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Este es un problema típico sobre el teorema de la probabilidad total. Cuando tienes un suceso (que un coche tenga un fallo) que puede producirse en distintas particiones (cada una de las fábricas), hay que tener en cuenta la probabilidad de que el coche sea de una fábrica en concreto y la probabilidad de obtener un coche con fallo.
En este artículo te enseñaremos cómo resolver este problema. También introduciremos en el tema de diagramas de árbol, puesto que ésta es una herramienta muy útil para entender el problema que tenemos delante. Así que, ¡empecemos!
¿Qué es el teorema de la probabilidad total?
El teorema de la probabilidad total nos da la probabilidad de un suceso que puede darse en cualquiera de las particiones, que es la suma de la probabilidad de tener esa partición multiplicada por la probabilidad de tener ese suceso en esa partición en concreto.
Para entender el teorema de la probabilidad total tienes que tener claro el concepto de la probabilidad condicionada y el de partición. Por eso, daremos un ligero repaso.
Probabilidad condicionada
Si \(A\) y \(B\) son dos sucesos dentro de un experimento aleatorio, la probabilidad de \(A\) condicionada por \(B\) es:
\[P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\]
Por supuesto, podemos operar con esta fórmula para llegar a:
\[P(A\cap B)=P(B)·P(A|B)\]
Que, a su vez, es lo mismo que:
\[P(A\cap B)=P(A)·P(B|A)\]
Esto se lee como: la probabilidad de que ocurran a la vez los sucesos \(A\) y \(B\) es la probabilidad de que ocurra \(A\) multiplicada por la probabilidad de que ocurra \(B\), que está condicionada por la ocurrencia de \(A\).
De una bolsa que tiene 6 pelotas verdes y 8 pelotas amarillas se sacan dos de ellas, una a una y sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera pelota sea verde y la segunda amarilla?
Solución:
Definimos los sucesos:
\(A\) = "La primera pelota es verde".
\(B\) = "La segunda pelota es amarilla".
El número de bolas total es 14. Por tanto:
\[P(A\cap B)=P(A)·P(B|A)=\dfrac{6}{14}·\dfrac{8}{13}=\dfrac{48}{182}\approx 0{,}26\]
Entonces, hay aproximadamente un 26% de probabilidad de que la primera sea verde y la segunda, amarilla.
Partición de un espacio muestral
Una vez que hemos entendido la probabilidad condicionada, podemos explicar lo que es la partición del espacio muestral.
Los sucesos \(A_1\), \(A_2\), ..., \(A_n\) forman una partición del espacio muestral \(E\), si cumplen con que:
- Son incompatibles entre sí: \(A_i\cap A_j=\varnothing\), para todo \(i\neq j\).
- Todos suman el espacio muestral: \(A_1\cup A_2\,\cup\, ... \cup \,A_n=E\).
Viendo un ejemplo, lo entenderás fácilmente.
Los trabajadores de una empresa se dividen en 5 departamentos distintos. Se podría elegir un trabajador al azar y anotar el departamento en el que trabaja.
Los sucesos que llamamos \(A_j\) son "pertenecer al departamento \(j\)" y forman una partición del espacio muestral, puesto que la unión de todos los departamentos \(A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4\cup A_5=E\) forman el espacio muestral que sería ser un trabajador de la empresa (todos los departamentos juntos forman la totalidad de la empresa). Además los sucesos son incompatibles entre sí, porque un trabajador no puede ser de dos departamentos a la vez.
Teorema de la probabilidad total fórmula
Una vez que tenemos los conceptos anteriores ya entendidos, podemos pasar al teorema de la probabilidad total.
Se tienen los sucesos \(A_1, A_2, ..., A_n\), que forman una partición del espacio muestral \(E\); todos estos sucesos con probabilidad distinta de cero. Se tiene \(B\), que es un suceso cualquiera del espacio muestral; entonces, la probabilidad de \(B\) es:
\[P(B)=P(A_1)·P(B|A_1)+P(A_2)·P(B|A_2)+...+P(A_n)·P(B|A_n)\]
Esta es la regla o teorema de la probabilidad total.
Esto quiere decir que la probabilidad de un suceso que puede darse en cualquiera de las particiones es la suma de la probabilidad de tener esa partición, multiplicada por la probabilidad de tener ese suceso en esa partición en concreto.
Vamos a solucionar el problema del principio de este artículo para que entiendas mejor el teorema.
Una empresa de fabricación de coches tiene tres fábricas. La primera fábrica produce un \(40%\) del total de coches y la segunda fábrica produce otro \(15%\) del total. Por cada lote de producción se hace un control de calidad en todas las fábricas. En la primera fábrica, un \(0,05%\) de los coches analizados son defectuosos; en la segunda fábrica, esta cantidad asciende al \(0,08%\); mientras que en la tercera fábrica, baja al \(0,04%\).
¿Cuál es la probabilidad de coger un coche al azar y que sea defectuoso?
Solución:
Este problema se resuelve utilizando el teorema de la probabilidad total. Podemos ver que la partición del espacio muestral son cada una de las fábricas:
\(F_1\) = "Producido en la fábrica 1".
\(F_2\) = "Producido en la fábrica 2".
\(F_3\) = "Producido en la fábrica 3".
Como podemos observar, se trata de una partición, puesto que las producciones de las tres fábricas forman la producción de toda la empresa. Además, las producciones en las fábricas son incompatibles entre sí, porque un mismo producto no puede producirse en dos fábricas distintas a la vez.
Ahora, podemos asignar probabilidades para entender los datos que tenemos y lo que nos piden:
Probabilidad de haberse producido en la fábrica 1: \(P(F_1)=0{,}4\)
Probabilidad de haberse producido en la fábrica 2: \(P(F_2)=0{,}15\)
Probabilidad de haberse producido en la fábrica 3: \(P(F_3)=0{,}45\)
Probabilidad de haberse producido en la fábrica 1 y ser defectuoso: \(P(D|F_1)=0{,}05\)
Probabilidad de haberse producido en la fábrica 2 y ser defectuoso: \(P(D|F_2)=0{,}08\)
Probabilidad de haberse producido en la fábrica 3 y ser defectuoso: \(P(D|F_3)=0{,}04\)
Ahora, podemos calcular la probabilidad de escoger un coche de cualquier fábrica y que sea defectuoso, usando la fórmula de la probabilidad total:
\[P(D)=P(F_1)·P(D|F_1)+P(F_2)·P(D|F_2)+P(F_3)·P(D|F_3)\]
\[P(D)=0{,}4·0{,}05+0{,}15·0{,}08+0{,}45·0{,}04=0{,}05\]
Por tanto, la probabilidad de escoger un coche al azar y que sea defectuoso es del 5%.
Teorema de la probabilidad total y teorema de Bayes
Encontrarás el teorema de Bayes explicado en nuestro artículo del mismo nombre. Sin embargo, al ser un teorema muy importante y estar íntimamente relacionado con el teorema de la probabilidad total, lo explicaremos aquí brevemente.
Realmente, el teorema de Bayes se basa en el teorema de la probabilidad total, pero de manera inversa. Usamos la probabilidad de algo que ya sabemos para calcular la probabilidad del suceso del cual procede.
Si \(A_1\), \(A_2\), ..., \(A_n\) son los sucesos de una partición del espacio muestral \(E\) y se conoce la probabilidad de un suceso \(B\), la probabilidad del suceso \(A_j\) condicionada por el suceso \(B\) viene dada por:
\[P(A_i|B)=\dfrac{P(A_i\cap B)}{P(B)}=\dfrac{P(A_i)·P(B|A_i)}{P(A_1)·P(B|A_1)+P(A_2)·P(B|A_2)+...+P(A_n)·P(B|A_n)}\]
Como puedes ver en la fórmula anterior, el teorema de la probabilidad total se aplica en el denominador.
Vamos a hacer un ejemplo muy parecido al anterior, para que veas la diferencia.
Una empresa de fabricación de coches tiene tres fábricas; la primera fábrica produce un \(40%\) del total de coches y la segunda fábrica produce otro \(15%\) del total.
Por cada lote de producción, se hace un control de calidad en todas las fábricas. En la primera fábrica, un \(0,05%\) de los coches analizados son defectuosos; en la segunda fábrica, esta cantidad asciende al \(0,08%\); mientras que en la tercera fábrica, baja al \(0,04%\).
Se elige un coche al azar y resulta que es defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que este coche venga de la primera fábrica?
Solución:
Como puedes observar, la diferencia con el problema anterior es que ya sabemos que el producto es defectuoso; por tanto, lo que queremos encontrar es la probabilidad de que proceda de la primera fábrica.
Primero, asignamos probabilidades (como anteriormente) para hacer todo más claro:
Probabilidad de haberse producido en la fábrica 1: \(P(F_1)=0{,}4\)
Probabilidad de haberse producido en la fábrica 2: \(P(F_2)=0{,}15\)
Probabilidad de haberse producido en la fábrica 3: \(P(F_3)=0{,}45\)
Probabilidad de haberse producido en la fábrica 1 y ser defectuoso: \(P(D|F_1)=0{,}05\)
Probabilidad de haberse producido en la fábrica 2 y ser defectuoso: \(P(D|F_2)=0{,}08\)
Probabilidad de haberse producido en la fábrica 3 y ser defectuoso: \(P(D|F_3)=0{,}04\)
Ahora, lo que buscamos es la probabilidad de que \(F_1\) esté condicionado por \(D\); es decir, que el defecto sea de la primera fábrica:
\[P(F_1|D)=\dfrac{P(F_1)·P(D|F_1)}{P(D)}=\dfrac{P(F_1)·P(D|F_1)}{P(F_1)·P(D|F_1)+P(F_2)·P(D|F_2)+P(F_3)·P(D|F_3)}\]
\[P(F_1|D)=\dfrac{0{,}4·0{,}05}{0{,}4·0{,}05+0{,}15·0{,}08+0{,}45·0{,}04}=\dfrac{0{,}4·0{,}05}{0{,}05}=0{,}4\]
Por tanto, la probabilidad de que el coche defectuoso provenga de la primera fábrica es del \(40%\).
Teorema de la probabilidad total: ejercicios resueltos
Vamos a hacer un ejercicio más sobre el teorema de la probabilidad total, para que practiques este concepto.
Se tienen tres cajas con bolas negras y blancas. En la primera caja hay 8 bolas negras y 4 bolas blancas; en la segunda caja hay 5 bolas negras y 6 bolas blancas; y en la tercera caja hay 7 bolas negras y 4 bolas blancas. Calcula la probabilidad de sacar una bola al azar de cualquier caja y que sea negra.
Solución:
Primero vamos a aplicar el teorema de la probabilidad total para resolver este problema.
Podemos sumar todas las bolas para saber el total; esto es 34 bolas. Sabiendo la cantidad de bolas que hay en cada caja, podemos asignar las siguientes probabilidades:
- Probabilidad de sacar una bola de la caja 1: \(C_1=\dfrac{12}{34}\)
- Probabilidad de sacar una bola de la caja 2: \(C_2=\dfrac{11}{34}\)
- Probabilidad de sacar una bola de la caja 3: \(C_3=\dfrac{10}{34}\)
- Probabilidad de cada color en la caja 1: \(N=\dfrac{8}{12}\), \(B=\dfrac{4}{12}\)
- Probabilidad de cada color en la caja 2: \(N=\dfrac{5}{11}\), \(B=\dfrac{6}{11}\)
- Probabilidad de cada color en la caja 3: \(N=\dfrac{7}{10}\), \(B=\dfrac{4}{10}\)
Vamos ahora a calcular la probabilidad de sacar una bola negra que sea de cualquier caja:
\[\begin{align} P(N)&=P(B_1)·P(N|B_1)+P(B_2)·P(N|B_2)+P(B_3)·P(N|B_3)=\\&=\dfrac{12}{34}·\dfrac{8}{12}+\dfrac{11}{34}·\dfrac{5}{11}+\dfrac{10}{34}·\dfrac{7}{10}=\dfrac{20}{34}\approx 0{,}56\end{align}\]
Por tanto, hay un 56% de probabilidades de sacar una bola negra.
Hemos calculado esta probabilidad usando el teorema de la probabilidad total. Pero, realmente este problema es mucho más sencillo: como tenemos los números de cuántas bolas hay en cada sitio, y nos da igual de qué caja coger la bola, podríamos haber sumado el número total de bolas negras y ver cuántas hay en proporción al número total de bolas:
\[P(N)=\dfrac{\text{nº de bolas negras}}{\text{nº total de bolas}}=\dfrac{8+5+7}{34}=\dfrac{20}{34}\]
Así, comprobamos que obtenemos el mismo resultado, y puedes ver el teorema de la probabilidad total desde otra perspectiva y entender mejor lo que hace.
Teorema de la probabilidad total - Puntos clave
- Si \(A\) y \(B\) son dos sucesos dentro de un experimento aleatorio, la probabilidad de \(A\) condicionada por \(B\) es:
\[P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\]
Los sucesos \(A_1\), \(A_2\), ..., \(A_n\) forman una partición del espacio muestral \(E\), si cumplen con que:
Son incompatibles entre sí: \(A_i\cap A_j=\varnothing\), para todo \(i\neq j\).
Todos suman el espacio muestral: \(A_1\cup A_2\,\cup\, ... \cup \,A_n=E\).
Se tienen los sucesos \(A_1, A_2, ..., A_n\), que forman una partición del espacio muestral \(E\); todos estos sucesos con probabilidad distinta de cero. Se tiene \(B\), que es un suceso cualquiera del espacio muestral; entonces, la probabilidad de \(B\) es:
\[P(B)=P(A_1)·P(B|A_1)+P(A_2)·P(B|A_2)+...+P(A_n)·P(B|A_n)\]
Esta es la regla o teorema de la probabilidad total.
El teorema de Bayes nos dice que si \(A_1\), \(A_2\), ..., \(A_n\) son los sucesos de una partición del espacio muestral \(E\) y se conoce la probabilidad de un suceso \(B\), la probabilidad del suceso \(A_j\) condicionada por el suceso \(B\) viene dada por:
\[P(A_i|B)=\dfrac{P(A_i\cap B)}{P(B)}=\dfrac{P(A_i)·P(B|A_i)}{P(A_1)·P(B|A_1)+P(A_2)·P(B|A_2)+...+P(A_n)·P(B|A_n)}\]
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Preguntas frecuentes sobre Teorema de la probabilidad total
¿Qué es el Teorema de la probabilidad total?
El teorema de la probabilidad total nos da la probabilidad de un suceso que puede darse en cualquiera de las particiones, que es la suma de la probabilidad de tener esa partición multiplicada por la probabilidad de tener ese suceso en esa partición en concreto.
¿Cómo encontrar la probabilidad total?
Para encontrar la probabilidad total del suceso B:
P(B)=P(A1)·P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)+...+P(An)·P(B|An)
¿Qué es el Teorema de Bayes y cómo se aplica?
El teorema de Bayes nos da la probabilidad de de los sucesos de una partición, ya sabiendo que el suceso B ha ocurrido.
¿Cómo calcular la probabilidad total de un evento?
Para encontrar la probabilidad total del suceso B:
P(B)=P(A1)·P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)+...+P(An)·P(B|An)
¿Cuál es la fórmula de la probabilidad total?
La fórmula de la probabilidad total es:
P(B)=P(A1)·P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)+...+P(An)·P(B|An),
siendo B el suceso del cual queremos encontrar la probabilidad y A1,A2,A3... los sucesos que forman una partición del espacio muestral E.
¿Cuál es la fórmula de la probabilidad condicionada?
La fórmula de la probabilidad condicionada para dos sucesos A y B es:
P(A|B)=P(A∩B) / P(B).
Esta probabilidad es la probabilidad de A condicionada por el suceso B.
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