Distribución Geométrica

Un paciente sufre insuficiencia renal y necesita un trasplante de un donante adecuado. La probabilidad de que un donante aleatorio cumpla los requisitos de este paciente es \(0,2\).

1. Supongamos que ningún donante cumple los requisitos del paciente hasta que llega un quinto donante. ¿Cuál es la probabilidad en este caso?
2. Halla la probabilidad de que el paciente necesite \(10\) donantes o menos hasta que se encuentre un donante compatible.
3. ¿Cuál es el número esperado de donantes necesarios para conseguir un donante compatible?
4. Halla la desviación típica de este escenario.

Solución:

1. Siempre que necesites hallar la probabilidad de que el experimento requiera un número exacto de ensayos para tener éxito, debes empezar escribiendo su función de masa de probabilidad. En este caso, como \(p=0,2\) entonces\[ \begin{align} P(X=x) &= (1-p)^{x-1}p &= (1-0,2)^{x-1}(0,2) &= (0,8)^{x-1}(0,2). \end{align}\]Ahora, puedes evaluar la función anterior cuando \(x=5\), lo que te da\[ \begin{align} P(X=5) &= (0,8)^{5-1}(0,2) &= (0,8)^4(0,2) &= 0,08192, \end{align}\}]lo que significa que la probabilidad de que ocurra este escenario es \( 8,192 \%\).
2. Esta vez necesitarás la función de distribución acumulativa, que en este caso viene dada por\[ P(X\leq k) = 1-(1-p)^k.\}Como buscas el caso en que se necesitan diez o menos donantes, tienes que introducir \(k=10\) en la fórmula anterior (y también \(p=0,2\)), lo que te dará\[ \begin{align} P(X\leq 10) &= 1-(1-0,2)^{10} \\ &= 1-(0.8)^{10} \\ &= 0,892625, \end{align}\]por lo que la probabilidad de encontrar un riñón adecuado entre diez donantes aleatorios es de aproximadamente \(89,26 \%\).
3. Se trata de una tarea bastante sencilla. Para el número esperado de donantes debes utilizar la fórmula del valor esperado, así\[ \mu = \frac{1}{p}.\}]Sustituyendo \(p=0,2\) obtendrás\[ \begin{align} \mu &= \frac{1}{0,2} \\} &=5. \end{align}\}].
4. Por último, puedes hallar la desviación típica utilizando la fórmula\[ \sigma = \sqrt{\frac{1-p}{p^2}}.\}Sustituyendo \(p=0,2\) obtendrás\[ \begin{align} \sigma &= \sqrt{ \frac{1-0,2}{0,2^2} } \\ &= 20 cuadrado \\ &= 4.472133. \end{align}\]

Supongamos que tiras un dado justo hasta obtener un tres como resultado.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que no saques un tres hasta la cuarta tirada?
2. Halla la probabilidad de obtener el tres que necesitas en menos de \(10\) tiradas.
3. ¿Cuál es el número esperado de tiradas necesarias para obtener el resultado deseado?
4. Halla la varianza de este experimento.

Solución:

1. En este caso necesitas hallar la probabilidad de obtener el éxito. Como estás utilizando un dado justo, las probabilidades de obtener cualquiera de los números son iguales, así que \[ p = \frac{1}{6}\]para obtener cualquier número concreto, lo que incluye obtener tres como resultado. Ahora que conoces \(p\), puedes escribir la función de masa de probabilidad para este experimento geométrico, es decir\[ \begin{align} P(X=x) &= (1-p)^{x-1}p &= \ izquierda( 1- \frac{1}{6} \ derecha)^{x-1} \ izquierda( \frac{1}{6} \ derecha) \ izquierda( \frac{5}{6} \ derecha) ^{x-1} \ izquierda( \frac{1}{6} \ derecha). \fin \] Por último, evalúa la expresión anterior cuando \(x=4\), obteniendo\[ \begin{align} P(X=4) &= \left( \frac{5}{6} \right) ^{4-1} \left(\frac{1}{6} \right) \\&= 0,0964506. \end{align}\]Esto significa que la probabilidad de que no obtengas un tres hasta la cuarta tirada es \( 9,645 \% \).
2. Para este caso necesitarás la función de distribución acumulativa, que en este caso es\[ P(X\leq k)=1-(1-p)^k.\]Aquí se te pide que encuentres la probabilidad de obtener el éxito en menos de \(10\) tiradas, lo que significa \(9\) tiradas o menos, por lo que \( k=9\). Sabiendo esto, puedes sustituir \(k\) y \(p\) para hallar la probabilidad solicitada, así\[ \begin{align} P(X\leq 9) &= 1-\left(1-\frac{1}{6}\right)^9 &= 1-\left(\frac{5}{6}\right)^9 &= 0,806193. \fin \]Así que la probabilidad de obtener el resultado deseado en menos de \(10\) tiradas es \( 80,6193 \% \).
3. Puedes utilizar la fórmula\[ \mu = \frac{1}{p}\]para hallar el valor esperado, así\[ \mu = \frac{1}{\frac{1}{6}}, \] que puedes simplificar con las propiedades de las fracciones, lo que te da\[ \mu = 6,\].
4. Esta vez puedes usar la fórmula de la varianza,\[ \sigma^2 = \frac{1-p}{p^2},\]así\[ \begin{align} \sigma^2 &= \frac{1-\frac{1}{6} {[izquierda(\frac{1}{6}{derecha)^2} \\ &=\frac{\frac{5}{6}}{\frac{1}{36}} \\ &= 30. \fin \]

Supongamos que la probabilidad de ganar un objeto de una máquina de garras es \( 0,05\).

1. ¿Cuál es la probabilidad de ganar un objeto en el primer intento?
2. ¿Cuál es la probabilidad de ganar un objeto en menos de 20 intentos?
3. Supongamos que tienes que gastar 25 céntimos en cada intento. ¿Cuál es la cantidad de dinero esperada para conseguir un premio?

Solución:

1. ¡Esta es una pregunta complicada! Puedes intentar construir la función de masa de probabilidad y utilizar \(x=1\), pero ya se te ha dicho que la probabilidad de ganar un objeto de la máquina de garras es \(0,05\), o \( 5\%\), así que ésta es la respuesta.
2. Como de costumbre, construye la función de distribución acumulativa, así\[ P(X\leq k) = 1-(1-p)^k.\]Tienes que encontrar la probabilidad de ganar un objeto en menos de \(20\ ) intentos, lo que significa \(19\) o menos intentos. Por tanto, \(k=19\). Sabiendo esto, evalúa la función de distribución acumulativa, que es\[ \begin{align} P(X\leq k) &= 1-(1-0,05)^{19} \\ &= 1-(0.95)^{19} \\&=0.622646.\end{align}\] Por tanto, la probabilidad de ganar un premio en menos de \(20\) intentos es \(62,2646\%\).
3. Siempre que te pregunten por las expectativas, debes empezar por hallar el valor esperado. En este caso, esto significa que\[ \begin{align} \mu &= \frac{1}{\mu} &= \frac{1}{0,05} \\ &= 20. \end{align}\]Esto significa que puedes esperar jugar a la máquina de garras unas \(20\) veces. Como cada vez que juegas te cuesta 25 centavos, necesitas \(20\) centavos, así que\[20(0,25) = 5\]significa que puedes esperar gastar \(5\) en la máquina de pinzas.