Errores de Tipo I

La variable aleatoria \(X\) tiene distribución binomial. Supongamos que se toma una muestra de 10 y un estadístico quiere contrastar la hipótesis nula \(H_0: \; p=0,45\) con la hipótesis alternativa \(H_1:\; p\neq0,45\).

a) Halla la región crítica de esta prueba.

b) Indica la probabilidad de un error de tipo I para esta prueba.

Solución:

a) Como se trata de una prueba de dos colas, a un nivel de significación de \(5\%\), los valores críticos, \(c_1\) y \(c_2\) son tales que

\(c_1) y \(c_2) son tales que \(X\leq c_1) &\leq0,025 \text{ y } \mathbb{P}(X\geq c_2) &\leq 0,025. \end{align}\]

\(\mathbb{P}(X\geq c_2) = 1-\mathbb{P}(X\leq c_2-1)\leq0,025) o \( \mathbb{P}(X\leq c_2-1) \geq0,975)

Supongamos que \(H_0\) es cierto. Entonces, bajo la hipótesis nula \(X\sim B(10,0,45)\), de las tablas estadísticas:

\[ \begin{align} &\mathbb{P}(X \leq 1)=0,0233<0,025 \ y \mathbb{P}(X \leq 2)=0,0996>0,025.\end{align}\]

Por tanto, el valor crítico es \(c_1=1\). Para el segundo valor crítico

\[ \begin{align} &\mathbb{P}(X \leq 7)=0,9726<0,975 \ y \mathbb{P}(X \leq 8)=0,996>0,975. \end{align}\]

Por tanto, \(c_2-1=8\), así que el valor crítico es \(c_2=9\).

Por tanto, la región crítica para esta prueba con un nivel de significación de \(5\%) es

\[\left\{ X\leq 1\right\}\cup \left\{ X\geq 9\right\}.\}.

b) Se produce un error de tipo I cuando rechazas \(H_0\) pero \(H_0\) es cierta, es decir, es la probabilidad de que estés en la región crítica dado que la hipótesis nula es cierta.

Por tanto, bajo la hipótesis nula, \(p=0,45\)

\[\begin{align} \(error de tipo I)&=(Xleq1 \mid p=0,45)+(Xgeq9 \mid p=0,45) &=0,0233+1-0,996 &=0,0273. \end{align}\]

Se lanza una moneda hasta obtener una cola.

a) Utilizando una distribución adecuada, halla la región crítica para una prueba de hipótesis que compruebe si la moneda tiene sesgo hacia la cara al nivel de significación \(5\%\).

b) Indica la probabilidad de un error de tipo I para esta prueba.

Solución:

a) Sea \(X\) el número de lanzamientos de la moneda antes de obtener una cruz.

Entonces se puede responder utilizando la distribución geométrica de la siguiente manera, ya que el número de fallos (caras) \(k - 1\) antes del primer acierto/cola con una probabilidad de cola dada por \(p\).

Por tanto, \(X\sim \rm{Geo}(p)\) donde \(p\) es la probabilidad de que se obtenga una cola. Por tanto, las hipótesis nula y alternativa son

\[ \begin{align} &H_0: \; p=\frac{1}{2} \\ y &H_1: \; p<frac{1}{2}. \end{align}\]

Aquí la hipótesis alternativa es la que quieres establecer, es decir, que la moneda está sesgada hacia la cara, y la hipótesis nula es su negación, es decir, que la moneda no está sesgada.

Bajo la hipótesis nula \(X\sim \rm{Geo} \left(\frac{1}{2}\right)\).

Como se trata de una prueba de una sola cola con un nivel de significación de 5, quieres encontrar el valor crítico de c tal que P (Xgeq c) sea 0,05). Esto significa que quieres

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{c-1} \leq 0,05].

Por tanto,

\[ (c-1)\ln\izquierda(\frac{1}{2}\derecha) \leq \ln(0,05), \]

lo que significa que \(c >5,3219\).

Por tanto, la región crítica para esta prueba es \(X \geq 5,3219=6\).

Aquí has utilizado el hecho de que, para una distribución geométrica \(X\sim \rm{Geo}(p)\),

\[\mathbb{P}(X \geq x)=(1-p)^{x-1}.\]

b) Como \(X\) es una variable aleatoria discreta, \(\mathbb{P}(\text{error de Tipo I})\leq \alpha\), y la probabilidad de un error de Tipo I es el nivel de significación real. Así que

\[\begin{align} \(rechazando H_0 cuando H_0 es verdadera) &=mathbb{P}(X\geq 6 \mid p=0.5) ¾ izquierda(¾frac{1} {2} derecha)¾ 6-1} ¾ 0,03125. \end{align}\]

La variable aleatoria \(X\) se distribuye normalmente de forma que \(X\sim N(\mu ,4)\). Supongamos que se toma una muestra aleatoria de \(16\) observaciones y \(\bar{X}\) el estadístico de la prueba. Un estadístico quiere contrastar \(H_0:\mu=30\) con \(H_1:\mu<30\) utilizando un nivel de significación \(5\%\).

a) Halla la región crítica.

b) Indica la probabilidad de un error de tipo I.

Solución:

a) Bajo la hipótesis nula tienes \(\bar{X}\sim N(30,\frac{4}{16})\).

Define

\[Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\mu}{\sqrt{n}}}\sim N(0,1).\]

En el nivel de significación \(5\%\) para una prueba unilateral, a partir de las tablas estadísticas, la región crítica para \(Z\) es \(Z<-1,6449\).

Por lo tanto, rechazas \(H_0\) si

\[\begin{align} \frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\mu}{\sqrt{n}}}&=\frac{\bar{X}-30}{\frac{2}{\sqrt{16}}} \\ &\leq -1,6449.\end{align}]

Por tanto, reordenando un poco, la región crítica para \(\bar{X}\) viene dada por \(\bar{X}\leq 29,1776).

b) Como \(X\) es una variable aleatoria continua, no hay diferencia entre el nivel de significación objetivo y el nivel de significación real. Por tanto, \(\mathbb{P}(\text{error de tipo I})= \alpha\) es decir, la probabilidad de un error de tipo I \(\alpha\) es la misma que el nivel de significación de la prueba, por lo que

\[\mathbb{P}(\texto{error de tipo I})=0,05.\]