Estadísticas

Dibuja un diagrama de Venn para los siguientes datos:

U = números menores de 20

A = números pares

B = múltiplos de 3

Soluciones:

Calcula \(P(A \cap B)\)

Solución:

Hay 19 números en el conjunto.

Hay 3 números dentro de la intersección.

Así que \(P(A \cap B) = \frac{3}{19}\)

En la escuela hay 400 alumnos, 250 chicas y 150 chicos. Explica cómo tomar una muestra estratificada de 40 alumnos del colegio.

Solución.

Queremos elegir 25 chicas y 15 chicos (de modo que tengamos la misma proporción que toda la población). Un método consiste en asignar a todas las chicas un número del 1-250. Luego, utilizando un generador de números aleatorios, genera 25 números y elige a esas 25 chicas.

Repite lo mismo con los chicos: asígnales un número del 1-150. A continuación, utiliza tu generador de números aleatorios para generar 15 números y luego elige a esos 15 chicos.

En un día elegido al azar, cada uno de los 32 alumnos de una clase registró el tiempo (t) en minutos, con aproximación al minuto más cercano, que tardó en llegar a la escuela. Halla la media y la desviación típica de los siguientes datos:

\[\suma t = 1414 \text{ y } \suma t^2 = 69378\]

Soluciones:

Media: \(\frac{{suma t}{n} = \frac{1414}{32} = 44,1875\})

Desviación por defecto: \(\sqrt{\frac{{suma t}{n} - \Big( \frac{{suma t}{n} \Big)^2} = \frac{69378}{32} - (44,1875)^2 = 215,52734375\})

Se lanza un dado 10 veces. El resultado de sacar 5 muestra una distribución binomial: \(X sim B(10, frac{1}{6})|). Calcula \(P(X \leq 3)\).

Solución.

Es tan sencillo como calcular P(X = 0), P(X = 1), P(X = 2) y P(X = 3) y sumarlas. Por tanto \(P(X = 0) = \left( \begin{array} {c} 10 \\\ 0 \end{array} \right) (\frac{1}{6})^0 (\frac{5}{6})^{10} = 0.1615055829; \quad P(X=1) = \left( \begin{array} {c} 10 \\ 1 \end{array} \right) (\frac{1}{6})^1 (\frac{5}{6})^9 = 0.3230111658; \quad P(X=2) = \left( \begin{array} {c} 10 \ 2 \end{array} \right) (\frac{1}{6})^2 (\frac{5}{6})^8 = 0.2907100492; \quad P(X=3) = \left( \begin{array} {c} 10 \ 3 \end{array} \right) (\frac{1}{6})^3 (\frac{5}{6})^7 = 0,155043596)

Sumando todo esto obtenemos \(P(X \leq 3) = 0,9302721575\)

Una cafetería afirma que a una cuarta parte de los pasteles que le envían les faltan cerezas en la parte superior. Para probar esta afirmación, se registra el número de pasteles sin cerezas en una muestra aleatoria de 40. Utilizando un nivel de significación del 5%, halla la región crítica para una prueba de dos colas de la hipótesis de que la probabilidad de que falte una cereza es 0,26.

Soluciones:

Se trata de una prueba de dos colas, lo que significa que tendremos que mirar ambos extremos. Empieza por un número aleatorio en ambos extremos.

Extremo inferior:

P(X ≤ 6) = 0,07452108246

P(X ≤ 5) = 0,03207217407

P(X ≤ 4) = 0,01136083855

Como se trata de una prueba de dos colas, queremos estar lo más cerca posible de 0,025:

P(X ≤ 4) < 0,025 < P(X ≤ 5).

Extremo superior:

P(X ≥ 16) = 1 - P(X ≤ 15) = 0,03703627013

P(X ≥ 17) = 1 - P(X ≤ 16) = 0,0171086868649

De nuevo, queremos estar lo más cerca posible de 0,025, así que

P(X ≥ 17) < 0,025 < P(X ≥ 16)

Por tanto, nuestras regiones críticas son P(X ≤ 4) y P(X ≥ 17).