El triángulo de Pascal es un triángulo que contiene coeficientes binomiales. La parte superior del triángulo comienza con el único número y, a medida que bajamos por el triángulo, cada fila aumenta en un número.
El triángulo es también conocido como triángulo de Tartaglia, debido al matemático italiano Nicolo Fontana Tartaglia. Asimismo, se ha conocido por muchas generaciones antes de ellos, tiene diversos nombres en persa, chino, alemán e hindú.
Coeficientes binomiales
Los coeficientes binomiales son relevantes en el contexto de las expansiones binomiales. La fórmula general para una expansión binomial es:
En este caso, los coeficientes binomiales son los términos constantes que se escriben así:
Estos coeficientes se pueden encontrar utilizando esta fórmula:
El diagrama anterior muestra sólo las 8 primeras filas del Triángulo de Pascal, pero se puede continuar hasta el infinito. Cada fila corresponde a un número para , siendo la primera fila para cuando el binomio está elevado a una potencia .
Construcción del triángulo de Pascal
El triángulo de Pascal tiene un patrón específico que facilita su construcción, en lugar de recordarlo de memoria. Como habrás observado en el diagrama anterior, cada fila empieza y termina con 1 y el número de elementos de cada fila aumenta en 1 cada vez. El número de elementos de cada fila viene dado por . Así, la séptima fila tiene 7 elementos . Un elemento se puede encontrar sumando los dos elementos que están por encima de él.
Por ejemplo, para la tercera fila , el se obtiene sumando de la fila superior:
Fig 5: Serie de Fibonacci al sumar los coeficientes del triangulo de Pascal.
Realización de la expansión binomial mediante el triángulo de Pascal
Como se ha mencionado anteriormente, el triángulo de Pascal es una forma útil de determinar los coeficientes del binomio en una expansión binomial. Con esto, se puede trabajar desde expresiones básicas al cuadrado hasta largos polinomios a exponentes mayores, como a la quinta.
Triangulo de Pascal: ejemplos
Veamos cómo realizar la expansión de la siguiente expresión:
En primer lugar, tenemos que determinar , que es el exponente. Así que, en este caso: . Esto nos dice que tendremos que construir el triángulo de Pascal hasta la fila 6, donde .
Utilizando el método descrito anteriormente, obtenemos:
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Preguntas frecuentes sobre Triángulo de Pascal
¿Quién inventó el triángulo de Pascal?
No existe un inventor del triángulo de Pascal propiamente, pues este triángulo ya era conocido por chinos griegos e hindúes; sin embargo, fue Blaise Pascal el que introdujo su notación y desarrolló aplicaciones a las matemáticas con este objeto.
¿Cuántos números hay en cada fila del triángulo de pascal?
En cada fila hay una cantidad de números igual a la suma del exponente “n” más uno. Por esto, cuando hay un binomio al cuadrado, se obtienen tres términos.
¿Cómo se resuelve un binomio con el triángulo de Pascal?
Se deben multiplicar los términos a y b entre sí, por el coeficiente del triángulo; excepto, si este coeficiente está en la diagonal, pues en este caso solo se debe elevar a o b a la potencia n. Los términos se deben elevar a la potencia n hasta n=1, conforme se mueve de la parte externa del triángulo a la parte interna del mismo.
¿Cómo escribir el triángulo de Pascal?
El triángulo de Pascal tiene un patrón específico que facilita su construcción, en lugar de recordarlo de memoria:
Como habrás observado en el diagrama anterior, cada fila empieza y termina con 1 y el número de elementos de cada fila aumenta en 1 cada vez.
El número de elementos (m) de cada fila viene dado por m = n + 1.
Así, la séptima fila (n = 6) tiene 7 elementos (1, 6, 15, 20, 15, 6, 1).
Un elemento se puede encontrar sumando los dos elementos que están por encima de él.
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Lily Hulatt
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Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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