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Supongamos que quieres saber el promedio de la nota media de los estudiantes de último curso de secundaria de Atlanta, Georgia. Para calcular el valor exacto, tendrías que preguntar a la población, es decir, a todos los estudiantes de último curso de Atlanta, Georgia, por su GPA. ¡Eso suena agotador! Pero, ¿y si, en lugar de preguntar a todos los alumnos de último curso, tomas una muestra? Esta es la idea que subyace a las distribuciones muestrales.
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Regístrate gratisPara utilizar la distribución normal para modelizar una distribución muestral de la media, debe cumplirse la siguiente condición relativa al tamaño de la muestra:
La desviación típica de la distribución muestral de la proporción \(\widehat{p}\) puede calcularse mediante la fórmula ____.
Para utilizar la distribución normal para modelizar una distribución muestral de proporción, debe cumplirse la siguiente condición:
La desviación típica de la distribución muestral de la media \(\overline{x}\}) puede calcularse mediante la fórmula ____.
La variabilidad del muestreo puede reducirse mediante _____.
Para utilizar la distribución normal para modelizar una distribución muestral de la media, debe cumplirse la siguiente condición relativa al tamaño de la muestra:
La desviación típica de la distribución muestral de la proporción \(\widehat{p}\) puede calcularse mediante la fórmula ____.
Para utilizar la distribución normal para modelizar una distribución muestral de proporción, debe cumplirse la siguiente condición:
La desviación típica de la distribución muestral de la media \(\overline{x}\}) puede calcularse mediante la fórmula ____.
La variabilidad del muestreo puede reducirse mediante _____.
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Enviar comentariosEn este artículo encontrarás la definición de las distribuciones muestrales, los tipos de distribuciones muestrales, las fórmulas, la media y la desviación típica de las distribuciones muestrales, y ejemplos de aplicación.
Volviendo al ejemplo anterior, supongamos que seleccionas y muestras aleatoriamente \(100\) estudiantes de último curso y calculas la media de GPA a partir de esta muestra. Esta media no sería la misma que la media de todos los estudiantes de último curso de Atlanta. Podría ser más baja o más alta, pero lo más probable es que no fuera exactamente igual a la media de la población.
Si seleccionas una segunda muestra de \(100\) estudiantes de último curso, lo más probable es que la media de las notas de esta muestra difiera de la media de la primera. Así pues, las muestras aleatorias seleccionadas producirían valores medios diferentes. A pesar de esta variedad de valores, cuando se obtienen muchas medias muestrales, puedes trazar estas medias recogidas en un gráfico, y así se puede obtener una media estimada de toda la población. Este proceso explica el concepto de crear distribuciones muestrales de la media.
Un valor que se calcula tomando información de una muestra se denomina estadística. La estadística te permite estimar los datos de toda una población. Como has visto en el ejemplo anterior, diferentes muestras aleatorias pueden dar valores distintos para una estadística; esta diferencia se llama variabilidad mues tral (o error de muestreo). Esta variabilidad muestral puede reducirse aumentando el tamaño de la muestra.
La distribución formada por todos los valores posibles de los estadísticos muestrales obtenidos para cada muestra diferente posible de un tamaño dado se llama distribución muestral.
Para garantizar que la distribución muestral estima realmente toda la población, debes asegurarte de que se verifican estos dos criterios:
Condición dealeatoriedad: la condición más importante necesaria para crear una distribución muestral es que tus datos procedan de muestras seleccionadas al azar.
Independencia (condición \(10\%\)): los valores muestreados deben ser independientes entre sí. Alcanzar esta condición equivale a considerar tamaños de muestra no superiores a \(10\%\) de toda la población.
Volvamos al ejemplo del promedio de GPA. Para la condición de aleatoriedad, a menos que tengas una lista de los alumnos con la nota media más alta de Atlanta, basta con elegir aleatoriamente a cualquier \(100) alumno para satisfacer esta condición.
Por otra parte, para la condición de independencia, no es descabellado suponer que hay más de \(10\, 000\) alumnos de último curso en Atlanta, por lo que el \(10\%\) de esto es \(1\,000\). Cualquier tamaño de muestra inferior a \(1.000\) satisface esta condición, por lo que considerar muestras de un \(100\) de tamaño es aceptable.
Hay 3 tipos de distribuciones muestrales:
Distribución muestral de proporciones
Distribución muestral de medias
Distribución en T
Se utiliza para estimar una proporción de la población. Calcula la proporción de éxito, o probabilidad, de que se produzca un suceso concreto. La media de cada grupo de la proporción muestral es una representación de la proporción estimada de éxito de toda la población.
Consiste en calcular las medias de todos los grupos de la muestra de una población seleccionada. A continuación, la media de las medias de todas las muestras es una media estimada de toda la población.
Se centra en una población pequeña. Se utiliza para medir la media de la población y otras medidas estadísticas, como intervalos de confianza, regresión lineal y diferencias estadísticas. Dado que esta distribución utiliza puntuaciones \(t\)- para calcular probabilidades, queda fuera del ámbito de este artículo.
La proporción de la muestra, denotada por \(\widehat{p}\), se calcula contando cuántos éxitos hay en la muestra (éxito significa que un individuo posee la característica de interés) y dividiéndolo por el tamaño total de la muestra \(n\)
\[\widehat{p}=\frac{\text{número de éxitos en la muestra}}{n}.\}]
La media muestral, denotada por \(\sobrelínea{x}), se calcula sumando todos los valores obtenidos de la muestra y dividiéndolos por el tamaño total de la muestra \(n\). La idea es la misma que hallar la media de un conjunto de datos. La fórmula es
\[\overline{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n},\]
donde \(\overline{x}\) es la media muestral, \(x_i\) es cada uno de los valores de la muestra, y \(n\) es el tamaño de la muestra.
Todas las distribuciones de probabilidad tienen características que las distinguen. Las distribuciones muestrales no son una excepción, conocer la media y la desviación típica puede darte mucha información sobre la forma de la distribución.
Sea \(p\) la proporción de éxito en una población y \(\widehat{p}\) la proporción muestral, es decir, la proporción de éxito en una muestra aleatoria de tamaño \(n\), entonces la distribución muestral de \(\widehat{p}\) tiene media y desviación típica dadas por \[\mu_widehat{p}=p,\text{ y }\, \sigma_widehat{p}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}.\]
Además, si \[np\geq 10,\text{ y }\, n(1-p)\geq 10,\] entonces, la distribución muestral de \(\widehat{p}) es similar a una distribución normal.
Se selecciona una muestra aleatoria de una población que tiene una proporción de aciertos \(p=0,72\). Calcula la media y la desviación típica de la distribución muestral de \(\widehat{p}\) con un tamaño de muestra \(n=20\).
Solución:
Utilizando las fórmulas anteriores, la media es igual a la proporción de aciertos de la población, luego \[\mu_\widehat{p}=0,72,\} mientras que la desviación típica viene dada por \[\sigma_\widehat{p} =\sqrt{\frac{0,72(0,28)}{20}}aproximadamente 0,100,\}.
Sea \(\mu\) la media y \(\sigma\) la desviación típica de la población. Si \(\overline{x}\) es la media muestral de una muestra aleatoria de tamaño \(n\), la distribución muestral de \(\overline{x}\) tiene una media y una desviación típica dadas por \[\mu_overline{x}=\mu,\texto{ y }\, \sigma_overline{x}=\frac{\sigma}{cuadrado{n}.\}].
La desviación típica de la distribución muestral de las medias también se conoce como error típico de la media (EEM).
Si el tamaño de la muestra \(n\) es suficientemente grande (según el Teorema del Límite Central, \(n\geq 30\) es suficiente), entonces, la distribución muestral de \(\overline{x}\) es similar a una distribución normal.
Se selecciona una muestra aleatoria de una población con media \(\mu=80\) y desviación típica \(\sigma=5\). Calcula la media y la desviación típica de la distribución muestral de \(\overline{x}\) con tamaño de muestra \(n=35\).
Solución:
Utilizando las fórmulas anteriores, la media muestral es igual a la media de la población, por lo que \[\mu_overline{x}=80.\} Y para la desviación típica de la media muestral
\[\sigma_\overline{x}=\frac{5}{\sqrt{35}}\approx 0.845.\]
Veamos un ejemplo en el que se utilizan distribuciones muestrales.
Un restaurante afirma que a \(30\%\) de sus clientes les gusta la piña en la pizza. Si hay \(100\) clientes un día determinado, ¿cuál es la probabilidad de que al menos \(40\%\) de esos clientes compren una pizza con piña?
Solución:
(1) Observa que \(p=0,30\), \((1-p)=0,70\) y el tamaño de la muestra es \(n=100\). Por tanto, la media \(\mu_{widehat{p}=0,30\}) y la desviación típica \[\sigma_{{widehat{p}}=\sqrt{\frac{(0,30)(0,70)}{100}}aproximadamente 0,046.\}].
(2) Como \(np=100(0,30)=30>10\) y \(n(1-p)=100(0,70)=70>10\), entonces la distribución muestral de \(\widehat{p}) es similar a una distribución normal, y puedes utilizarla después para calcular la probabilidad.
(3 ) Convirtiendo \(\widehat{p}\) en \(z\)-puntuación (para más detalles, consulta el artículo \(z\)-puntuaciones), tendrás
\[\inicio{alineación} P(\aquello{p}>40) &= P\a la izquierda(z>frac{0,40-0,30}{0,046}\a la derecha) \a y=P(z>2,17) \a y =1-P(z<2,17) \a y= 1-0,9850 \a y=0,015.end{align}\a].
Por tanto, la probabilidad de que al menos \(40\%\) de estos clientes pidan una pizza con piña es \(0,015\).
Veamos un ejemplo más.
Una empresa afirma que la vida media de sus bombillas es de \(2.000\) horas, con una desviación típica de \(300\) horas. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 50 bombillas tenga una vida media inferior a 1.900 horas?
Solución:
(1) Como el tamaño de la muestra es \(n=50\), según el Teorema del Límite Central, la distribución muestral de la media \(\overline{x}\) sigue una distribución normal con media \(\mu_\overline{x}=2\,000\}) y desviación típica \[\sigma_overline{x}=\frac{300}{cuadrado{50}} \aprox 42,426. \].
(2) Convirtiendo las puntuaciones \(\sobrelínea{x}) en puntuaciones \(z\) y utilizando la tabla normal estándar (para más información, consulta el artículo Distribución normal estándar), tendrás
\[\begin{align} P(x<1,900) &=P(z<frac{1,900-2,000}{42,426}\a la derecha) &=P(z<-2,35) &= 0,0094. \end{align}\]
Por tanto, la probabilidad de que, de una muestra de tamaño \(n=50) bombillas, la vida media sea inferior a \(1.900\) horas es \(0,0094\).
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Lily Hulatt es una especialista en contenido digital con más de tres años de experiencia en estrategia de contenido y diseño curricular. Obtuvo su doctorado en Literatura Inglesa en la Universidad de Durham en 2022, enseñó en el Departamento de Estudios Ingleses de la Universidad de Durham y ha contribuido a varias publicaciones. Lily se especializa en Literatura Inglesa, Lengua Inglesa, Historia y Filosofía.
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Gabriel Freitas es un ingeniero en inteligencia artificial con una sólida experiencia en desarrollo de software, algoritmos de aprendizaje automático e IA generativa, incluidas aplicaciones de grandes modelos de lenguaje (LLM). Graduado en Ingeniería Eléctrica de la Universidad de São Paulo, actualmente cursa una maestría en Ingeniería Informática en la Universidad de Campinas, especializándose en temas de aprendizaje automático. Gabriel tiene una sólida formación en ingeniería de software y ha trabajado en proyectos que involucran visión por computadora, IA integrada y aplicaciones LLM.
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