50}·\dfrac{2}{50}·\dfrac{10}{50}=0,00016=0,016%\]

La probabilidad de ganar las tres rifas es del \(0,016%\).

Si eliges dos cartas de una baraja de póker, sin devolver la carta después de elegirla, la probabilidad de obtener un as en el primer suceso es \(\frac{4}{52}\). Sin embargo, la probabilidad de obtener un as en la segunda carta cambiará, en función de lo que haya ocurrido en el primer suceso:

• Si la primera carta era un as, entonces la probabilidad de obtener otro as será \(\frac{3}{51}\); porque ya se ha elegido un as y tenemos una carta menos en la baraja.
• Si la primera carta no era un as, entonces la probabilidad de obtener un as en el segundo suceso es \(\frac{4}{51}\).

Volviendo al ejemplo anterior, la probabilidad de obtener dos ases de una baraja, sin reemplazar cartas es la siguiente:

A= obtener un as en el primer evento

B= obtener un as en el segundo evento

\[P(A\cap B)=P(A)·P(B|A)\]

\[P(A\cap B)=\dfrac{4}{52}·\dfrac{3}{51}=\dfrac{12}{2652}=0,004=0,4%\]

Tres amigos van a la heladería. Pueden elegir entre 12 sabores diferentes. ¿Cuál es la probabilidad de que los tres amigos pidan un helado de distinto sabor?

Solución:

Si pensamos en el escenario planteado, podemos observar que:

• El primer amigo podrá elegir entre los 12 sabores.
• El segundo amigo podrá elegir entre 11 sabores, de modo que sea diferente a la primera elección.
• Y el tercer amigo podrá elegir entre 10 sabores.

Por lo tanto, la ocurrencia de un evento afecta la probabilidad del siguiente, por lo que los eventos son dependientes.

A = El primer amigo pide un sabor de helado.

B = El segundo amigo pide un sabor de helado diferente al primero.

C = El tercer amigo pide un sabor de helado diferente al del primero y al del segundo.

\[P(A\cap B\cap C)=P(A)·P(B|A)·P(C|A\cap B)\]

\[P(A\cap B\cap C)=\dfrac{12}{12}·\dfrac{11}{12}·\dfrac{10}{12}=\dfrac{1320}{1728}=0,7638=76,38%\]

La probabilidad de que los tres amigos pidan sabores diferentes es del \(76,38%\).