Errores de Tipo II

Un ejemplo de falso negativo es cuando alguien se somete a la prueba del coronavirus y recibe un resultado que dice que no está infectado, pero en realidad lo está.

Considera una variable \(X\) con una distribución de Poisson. Se toma una muestra, y un estadístico quiere realizar la siguiente prueba de hipótesis, \(H_0: \lambda=9\) v.s. \(H_1:\lambda\neq9\), al nivel de significación del 5%.

a) Halla la región crítica para esta prueba.

b) Supón que el valor verdadero de \(\lambda\) resultara ser posteriormente 8, calcula la probabilidad de un error de Tipo II.

Solución

a) Como \(H_0: \lambda=9\) v.s. \(H_1:\lambda\neq9\), estamos ante una prueba de dos colas.

Supongamos que \(H_0\) es verdadera, es decir, supongamos que \(X=c_0).

Sea \(X=c_1\) el límite superior de la región crítica inferior. Queremos encontrar \(c_1\) tal que \(\mathbb{P}(X \leq c_1)<0,0025\)

A partir de las tablas estadísticas

\[\begin{align} \(X \leq 4)&=0,0550>0,0025 [\mathbb{P}(X \leq 3)&=0,0212<0,0025 [end{align}].

Por tanto, \(c_1=3\).

Sea \(X=c_2\) el límite inferior de la región crítica superior. Queremos encontrar \(c_2) tal que \(\mathbb{P}(X \geq c_2)<0,0025\).

De las tablas estadísticas,

\[\small{\begin{align} \(X \geq 15)&=1-\mathbb{P}(X \leq 14)=1-0,9585=0,0415>0,0025 \mathbb{P}(X \geq 16)&=1-\mathbb{P}(X \leq 15)=1-0,9780=0,0220<0,0025 \end{align}}].

Por tanto, \(c_2=16\).

Así que la región crítica para esta prueba es \({X\leq3}\) y \({X \geq 16}\).

b) Como tenemos el valor verdadero de \(\lambda=8\), sabemos que la hipótesis nula es falsa, así que podemos calcular la probabilidad de un error de tipo II.

\(\begin{align} \P(\texto{error de tipo II})&=P(\texto{aceptar} H_0 \texto{cuando} H_0 \texto{es falsa}) &=P(4\leq X\geq 15 \mid H_0 \texto{es falsa}) fin)

Dado que el valor verdadero de \(\lambda=8\),

\(principio) \error de tipo II)&=mathbb{P}(4 \leq X \geq 15\mid \lambda=8) &=mathbb{P}(X \geq 15 \mid \lambda=8)-\mathbb{P}(X \leq 3 \mid \lambda=8) &=0,9918-0,0424=0,9494. \fin)

Supón que alguien afirma que la estatura media de los varones de EE.UU. se distribuye normalmente con una media de 70 pulgadas y una desviación típica de 3 pulgadas.

Un estadístico decide entonces tomar una muestra aleatoria de 36 varones de la población de EE.UU. para comprobar esta afirmación.

Sea la variable aleatoria \(X\) la altura de un varón.

a) Utilizando un nivel de significación del 5%, halla la región crítica para esta prueba.

b) Dado que la altura media era en realidad de 65 pulgadas, halla la probabilidad de que se acepte erróneamente la afirmación de la persona.

Solución

a) Definimos la hipótesis nula

\[H_0: \mu=70 \quad \text{v.s.} H_1: \mu\neq70.\]

Supongamos que \(H_0\), entonces, como \(X\) denota la altura de un varón, la altura media de los varones en EE.UU. se distribuye de modo que \(\bar{X} \sim N(70, 3^2/36)\).

Como queremos hacer la prueba utilizando la media de una variable aleatoria normal, para simplificar las cosas, podemos utilizar el resultado,

Si \(\bar{X} \sim N(\mu,\sigma^2)\), entonces \(Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{cuadrado n}}. \sim N(0,1)\).

Normaliza esta variable \(\bar{X}\): \( Z=\frac{\bar{X}-70}{\frac{3}{\sqrt(36)}} = \frac{\bar{X}-70}{\frac{1}{2}}=2(\bar{X}-70)\) donde la variable aleatoria \(Z \sim N(0, 1)\).

Con un nivel de significación del 5%, como tenemos una prueba de hipótesis de dos colas, necesitamos un 2,5% en cada cola.

A partir de las tablas estadísticas, la región crítica para \(Z\) es

\(Z > 1,9600\) o \(Z<-1,9600\)

Por tanto, los valores críticos para \(\bar{X}\) vienen dados por

\[2(\bar{X}-70)=\pm 1,96\}]

\[Por tanto, \bar{X} = 69,02 \texto{y} \texto{cuadrado} \bar{X} = 70,98].

Por tanto, la región crítica para \(\bar{X}) es \(\bar{X} <69,02) o \(\bar{X} >70,98).

b) Si se acepta la afirmación de la persona sobre la estatura media masculina aunque la estatura media real resulte ser diferente, se trata de un error de tipo II.

\π[πbegin{align} \error de tipo II)&=mathbb{P}(69,02 \leq \bar{X} \leq 70,98 \mid \mu=65).98 \mid \mu=65)-\mathbb{P}(\bar{X} \leq 69,02 \mid \mu=65) \ &=0,9769-0,9099\\&=0,067. \end{align}\]

Supongamos que una variable aleatoria \(X\) tiene una distribución geométrica. Un estadístico quiere probar la hipótesis \[H_0: p=0,05\quad \text{v.s.} \quad H_1: p\neq0,05\}] utilizando un nivel de significación del 1%.

a) Halla la región crítica para esta prueba.

b) Ahora, dado que \(p=0,03\), halla la potencia de esta prueba.

Solución

a) Supongamos que estamos bajo la hipótesis nula, \(H_0), por lo que \(X \sim \text{Geo}(0,05)\). Como se trata de una prueba de dos colas al nivel de significación del 1%, si \(X=c_1\) es el límite inferior de la región crítica superior, entonces tenemos que encontrar \(c_1\) tal que \[\mathbb{P}(X \geq c_1)<0,005.\].

A partir de la distribución de una variable aleatoria geométrica, tenemos

\c_1-1&>frac{\ln(0,005)}{\ln(0,95)} c_1&>104,29454 [fin]].

Así que \(c_1=104\) lo que da una región crítica superior de \(X \geq 104.\)

Si \(X=c_2\) es el límite superior de la región crítica inferior, entonces tenemos que encontrar \(c_2\) tal que

\[\mathbb{P}(X \leq c_2)<0,005.\]

\¾[1-(1-0,05)^{c_2}&<0,005 ¾ 0,95^c_2&>0,995 ¾ c_2&<frac{\ln(0,995)}{\ln(0,95)} ¾ c_2&<0,0977 ¾end{align}].

Así que \(c_2=0,1\) lo que da una región crítica inferior de \(X \leq 0,01.\)

b) La potencia de la prueba puede calcularse mediante, \[ \begin{align} \text{Potencia}&= \mathbb{P}(H_0 \text{ se rechaza} \mid p=0,03) \ &=\mathbb{P}(X \leq 0,1 \mid p=0,03.03)+\mathbb{P}(X \geq 104 \mid p=0,03) &=1-(1-0,03)^{0,1}+(1-0,03)^{104}=0,04513 \end{align}\]