Definición de un cuartil
Supongamos que tienes un conjunto de observaciones y quieres hallar los cuartiles. Podrías pensar que, como los cuartiles y los trimestres comparten la misma raíz (quart, que significa un cuarto), el cuartil es sólo un cuarto de tus datos. No es así, ¡pero casi!
Un cuartil es una división de las observaciones en cuatro intervalos definidos en función de los valores de las observaciones y de cómo se comparan con el resto del conjunto de observaciones.
Suena mucho más complicado de lo que es. En pocas palabras, los cuartiles delimitan \(25\%\) de los datos, por lo que los cuartiles suelen llamarse así por los porcentajes:
el primer cuartil, \(Q_1\), es el percentil \(25^{text{th}});
el segundo cuartil, \(Q_2), es el percentil \(50^); y
el tercer cuartil, \(Q_3), es el percentil \(75).
El segundo cuartil es siempre la mediana de tu conjunto de datos.
Si tienes un número impar de observaciones en tu conjunto de datos, ¡excluye la mediana al hallar los cuartiles!
Veamos un ejemplo rápido.
Supón que tienes el conjunto de datos \(\{43, 52, 68, 79, 94, 100, 113\}\). Halla el primer, segundo y tercer cuartil.
Solución:
Las observaciones del conjunto de datos ya están ordenadas, ¡lo cual es muy útil! Hay \(n=7\) observaciones, que es un número impar, por lo que tendrás que excluir la mediana del conjunto al calcular los cuartiles. En este caso, la mediana es \(79\), así que eso es lo que excluirías.
La mitad inferior del conjunto de datos sería \(\{43, 52, 68\}\), y la mediana de ese conjunto de datos es \(52\), por lo que el primer cuartil es \(Q_1 = 52\).
El segundo cuartil es la mediana (que es el punto que has excluido porque hay un número impar de puntos de datos), así que el segundo cuartil es \(Q_2 = 79\).
La mitad superior del conjunto de datos sería \(\{94, 100, 113\}\), y la mediana de ese conjunto de datos es \(100\), por lo que el tercer cuartil es \(Q_3 = 100\).
Veamos algunos ejemplos más de cómo se relacionan las gráficas, las medianas y los cuartiles.
Mediana y cuartiles
Si tienes una distribución normal, la media y la mediana son iguales. Como la gráfica de la distribución normal es simétrica, el segundo cuartil está en el centro de la gráfica. Las distribuciones normales también tienen las propiedades de que para la media \(\mu\) y la desviación típica \(\sigma\)
\(Q_1 = \mu - 0,675\sigma \);
\(Q_2 = \mu\); y
\(Q_3 = \mu + 0,675\sigma \).
Te preguntarás cómo se le ocurrió a alguien esa fórmula. Recuerda que para la distribución normal estándar, tiene \(\mu=0\) y \(\sigma = 1\). Además, la puntuación \(z\)-que te da \(25\%\) del área bajo la curva entre \(0\) y \(z\) es \(z=0,675\). Así que lo único que hacen las fórmulas anteriores es trasladar la información de la distribución normal estándar a una distribución normal que tiene una media y una desviación típica diferentes.
Si observas un diagrama de cajas, es relativamente fácil ver dónde están los cuartiles observando el diagrama. Un diagrama de cajas está diseñado para mostrarte exactamente dónde están los cuartiles.
Fig. 2 - Diagrama de caja con los cuartiles superior e inferior marcados junto con la mediana.
¿Qué ocurre si tienes datos sesgados? En el gráfico siguiente los datos están sesgados a la izquierda. Puedes seguir marcando los cuartiles, y corresponderán a la mediana de los datos, no a la media.
Fig. 3. - Datos sesgados mostrando los cuartiles.
Tipos de cuartil
Hay dos tipos principales de cuartiles, el cuartil superior y el cuartil inferior. Ambos dependen de tener un conjunto ordenado de \(n\) observaciones.
El cuartil superior es la mediana de la mitad superior del conjunto de datos.
El cuartil inferior es la mediana de la mitad inferior del conjunto de datos.
Si \(n\) es impar, al calcular los cuartiles superior e inferior se excluye la mediana de todo el conjunto de datos.
Recuerda que la mediana es más resistente a los valores atípicos o asimétricos de tus datos. Por eso los cuartiles superior e inferior utilizan la mediana y no la media en sus cálculos.
Veamos un ejemplo rápido.
Supón que tienes el conjunto de datos del ejemplo anterior, \(\{43, 52, 68, 79, 94, 100, 113\}\). Halla los cuartiles superior e inferior.
Solución:
La mitad inferior del conjunto de datos sería \(\{43, 52, 68\}\), y la mediana es \(52\), por lo que el cuartil inferior sería \(52\). Observa que esto es lo mismo que el \(Q_1\).
La mitad superior del conjunto de datos sería \(\{94, 100, 113\}\), y la mediana es 100, por lo que el cuartil superior es \(100\), que es lo mismo que \(Q_3\).
¿Siempre ocurrirá que el cuartil superior es igual a \(Q_3\) y el cuartil inferior es igual a \(Q_1\)? Sí, ¡porque así es como están definidos! Para asegurarnos, veamos otro ejemplo.
Tomemos el conjunto de datos (\{6, 8, 15, 36, 40, 41, 41, 43, 43, 48\}\). Halla \(Q_1\), \(Q_2\) y \(Q_3\), junto con los cuartiles superior e inferior.
Solución:
En este conjunto de datos hay un número par de puntos, por lo que no habrá que apartar ninguno al hallar los cuartiles. Los puntos ya están ordenados, y la mediana del conjunto es
\[\text{mediana} = \frac{40+41}{2} = 40,5 = Q_2.\]
La mitad inferior del conjunto de datos es \ (\{6, 8, 15, 36, 40\}\), y la mediana de ese conjunto es \(15\). Por tanto,
\[\text{cuartil inferior} = 15 = Q_1.\]
La mitad superior del conjunto de datos es \(\{41, 41, 43, 43, 48\}\), y la mediana de ese conjunto es \(43\). Así que
\[\text{cuartil superior} = 43 = Q_3.\]
Rango de cuartiles
Encontrar el rango de tu conjunto de datos es relativamente sencillo.
El rango del conjunto de datos es el valor más alto menos el valor más bajo.
El rango intercuartílico es otro término con el que te puedes encontrar.
El rango intercuartílico, a menudo abreviado IQR, es la diferencia entre los cuartiles superior e inferior.
IQR = cuartil superior - cuartil inferior.
Recuerda que la desviación típica es una medida de la dispersión de los datos de un conjunto; en otras palabras, mide lo lejos que tienden a estar las observaciones del centro del conjunto de datos (la media).
El rango intercuartílico también es una medida de la dispersión de los datos de un conjunto, que se obtiene observando la mitad central de los datos:
si el rango intercuartílico es pequeño, la mitad central de los datos está muy agrupada, lo que indica una baja variabilidad; pero
si el rango intercuartílico es grande, la mitad central de los datos está más dispersa, lo que indica una mayor variabilidad.
Al fijarse en la mitad central de los datos, el rango intercuartílico evita verse influido por valores atípicos o extremos.
También es posible que veas una referencia al rango semiintercuartílico.
El rango semiintercuartílico es la mitad del rango intercuartílico.
Veamos un ejemplo de cómo encontrar estos elementos para un conjunto de datos.
Volvamos al conjunto de datos \(\{43, 52, 68, 79, 94, 100, 113\}\). Ya sabes que \(Q_1 = 52\), \(Q_2 = 79\) y \(Q_3 = 100\). Halla el rango, el rango intercuartílico y el rango semiintercuartílico.
Solución:
El rango es el valor más alto del conjunto menos el valor más bajo del conjunto, por tanto
\[\text{rango} = 113-43 = 70.\]
El rango intercuartílico es
\[\begin{align}\text{IQR} &= Q_3 - Q_1 &= 100-52 &=48. \fin].
El rango semiintercuartílico es la mitad del IQR, por lo que
\text[\text{rango semi-intercuartílico} = \frac{48}{2}=24.\}
¡Siempre vienen bien más ejemplos!
Ejemplos de cuartiles
Veamos más ejemplos relacionados con los cuartiles.
Supongamos que tu conjunto de datos es \(\ {0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,3, 17, 300\}). Halla los cuartiles primero, segundo y tercero, junto con el rango y el rango intercuartílico.
Solución:
Este conjunto de datos es un poco inusual, ¡ya que \(0\) se repite \(10\) veces en él! El rango es el valor mayor menos el valor mayor, así que
\text{rango} = 100 - 0 = 100.\}
Hay \(16\) observaciones en el conjunto de datos, y la mediana es \(0\). Por tanto, \(Q_2 = 0\). De hecho, la mitad inferior del conjunto de datos es todo ceros, por lo que \(Q_1=0\) también.
Para la mitad superior del conjunto de datos tienes \(\{0,0,1,1,1,3, 17, 300\}\), y la mediana de ese conjunto es \(1\), así que \(Q_3=1\). Al hallar el IQR obtienes
\[\text{IQR} = Q_3-Q_1 = 1-0=1.\]
El valor bajo de IQR indica que la mitad media de los datos no tiene mucha variabilidad. Puedes enumerar los cuartiles de los datos:
- \(25\%\) más bajo de observaciones: \(\{0,0,0,0\}\);
- \(25\%\) más alto de observaciones: \(1, 3, 17, 300); y
- medio \(50\%\) de observaciones: \(\{0, 0, 0, 0,0,0, 1, 1\}\).
Como puedes ver, el \(50\%\) medio de las observaciones se agrupa en torno a cero, por eso el IQR es tan pequeño. No se ve afectado por los valores extremos del \(25\%) más alto de las observaciones.
El siguiente ejemplo muestra cómo puedes utilizar gráficos de caja para determinar los cuartiles y calcular los rangos intercuartílico y semiintercuartílico.
El diagrama de cajas de abajo muestra la distribución de edades de las mascotas de una guardería canina, donde la edad se mide en años. Con la información del diagrama de caja, calcula el rango intercuartílico y el rango semiintercuartílico.
Fig. 4 - Diagrama de caja de las mascotas de una guardería canina.
Solución:
En primer lugar, tienes que encontrar los valores de \(Q_1\) y \(Q_3\). Puedes hacerlo leyéndolos en el diagrama de caja:
- \(Q_1 = 5,5\); y
- \(Q_3 = 10\).
A continuación, calcula el rango intercuartílico mediante la fórmula
\[ \begin{align} IQR & = Q_3 - Q_1 &\= 10-5,5 &\= 4,5. \fin]]
Por último, calcula el rango semiintercuartílico:
\[ \iniciar{alinear} \rango semiintercuartílico} &= \frac{IQR}{2} \\y= \frac {4,5} {2} \\&= 2,25.\pend{align}\]
Las unidades de cada una de las respuestas son años.
Cuartiles - Puntos clave
- Cada cuartil representa \(25\%\) de los valores de un conjunto de datos ordenados.
- El cuartil inferior se denota por \(Q_1\) y el cuartil superior por \(Q_3\). El segundo cuartil se denomina \(Q_2\).
- Para calcular \(Q_2\), calcula la mediana del conjunto de datos.
- Los cuartiles superior e inferior se calculan determinando las medianas de las mitades superior e inferior del conjunto de datos, respectivamente. Si hay un número impar de valores en el conjunto de datos, se excluye la mediana al calcular los cuartiles superior e inferior.
- El rango intercuartílico es igual a \(Q_3 - Q_1\) y el rango semi-intercuartílico es igual a la mitad del rango intercuartílico.
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