Estimación puntual

Definición de estimación puntual

A estas alturas, ya deberías estar familiarizado con los conceptos de población, muestra, parámetro y estadística. Sirva como breve recordatorio

• La población es el grupo que te interesa estudiar y cuyos resultados se deducen estadísticamente;

• Un parámetro es una característica de la población que quieres estudiar y que puede representarse numéricamente;

• Una muestra es un pequeño grupo de elementos de la población en la que te interesa que sea representativo;

• Un estadístico es una característica de la muestra que se representa mediante un valor numérico.

Dicho esto, puedes entender mejor el concepto de estimación puntual:

Ésta es la realidad de un estudio estadístico: es casi seguro que los investigadores no conocerán los parámetros de la población que les interesa.

De ahí la importancia de que la muestra (o muestras) utilizada en un estudio estadístico se aproxime lo más posible a algunas o las principales características de la población, es decir, que la muestra sea representativa.

Fórmulas para la estimación puntual

Diferentes parámetros poblacionales tendrán diferentes estimadores, que a su vez tendrán diferentes fórmulas para su estimación. Más adelante en el artículo, verás algunas de las más utilizadas. Echemos un vistazoa parte de la terminología y notación utilizadas.

El resultado de una estimación puntual de un parámetro es un único valor, al que se suele denominar estimador, y normalmente tendrá la misma notación que el parámetro poblacional que representa más un sombrero "^".

En la tabla siguiente puedes ver ejemplos de estimadores y parámetros y sus respectivas notaciones.

Tabla 1. Parámetros estadísticos,

Métodos de estimación puntual

Existen varios métodos de estimación puntual, como el método de máxima verosimilitud, el método de mínimos cuadrados, el estimador mejor insesgado, entre otros.

Todos estos métodos permiten calcular estimadores que respetan ciertas propiedades que dan credibilidad al estimador. Estas propiedades son

• Consistente: aquí quieres que el tamaño de la muestra sea grande para que el valor del estimador sea más exacto;

• Insesgado: esperas que los valores de los estimadores de las muestras que puedas extraer de la población se aproximen lo más posible al valor real del parámetro poblacional (un error típico pequeño).

Los estimadores mostrados en la tabla anterior son insesgados respecto a los parámetros que estiman. Para saber más sobre este tema, lee nuestro artículo sobre Estimaciones puntuales sesgadas e insesgadas.

Cuando se cumplen las dos propiedades anteriores para un estimador, tienes el estimadormás eficiente o mejor insesgado. De todos los estimadores consistentes e insesgados, te conviene elegir el que sea más consistente e insesgado.

A continuación, conocerás dos estimadores con los que deberás familiarizarte, que son la media muestral y el estimador de la proporción. Son los mejores estimadores insesgados para sus respectivos parámetros.

Estimación puntual de la media

Pasemos ahora al primer estimador. Se trata de la media muestral, \(\bar{x}\), de la media poblacional, \(\mu\).Su fórmula es

\[\bar{x}=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}x_i}{n},\]

donde

• \(x_i\) son los puntos de datos (observaciones) de una muestra;

• \(n\) es el tamaño de la muestra.

Como ya has leído, es el mejor estimador insesgado de la media poblacional. Se trata de un estimador basado en la media aritmética.

Veamos un ejemplo de aplicación de esta fórmula.

Otro estimador relacionado con la media es el de la diferencia entre dos medias, \ ( \bar{x}_1-\bar{x}_2\). Puede interesarte este estimador cuando quieras comparar la misma característica numérica entre dos poblaciones, por ejemplo, comparar la altura media entre personas que viven en países distintos.

Estimación puntual de la proporción

La proporción poblacional puede estimarse dividiendo el número de aciertos de la muestra \(x\) entre el tamaño de la muestra (n). Esto puede expresarse como

\[ \hat{p}=\frac{x}{n}\]

¿Qué significa "número de aciertos en la muestra"?

Cuando quieras calcular la proporción de la característica que te interesa, contarás todos los elementos de la muestra que contienen esa característica, y cada uno de esos elementos es un éxito.

Veamos un ejemplo de aplicación de esta fórmula.

Otro estimador relacionado con la proporción es el de la diferencia de dos proporciones, \ ( \hat{p}_1-\hat{p}_2\). Este estimador puede interesarte cuando quieras comparar proporciones de dos poblaciones; por ejemplo, puedes tener dos monedas y sospechar que una de ellas es injusta porque cae en una cara con demasiada frecuencia.

Ejemplo de estimación puntual

Hay algunos elementos importantes asociados a un problema de estimación puntual:

• Datos procedentes de la muestra -al fin y al cabo, sin datos no hay estimación-;

• Un parámetro desconocido de la población - el valor que querrás estimar;

• Una fórmula para el estimador del parámetro;

• El valor del estimador dado por los datos/muestra.

Busca ejemplos en los que veas presentes todos estos elementos.

Estimación puntual frente a estimación por intervalos

Como te habrás dado cuenta después de leer este artículo, la estimación puntual te da un valor numérico que es una aproximación del parámetro poblacional que realmente te gustaría conocer.

Pero el inconveniente de este método de estimación es que no sabes lo cerca o lejos que está el estimador del verdadero valor del parámetro. Y aquí es donde entra en juego la estimación por intervalos, que tendrá en cuenta lo que se denomina margen de error, esa información que te permite apreciar la distancia del estimador al parámetro.

Como puedes imaginar, te interesa que los valores estimados de los parámetros se aproximen lo más posible a los valores verdaderos de los parámetros, ya que esto hace más creíbles las inferencias estadísticas.

Puedes obtener más información sobre la estimación por intervalos en el artículo Intervalos de confianza.