Desviación estándar

Fórmula de la desviación típica

La fórmula de la desviación típica es

\[ \sigma = \sqrt{{dfrac{{suma(x_i-\mu)^2}{N}}].

Donde:

\(\sigma\) es la desviación típica

\(\suma\) es la suma

\(x_i\) es un número individual del conjunto de datos

\( \mu\) es la media del conjunto de datos

\(N\) es el número total de valores del conjunto de datos

Así que, en palabras, la desviación típica es la raíz cuadrada de la suma de lo lejos que está cada punto de datos de la media al cuadrado, dividida por el número total de puntos de datos.

La varianza de un conjunto de datos es igual a la desviación típica al cuadrado, \(\sigma^2\).

Gráfico de la desviación típica

El concepto de desviación típica es bastante útil porque nos ayuda a predecir cuántos de los valores de un conjunto de datos estarán a cierta distancia de la media. Al realizar una desviación típica, suponemos que los valores de nuestro conjunto de datos siguen una distribución normal. Esto significa que se distribuyen alrededor de la media en una curva en forma de campana, como la que se muestra a continuación.

Gráfico de la desviación típica. Imagen: M W Toews, CC BY-2.5 i

El eje \(x\)- representa las desviaciones típicas alrededor de la media, que en este caso es \(0\). El eje \(y\)- muestra la densidad de probabilidad, que significa cuántos de los valores del conjunto de datos caen entre las desviaciones típicas de la media. Este gráfico, por tanto, nos dice que \(68,2\%\) de los puntos de un conjunto de datos distribuidos normalmente caen entre \(-1\) desviación típica y \(+1\) desviación típica de la media, \(\mu\).

¿Cómo se calcula la desviación típica?

En este apartado, veremos un ejemplo de cómo calcular la desviación típica de un conjunto de datos de muestra. Supongamos que has medido la altura de tus compañeros de clase en cm y has anotado los resultados. Estos son tus datos

165, 187, 172, 166, 178, 175, 185, 163, 176, 183, 186, 179

A partir de estos datos ya podemos determinar \(N\), el número de puntos de datos. En este caso, \(N = 12\). Ahora tenemos que calcular la media, \(\mu\). Para ello, simplemente sumamos todos los valores y los dividimos por el número total de puntos de datos, \(N\).

\[ \begin{align} \mu &= \frac{165 + 187+172+166+178+175+185+163+176+183+186+179}{12}. \\ &= 176.25. \fin \]

Ahora tenemos que hallar

\[ \suma(x_i-\mu)^2.\]

Para ello podemos construir una tabla:

Para la ecuación de la desviación típica, necesitamos la suma sumando todos los valores de la última columna. Esto da \(770,25\).

\[ \suma(x_i-\mu)^2 = 770,25.\]

Ahora tenemos todos los valores que necesitamos para introducirlos en la ecuación y obtener la desviación típica de este conjunto de datos.

\[ \begin{align} \sigma &= μsqrt{dfrac{{suma(x_i-\mu)^2}{N}}. \\ y = el cuadrado del frac {770,25} {12}. \\ &= 8.012. \fin]

Esto significa que, por término medio, los valores del conjunto de datos se alejarán \(8,012\, cm\) de la media. Como se ve en el gráfico de distribución normal anterior, sabemos que \(68,2\%\) de los puntos de datos están entre \(-1\) desviación típica y \(+1\) desviación típica de la media. En este caso, la media es \(176,25\, cm\) y la desviación típica \ (8,012\, cm\). Por tanto, \( \mu - \sigma = 168,24\, cm\) y \ ( \mu - \sigma = 184,26\, cm\), lo que significa que \ (68,2\%\ ) de los valores están entre \(168,24\, cm\) y \(184,26, cm\) .

Imágenes

Gráfico de desviación típica: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Standard_deviation_diagram.svg