Agrupar o bloquear es la idea principal del diseño de bloques aleatorios. A continuación se definirá este concepto y se harán comparaciones tanto con los diseños completamente aleatorizados como con los de pares emparejados. Empieza a bloquear y organízate.
La definición de diseño de bloques aleatorizados
Cuando los datos se agrupan en función de variables no deseadas mensurables y conocidas, se dice que los datos se han bloqueado. Esto se lleva a cabo para evitar que factores indeseables reduzcan la precisión de un experimento.
El diseño de bloques aleatorios se describe como el proceso de agrupar (o estratificar) antes de elegir aleatoriamente las muestras para un experimento.
Al realizar un experimento o una encuesta, debes intentar reducir los errores a los que pueden contribuir diversos factores. Un factor puede ser conocido y controlable, por lo que bloqueas (agrupas) las muestras en función de este factor en un intento de reducir la variabilidad causada por este factor. El objetivo final de este proceso es minimizar las diferencias entre los componentes de un grupo bloqueado en comparación con las diferencias entre los componentes de toda la muestra. Esto te ayudaría a obtener estimaciones más precisas de cada bloque, ya que la variabilidad de los miembros de cada grupo es baja.
Ten en cuenta que una variabilidad reducida hace que la comparación sea más precisa, porque se comparan caracteres más específicos y se obtienen resultados más exactos.
Por ejemplo, si Femi quiere limpiar la casa, y se propone determinar cuál de los tres cepillos limpiaría más rápidamente toda la casa. En lugar de realizar un experimento en el que cada cepillo limpie toda la casa, decide dividir la casa en tres partes, como dormitorio, salón y cocina.
Esto es razonable si Femi supone que cada metro cuadrado del suelo de las distintas habitaciones tiene una textura diferente. De este modo, se reduce la variabilidad debida a los distintos tipos de suelo, de modo que cada uno existe en su bloque.
En el ejemplo anterior, Femi identificó que la textura del suelo puede marcar la diferencia. Pero a Femi le interesa saber qué cepillo es mejor, así que decidió hacer tres bloques para su experimento: la cocina, el dormitorio y el salón. El factor que llevó a Femi a la decisión de hacer bloques suele considerarse un factor de molestia .
Un factor perturbador , también conocido como variable molesta, es una variable que afecta a los resultados del experimento, pero que no es de especial interés para el mismo.
Los factores perturbadores no son lo mismo que las variables al acecho.
Las variables al acecho son las que ocultan una relación entre variables que puede existir, o conducen a una correlación que en realidad no es cierta.
Una variable al acecho que debe tenerse en cuenta en los ensayos médicos es el efecto placebo, en el que la gente cree que el medicamento tendrá un efecto, por lo que experimenta un efecto, aunque lo que realmente esté recibiendo sea una pastilla de azúcar en lugar de un tratamiento médico real.
Veamos dos ilustraciones de un diseño de bloques aleatorios para ayudar a aclarar cómo se construiría un diseño de bloques aleatorios.
Fig. 1: Bloqueo en un diseño de bloques aleatorios
En la figura anterior, puedes ver cómo Femi ha agrupado el experimento en tres secciones. Esta es una idea importante sobre el diseño de bloques aleatorizados.
Aleatorización en un diseño de bloques aleatorizados
A partir de la figura anterior, tras el bloqueo en grupos, Femi toma muestras aleatorias de cada grupo para la prueba. Tras esta etapa, se realiza el análisis de la varianza.
Diseño de bloques aleatorizados frente a diseño completamente aleatorizado
Un diseño completamente aleatorizado es un proceso de elección aleatoria de muestras para un experimento, de modo que todos los elementos seleccionados al azar se traten sin segregación (agrupación). Este método es susceptible de error por azar, ya que inicialmente no se tienen en cuenta las características comunes, lo que debería minimizar la variabilidad si se pusieran en grupos. Esta variabilidad se minimiza con el diseño de bloques aleatorios mediante la agrupación, de modo que se fuerza un equilibrio entre los grupos de estudio.
Puedes comprender mejor la diferencia entre un diseño de bloques aleatorizados y un diseño completamente aleatorizado con un ejemplo.
Supongamos que quieres probar una receta viral de helado casero. La receta tiene unas instrucciones bastante buenas, salvo que no especifica la cantidad de azúcar que debes utilizar. Como tienes intención de servirlo en una cena familiar la semana que viene, preguntas a tus vecinos si podrían ayudarte probando diferentes lotes de helado hechos con distintas cantidades de azúcar.
Aquí, el experimento se realiza variando la cantidad de azúcar de cada lote.
El primer ingrediente, y el más importante, es la leche cruda, así que vas al mercado agrícola más cercano sólo para descubrir que sólo les queda medio galón. Necesitas al menos \(2\) galones para hacer suficientes tandas de helado, para que tus vecinos puedan probarlas.
Después de buscar un rato, encuentras otro mercado agrícola a 15 minutos por la autopista, donde compras el resto de litros de leche cruda que necesitabas.
Aquí, los distintos tipos de leche son la variable molesta.
Mientras preparas el helado, observas que el helado hecho con la leche de un lugar sabe ligeramente distinto del helado hecho con la leche del otro lugar. Consideras que puedes estar siendo parcial porque has utilizado leche que no procede de tu mercado de confianza. ¡Es hora de experimentar!
Un diseño completamente aleatorizado consistiría en dejar que tus vecinos probaran lotes aleatorios de helado, sólo que organizados por la cantidad de azúcar utilizada en la receta.
Un diseño de bloques aleatorios consistiría en separar primero los lotes hechos con las distintas leches, y luego dejar que tus vecinos prueben lotes aleatorios de helado, eso sí, tomando nota de qué leche se utilizó en cada observación.
Es completamente posible que la leche influya en el resultado al hacer el helado. Esto podría introducir un error en tu experimento. Por eso, debes utilizar el mismo tipo de leche para el experimento, y también para la cena familiar.
Entonces, ¿qué es mejor, el bloqueo o la aleatorización?
¿Es mejor el bloqueo que la aleatorización o no?
El diseño aleatorio por bloques es más beneficioso que la aleatorización completa, porque reduce el error al crear grupos que contienen elementos mucho más similares en comparación con las muestras completas.
Sin embargo, el bloqueo sólo sería preferible cuando el tamaño de la muestra no sea demasiado grande y cuando los factores perturbadores no sean demasiados. Cuando se trata de muestras grandes, hay una mayor tendencia a que haya numerosos factores perturbadores, lo que te obligaría a aumentar también el agrupamiento. El principio es que cuantas más agrupaciones hagas, menor será el tamaño de la muestra en cada grupo. Por lo tanto, cuando se trata de muestras de gran tamaño o existen muchos factores perturbadores, debes abordar estos casos con un diseño completamente aleatorizado.
Además, como ya se ha mencionado, cuando la variable de bloqueo es desconocida, debes recurrir a un diseño completamente aleatorizado.
Diseño de bloques aleatorizados frente a diseño de pares emparejados
Un diseño de pares emparejados consiste en agrupar las muestras de dos en dos (parejas) en función de las características de confusión (como la edad, el sexo, el estatus, etc.), y a los miembros de cada pareja se les asignan aleatoriamente las condiciones de tratamiento. Los diseños de bloques aleatorios difieren de los de pares emparejados en que puede haber más de dos agrupaciones. Sin embargo, cuando sólo hay dos grupos en un diseño de bloques aleatorios, puede parecer similar a un diseño de pares emparejados.
Además, tanto el diseño de bloques aleatorios como el de pares emparejados se aplican mejor sólo a muestras de pequeño tamaño.
En el ejemplo del helado, harías un diseño de pares emparejados pidiendo a tus vecinos que probaran dos bolas de helado en cada observación, ambas con la misma cantidad de azúcar pero con leche de distintos lugares.
Entonces, ¿cuáles son las ventajas de un diseño de bloques aleatorizados?
¿Cuáles son las ventajas de un diseño de bloques aleatorizados?
Una de las principales ventajas del diseño de bloques aleatorizados es la creación de grupos, que aumenta las similitudes entre los miembros del bloque en comparación con la gran variación que puede producirse cuando se compara a cada miembro con el conjunto de datos completo. Este atributo es muy ventajoso porque
Reduce el error.
Aumenta la fiabilidad estadística de un estudio.
Sigue siendo un enfoque mejor para analizar muestras de menor tamaño.
Veamos con más detalle el modelo para un diseño de bloques aleatorios.
El modelo estadístico para un diseño de bloques aleatorizados
El modelo estadístico para un diseño de bloques aleatorizados para un factor perturbador bloqueado viene dado por:
\[y_{ij}=µ+T_1+B_j+E_{ij}\]
donde:
\(y_{ij}\) es el valor de observación para los tratamientos en \(j\) y los bloques en \(i\);
\(μ\\) es la media general;
\(T_j\) es el efecto del \(j\)º tratamiento;
\(B_i\) es el \(i\)º efecto de bloqueo; y
\(E_{ij}\) es el error aleatorio.
La fórmula anterior es equivalente a la del ANOVA. Por tanto, puedes utilizar
\[SS_T=SS_t+SS_b+SS_e\]
donde:
\(SS_T\) es la suma total de cuadrados;
\(SS_t\) es la suma de cuadrados de de los tratamientos;
\(SS_b\) es la suma de cuadrados del bloqueo; y
\(SS_e\) es la suma de cuadrados del error.
La suma total de cuadrados se calcula mediante
\[SS_T=\sum_{i=1}^{\alpha} \sum_{j=1}^{\beta}(y_{ij}-\mu)^2\]
La suma de cuadrados de los tratamientos se calcula mediante:
\[SS_t=\beta \sum_{j=1}^{\alpha}(\bar{y}_{.j}-\mu)^2\]
La suma de cuadrados del bloqueo se calcula mediante:
\[SS_b=\alpha \sum_{i=1}^{\beta}(\bar{y}_{i.}-\mu)^2\]
donde:
\(\alpha\\) es el número de tratamientos;
\(\beta\) es el número de bloques;
\(\bar{y}_{.j}) es la media del \(j\)º tratamiento;
\(barra y) es la media del (i) bloque; y
el tamaño total de la muestra es el producto del número de tratamientos y bloques, que es \(\alpha \beta\).
La suma de cuadrados del error puede calcularse mediante
\[SS_e=SS_T-SS_t-SS_b\]
Ten en cuenta que
\[SS_T=SS_t+SS_b+SS_e\]
Esto se convierte en:
\[SS_e=\sum_{i=1}^{\alpha} \sum_{j=1}^{\beta}(y_{ij}-\mu)^2- \beta \sum_{j=1}^{\alpha}(\bar{y}_{.j}-\mu)^2 -\alpha \sum_{i=1}^{\beta}(\bar{y}_{i.}-\mu)^2\]
Sin embargo, el valor de la estática de prueba se obtiene dividiendo los valores cuadráticos medios del tratamiento por el del error. Esto se expresa matemáticamente como
\[F=\frac{M_t}{M_e}\]
donde:
\(F\) es el valor estático de la prueba.
\(M_t\) es el valor cuadrático medio del tratamiento, que equivale al cociente de la suma de cuadrados de los tratamientos y su grado de libertad, se expresa como:\[M_t=\frac{SS_t}{\alpha -1}\].
\(M_e\) es el valor cuadrático medio del error, que equivale al cociente de la suma de cuadrados del error y su grado de libertad, y se expresa como:\[M_e=\frac{SS_e}{(\alpha -1)(\beta -1)}\].
En el siguiente apartado se examina un ejemplo para explicar la aplicación de estas fórmulas.
Ejemplos de diseño de bloques aleatorios
Como se ha mencionado al final de la sección anterior, tendrás una comprensión más clara del diseño de bloques aleatorizados con su aplicación en la ilustración siguiente.
Nonso pide a Femi que lleve a cabo una evaluación de la eficacia de tres tipos de cepillos en la limpieza de toda su casa. Del estudio posterior de Femi se obtuvieron los siguientes valores que se refieren al índice de eficacia.
| Cepillo 1 | Cepillo 2 | Cepillo 3 | |
| Sala de estar | \(65\) | \(63\) | \(71\) |
| Dormitorio | \(67\) | \(66\) | \(72\) |
| Cocina | \(68\) | \(70\) | \(75\) |
| Cuarto de baño | \(62\) | \(57\) | \(69\) |
Tabla 1. Ejemplo de diseño de bloques aleatorios.
¿La conclusión de Femi indicaría variabilidad en la eficacia entre los cepillos?
Solución:
Observa que Femi había realizado el bloqueo agrupando su evaluación de toda la casa en cuatro, como dormitorio, cocina, sala de estar y baño.
Primer paso: Plantea tus hipótesis.
\[ \begin{align} &H_0: \; \text{No hay variabilidad en la eficacia de los cepillos.} \\ &H_a: \Hay variabilidad en la eficacia de los cepillos. \fin{align} \]
No olvides que \(H_0) implica la hipótesis nula, y \(H_a) implica la hipótesis alternativa.
Segundo paso: Halla las medias de los tratamientos (columnas), los bloques (fila) y la media general.
La media del Tratamiento 1 es
\[\bar{y}_{.1}=\frac{262}{4}=65.5\]
La media del Tratamiento 2 es
\[\bar{y}_{.2}=\frac{256}{4}=64\]
La media del Tratamiento 3 es
\[\bar{y}_{.3}=\frac{287}{4}=71.75\]
La media del Bloque 1 es
\[\bar{y}_{1.}=\frac{199}{3}=66.33\]
La media del bloque 2 es
\[\bar{y}_{2.}=\frac{205}{3}=68.33\]
La media del bloque 3 es
\[\bar{y}_{3.}=\frac{213}{3}=71\]
La media del bloque 4 es
\[\bar{y}_{4.}=\frac{188}{3}=62.67\]
La media general es
\[\mu=\frac{805}{12}=67.08\]
Actualiza tu tabla como sigue
| Cepillo 1(Tratamiento 1) | Pincel 2(Tratamiento 2) | Cepillo 3(Tratamiento 3) | Total del bloque(suma de filas) y media | ||
| Sala de estar(1er bloque) | \(65\) | \(63\) | \(71\) | \(199\) | \(63.3\) |
| Dormitorio(2º bloque) | \(67\) | \(66\) | \(72\) | \(205\) | \(68.3\) |
| Cocina(3er bloque) | \(68\) | \(70\) | \(75\) | \(213\) | \(71\) |
| Baño(4º bloque) | \(62\) | \(57\) | \(69\) | \(188\) | \(62.67\) |
| Total del tratamiento(Suma de la columna) | \(262\) | \(256\) | \(287\) | \(805\) | \(67.08\) |
| Media deTratamiento | \(65.5\) | \(64\) | \(71.75\) | ||
Tabla 2. Ejemplo de diseño de bloques aleatorizados.
Tercer paso: Halla la suma de cuadrados para el total, el tratamiento, el bloqueo y el error.
La suma total de cuadrados, \(SS_T\), es:
Recuerda que
\[SS_T=\sum_{i=1}^{\alpha} \sum_{j=1}^{\beta}(y_{ij}-\mu)^2\]
\π[\begin{align} SS_T& =(65-67,08)^2+(63-67,08)^2 & \quad + \dots+(57-67,08)^2+(69-67,08)^2 & &=264,96 \end{align}\quad].
La suma de cuadrados de los tratamientos, \(SS_t\), es:
Recuerda que
\[SS_t=\beta \sum_{j=1}^{\alpha}(\bar{y}_{.j}-\mu)^2\]
y \(beta\) es \(3\).
\[\begin{align} SS_t &=3((65,5-67,08)^2+(64-67,08)^2+(71,75-67,08)^2)\} &=101,37 \end{align}\}]
La suma de cuadrados del bloqueo, \(SS_b\), es:
Recuerda que
\[SS_b=\alpha \sum_{i=1}^{\beta}(\bar{y}_{i.}-\mu)^2\]
y \(\alpha\) es \(4\)
\[\begin{align} SS_b &=4((66.33-67.08)^2+(68.33-67.08)^2+(71-67.08)^2+(62.67-67.08)^2)\\ &=147.76 \end{align}\]
Por tanto, puedes hallar la suma de cuadrados del error:
Recuerda que
\[SS_e=SS_T-SS_t-SS_b\]
\[\begin{align} SS_e&=264,96-101,37-147,76 \\&=15,83 \end{align}\]
Cuarto paso: Halla los valores cuadráticos medios para el tratamiento y el error.
El valor cuadrático medio para el tratamiento, \(M_t\), es:
Recuerda que
\[M_t=\frac{SS_t}{alfa -1}\]
\[M_t=\frac{101.37}{4-1}=33.79\]
Recuerda que \(\alpha\) es el número de bloques, que en este caso es \(4\).
El valor cuadrático medio del error, \(M_e\), es:
Recuerda que
[M_e=\frac{SS_e}{(\alfa -1)(\beta -1)}\].
\[M_e=\frac{15.83}{(4-1)(3-1)}=2.64\]
Quinto estreptococo: Halla el valor de la estática de prueba.
El valor de la estática de prueba, \(F\), es:
Recuerda que
\[F=\frac{M_t}{M_e}\]
\[F=\frac{33,79}{2,64} {aproximadamente 12,8\}]
Sexto paso: Utiliza tablas estadísticas para determinar la conclusión.
Aquí tienes que tener cierto cuidado. Necesitas tus grados de libertad del numerador, \(df_n\), y tus grados de libertad del denominador \(df_d\).
Ten en cuenta que
\[df_n=\alfa -1\]
y
\[df_d=(\alpha-1)(\beta-1)\]
Por tanto
\[df_n=4-1=3\]
y
\[df_d=(4-1)(3-1)=6\]
Podrías utilizar un nivel de significación \(a=0,05\) para realizar tu prueba de hipótesis. Encuentra el valor \(P\)-a este nivel de significación (\(a=0,05\)) con un \(df_n\) de \(3\) y un \(df_d\) de \(6\) que es \(4,76\). Parece que el valor \(F\) resuelto está muy cerca de un nivel significativo de \(a=0,005\) que tiene un valor \(P\)-de \(12,9\).
Debes poder consultar la tabla sobre "Percentiles de la distribución F" para realizar tu análisis o utilizar algún otro programa estadístico para determinar el valor \(P\)-exacto.
Paso final: Comunica tus conclusiones.
El valor \(F)-determinado a partir del experimento, \(12,8) se encuentra entre \(F_{0,01}=9,78) y \(F_{0,005}=12,9), y utilizando un software estadístico el valor \(P)-exacto es \(0,00512). Como el valor \(P\)-experimental (\(0,00512\)) es menor que dicho nivel de significación \(a=0,05\), entonces, puedes rechazar la hipótesis nula, \(H_0\): No hay variabilidad en la eficacia de los cepillos.
Esto significa que la conclusión de Femi indica variabilidad en los cepillos.
Bueno, supongo que eso apoya mi excusa de por qué me cansé de limpiar, ya que algunos cepillos no eran tan eficientes.
Prueba más ejemplos por tu cuenta, teniendo en cuenta que el bloqueo aleatorio consiste esencialmente en eliminar los factores molestos mediante el bloqueo (agrupamiento) antes de la aleatorización. El objetivo es crear grupos similares con menos variabilidad en comparación con las muestras completas. Además, si la variabilidad es más observable dentro de los bloques, es un indicio de que el bloqueo no se ha hecho correctamente o de que el factor perturbador no es una variable muy buena para bloquear. ¡Esperamos que empieces a bloquear después!
Diseño de bloques aleatorizados - Puntos clave
- El diseño de bloques aleatorios se describe como el proceso de agrupar (o estratificar) antes de elegir aleatoriamente las muestras para un experimento.
- El diseño de bloques aleatorizados es más beneficioso que la aleatorización completa porque reduce el error al crear grupos que contienen elementos mucho más similares en comparación con la muestra completa.
- Los diseños de bloques aleatorios y de pares emparejados se aplican mejor sólo a muestras de pequeño tamaño.
El error aleatorio es beneficioso en tamaños de muestra pequeños para reducir el término de error.
El modelo estadístico de un diseño de bloques aleatorios para un factor perturbador bloqueado viene dado por:
\[y_{ij}=µ+T_1+B_j+E_{ij}\]
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