Supongamos que se celebra un juicio, es habitual suponer que alguien es inocente a menos que haya pruebas suficientes que sugieran que es culpable. Tras el juicio, el juez declara culpable al acusado, pero resulta que éste no era culpable. Éste es un ejemplo de error de Tipo I.
Definición de un error de tipo I
Supongamos que has realizado una prueba de hipótesis que conduce al rechazo de la hipótesis nula \(H_0\). Si resulta que, de hecho, la hipótesis nula es cierta, habrás cometido un error de Tipo I. Ahora bien, supongamos que has realizado una prueba de hipótesis y has aceptado la hipótesis nula, pero en realidad la \(H_0\) es falsa, entonces has cometido un error de Tipo II. Una buena forma de recordarlo es mediante la siguiente tabla:
| \(H_0\) verdadera | \(H_0\) falso | |
| Rechazar \(H_0\) | Error de tipo I | Sin error |
| No rechazar \(H_0\) | Ningún error | Error de tipo II |
Un error de TipoI es cuando has rechazado \(H_0\) cuando \(H_0\) es verdadera.
Sin embargo, hay otra forma de pensar en los errores de Tipo I.
Un error de tipo I es un falso positivo
Los errores de tipo I también se conocen como falsos positivos. Esto se debe a que rechazar \(H_0\) cuando \(H_0\) es verdadera implica que el estadístico ha concluido falsamente que hay significación estadística en la prueba cuando no la había. Un ejemplo del mundo real de un falso positivo es cuando salta una alarma de incendio cuando no hay ningún incendio o cuando te han diagnosticado falsamente una enfermedad o dolencia. Como puedes imaginar, los falsos positivos pueden dar lugar a una desinformación importante, especialmente en el caso de la investigación médica. Por ejemplo, al hacer la prueba del COVID-19, la probabilidad de dar positivo cuando no se tiene el COVID-19 se estimó en torno al \(2,3\%\). Estos falsos positivos pueden llevar a sobreestimar el impacto del virus, lo que supone un despilfarro de recursos.
Saber que los errores de tipo I son falsos positivos es una buena forma de recordar la diferencia entre los errores de tipo I y los errores de tipo II, que se denominan falsos negativos.
Errores de tipo I y Alfa
Un error de Tipo I se produce cuando se rechaza la hipótesis nula cuando en realidad es cierta. La probabilidad de un error de Tipo I se suele denotar por \(\alfa\) y se conoce como el tamaño de la prueba.
El tamaño de una prueba, \(\alpha\), es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula, \(H_0\), cuando la \(H_0\) es cierta, y es igual a la probabilidad de un error de Tipo I.
El tamaño de una prueba es el nivel de significación de la prueba y se elige antes de realizarla. Los errores de Tipo 1 tienen una probabilidad de \(\alfa\) que se correlaciona con el nivel de confianza que fijará el estadístico al realizar la prueba de hipótesis.
Por ejemplo, si un estadístico fija un nivel de confianza de \(99\%\), entonces hay una probabilidad de \(1\%\) o una probabilidad de \(\alpha=0,01\) de que se produzca un error de Tipo 1. Otras opciones habituales para \(\alfa) son \(0,05\) y \(0,1\). Por lo tanto, puedes reducir la probabilidad de un error de tipo I disminuyendo el nivel de significación de la prueba.
La probabilidad de un error de tipo I
Puedes calcular la probabilidad de que se produzca un error de tipo I observando la región crítica o el nivel de significación. La región crítica de una prueba se determina de forma que la probabilidad de un error de tipo I sea inferior o igual al nivel de significación \(\alfa\).
Hay que hacer una distinción importante entre variables aleatorias continuas y discretas al examinar la probabilidad de que se produzca un error de Tipo I. Cuando se consideran variables aleatorias discretas, la probabilidad de un error de Tipo I es el nivel de significación real, mientras que cuando la variable aleatoria en cuestión es continua, la probabilidad de un error de Tipo I es igual al nivel de significación de la prueba.
Para hallar la probabilidad de un error de Tipo 1:
\[\begin{align} \(rechazar H_0 cuando H_0 es cierto) &=mathbb{P}(estar en la región crítica) \end{align}].
Para variables aleatorias discretas
\[\mathbb{P}(\text{error de tipo I})\leq \alpha.\]
Para variables aleatorias continuas:
\[\mathbb{P}(\text{error de tipo I})= \alpha.\]
Ejemplos discretos de errores de tipo I
Entonces, ¿cómo hallar la probabilidad de un error de tipo I si tienes una variable aleatoria discreta?
La variable aleatoria \(X\) tiene distribución binomial. Supongamos que se toma una muestra de 10 y un estadístico quiere contrastar la hipótesis nula \(H_0: \; p=0,45\) con la hipótesis alternativa \(H_1:\; p\neq0,45\).
a) Halla la región crítica de esta prueba.
b) Indica la probabilidad de un error de tipo I para esta prueba.
Solución:
a) Como se trata de una prueba de dos colas, a un nivel de significación de \(5\%\), los valores críticos, \(c_1\) y \(c_2\) son tales que
\(c_1) y \(c_2) son tales que \(X\leq c_1) &\leq0,025 \text{ y } \mathbb{P}(X\geq c_2) &\leq 0,025. \end{align}\]
\(\mathbb{P}(X\geq c_2) = 1-\mathbb{P}(X\leq c_2-1)\leq0,025) o \( \mathbb{P}(X\leq c_2-1) \geq0,975)
Supongamos que \(H_0\) es cierto. Entonces, bajo la hipótesis nula \(X\sim B(10,0,45)\), de las tablas estadísticas:
\[ \begin{align} &\mathbb{P}(X \leq 1)=0,0233<0,025 \ y \mathbb{P}(X \leq 2)=0,0996>0,025.\end{align}\]
Por tanto, el valor crítico es \(c_1=1\). Para el segundo valor crítico
\[ \begin{align} &\mathbb{P}(X \leq 7)=0,9726<0,975 \ y \mathbb{P}(X \leq 8)=0,996>0,975. \end{align}\]
Por tanto, \(c_2-1=8\), así que el valor crítico es \(c_2=9\).
Por tanto, la región crítica para esta prueba con un nivel de significación de \(5\%) es
\[\left\{ X\leq 1\right\}\cup \left\{ X\geq 9\right\}.\}.
b) Se produce un error de tipo I cuando rechazas \(H_0\) pero \(H_0\) es cierta, es decir, es la probabilidad de que estés en la región crítica dado que la hipótesis nula es cierta.
Por tanto, bajo la hipótesis nula, \(p=0,45\)
\[\begin{align} \(error de tipo I)&=(Xleq1 \mid p=0,45)+(Xgeq9 \mid p=0,45) &=0,0233+1-0,996 &=0,0273. \end{align}\]
Veamos otro ejemplo.
Se lanza una moneda hasta obtener una cola.
a) Utilizando una distribución adecuada, halla la región crítica para una prueba de hipótesis que compruebe si la moneda tiene sesgo hacia la cara al nivel de significación \(5\%\).
b) Indica la probabilidad de un error de tipo I para esta prueba.
Solución:
a) Sea \(X\) el número de lanzamientos de la moneda antes de obtener una cruz.
Entonces se puede responder utilizando la distribución geométrica de la siguiente manera, ya que el número de fallos (caras) \(k - 1\) antes del primer acierto/cola con una probabilidad de cola dada por \(p\).
Por tanto, \(X\sim \rm{Geo}(p)\) donde \(p\) es la probabilidad de que se obtenga una cola. Por tanto, las hipótesis nula y alternativa son
\[ \begin{align} &H_0: \; p=\frac{1}{2} \\ y &H_1: \; p<frac{1}{2}. \end{align}\]
Aquí la hipótesis alternativa es la que quieres establecer, es decir, que la moneda está sesgada hacia la cara, y la hipótesis nula es su negación, es decir, que la moneda no está sesgada.
Bajo la hipótesis nula \(X\sim \rm{Geo} \left(\frac{1}{2}\right)\).
Como se trata de una prueba de una sola cola con un nivel de significación de 5, quieres encontrar el valor crítico de c tal que P (Xgeq c) sea 0,05). Esto significa que quieres
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{c-1} \leq 0,05].
Por tanto,
\[ (c-1)\ln\izquierda(\frac{1}{2}\derecha) \leq \ln(0,05), \]
lo que significa que \(c >5,3219\).
Por tanto, la región crítica para esta prueba es \(X \geq 5,3219=6\).
Aquí has utilizado el hecho de que, para una distribución geométrica \(X\sim \rm{Geo}(p)\),
\[\mathbb{P}(X \geq x)=(1-p)^{x-1}.\]
b) Como \(X\) es una variable aleatoria discreta, \(\mathbb{P}(\text{error de Tipo I})\leq \alpha\), y la probabilidad de un error de Tipo I es el nivel de significación real. Así que
\[\begin{align} \(rechazando H_0 cuando H_0 es verdadera) &=mathbb{P}(X\geq 6 \mid p=0.5) ¾ izquierda(¾frac{1} {2} derecha)¾ 6-1} ¾ 0,03125. \end{align}\]
Ejemplos continuos de un error de tipo I
En el caso continuo, al hallar la probabilidad de un error de tipo I, simplemente tendrás que dar el nivel de significación de la prueba dada en la pregunta.
La variable aleatoria \(X\) se distribuye normalmente de forma que \(X\sim N(\mu ,4)\). Supongamos que se toma una muestra aleatoria de \(16\) observaciones y \(\bar{X}\) el estadístico de la prueba. Un estadístico quiere contrastar \(H_0:\mu=30\) con \(H_1:\mu<30\) utilizando un nivel de significación \(5\%\).
a) Halla la región crítica.
b) Indica la probabilidad de un error de tipo I.
Solución:
a) Bajo la hipótesis nula tienes \(\bar{X}\sim N(30,\frac{4}{16})\).
Define
\[Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\mu}{\sqrt{n}}}\sim N(0,1).\]
En el nivel de significación \(5\%\) para una prueba unilateral, a partir de las tablas estadísticas, la región crítica para \(Z\) es \(Z<-1,6449\).
Por lo tanto, rechazas \(H_0\) si
\[\begin{align} \frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\mu}{\sqrt{n}}}&=\frac{\bar{X}-30}{\frac{2}{\sqrt{16}}} \\ &\leq -1,6449.\end{align}]
Por tanto, reordenando un poco, la región crítica para \(\bar{X}\) viene dada por \(\bar{X}\leq 29,1776).
b) Como \(X\) es una variable aleatoria continua, no hay diferencia entre el nivel de significación objetivo y el nivel de significación real. Por tanto, \(\mathbb{P}(\text{error de tipo I})= \alpha\) es decir, la probabilidad de un error de tipo I \(\alpha\) es la misma que el nivel de significación de la prueba, por lo que
\[\mathbb{P}(\texto{error de tipo I})=0,05.\]
Relación entre los errores de tipo I y de tipo II
La relación entre las probabilidades de los errores de tipo I y de tipo II es importante en la comprobación de hipótesis, ya que los estadísticos quieren minimizar ambos. Sin embargo, para minimizar la probabilidad de uno, aumentas la probabilidad del otro.
Por ejemplo, si reduces la probabilidad de un error de Tipo II (la probabilidad de no rechazar la hipótesis nula cuando es falsa) disminuyendo el nivel de significación de una prueba, al hacerlo aumentas la probabilidad de un error de Tipo I. Este fenómeno de compensación suele abordarse dando prioridad a la minimización de la probabilidad de errores de Tipo I.
Para más información sobre los errores de Tipo II, consulta nuestro artículo sobre Errores de Tipo II.
Errores de tipo I - Puntos clave
- Un error de tipo I se produce cuando has rechazado \(H_0\) cuando \(H_0\) es verdadera.
- Los errores de tipo I también se conocen como falsos positivos.
- El tamaño de una prueba, \(\alpha), es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula, \(H_0\), cuando la \(H_0\) es verdadera y esto es igual a la probabilidad de un error de Tipo I.
- Puedes reducir la probabilidad de un error de Tipo I disminuyendo el nivel de significación de la prueba.
- Existe un compromiso entre los errores de Tipo I y de Tipo II, ya que no puedes disminuir la probabilidad de un error de Tipo I sin aumentar la probabilidad de un error de Tipo II, y viceversa.
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