Sin embargo, pueden reunir datos de pequeñas muestras de la población, hallar su media y utilizarla como guía para adivinar el parámetro de toda la población. Esto se denomina estimación puntual.
Este artículo tratará sobre qué es la estimación puntual, los distintos métodos de estimación y sus fórmulas. También te mostrará algunos ejemplos de estimación puntual.
Definición de estimación puntual
A estas alturas, ya deberías estar familiarizado con los conceptos de población, muestra, parámetro y estadística. Sirva como breve recordatorio
La población es el grupo que te interesa estudiar y cuyos resultados se deducen estadísticamente;
Un parámetro es una característica de la población que quieres estudiar y que puede representarse numéricamente;
Una muestra es un pequeño grupo de elementos de la población en la que te interesa que sea representativo;
Un estadístico es una característica de la muestra que se representa mediante un valor numérico.
Dicho esto, puedes entender mejor el concepto de estimación puntual:
La estimaciónpuntual es el uso de estadísticos tomados de una o varias muestras para estimar el valor de un parámetro desconocido de una población.
Ésta es la realidad de un estudio estadístico: es casi seguro que los investigadores no conocerán los parámetros de la población que les interesa.
De ahí la importancia de que la muestra (o muestras) utilizada en un estudio estadístico se aproxime lo más posible a algunas o las principales características de la población, es decir, que la muestra sea representativa.
Fórmulas para la estimación puntual
Diferentes parámetros poblacionales tendrán diferentes estimadores, que a su vez tendrán diferentes fórmulas para su estimación. Más adelante en el artículo, verás algunas de las más utilizadas. Echemos un vistazoa parte de la terminología y notación utilizadas.
El resultado de una estimación puntual de un parámetro es un único valor, al que se suele denominar estimador, y normalmente tendrá la misma notación que el parámetro poblacional que representa más un sombrero "^".
En la tabla siguiente puedes ver ejemplos de estimadores y parámetros y sus respectivas notaciones.
Parámetro | Notación | Estimación puntual | Notación |
Media | \(\mu\) | \(\hat{\mu}\) o \(\bar{x}\) | |
\(p\) | Proporción de la muestra | \(\hat{p}\) | |
Varianza | \(sigma^2) | Varianza de la muestra | \(\hat{s}^2\) o \(s^2\) |
Tabla 1. Parámetros estadísticos,
Métodos de estimación puntual
Existen varios métodos de estimación puntual, como el método de máxima verosimilitud, el método de mínimos cuadrados, el estimador mejor insesgado, entre otros.
Todos estos métodos permiten calcular estimadores que respetan ciertas propiedades que dan credibilidad al estimador. Estas propiedades son
Consistente: aquí quieres que el tamaño de la muestra sea grande para que el valor del estimador sea más exacto;
Insesgado: esperas que los valores de los estimadores de las muestras que puedas extraer de la población se aproximen lo más posible al valor real del parámetro poblacional (un error típico pequeño).
Los estimadores mostrados en la tabla anterior son insesgados respecto a los parámetros que estiman. Para saber más sobre este tema, lee nuestro artículo sobre Estimaciones puntuales sesgadas e insesgadas.
Cuando se cumplen las dos propiedades anteriores para un estimador, tienes el estimadormás eficiente o mejor insesgado. De todos los estimadores consistentes e insesgados, te conviene elegir el que sea más consistente e insesgado.
A continuación, conocerás dos estimadores con los que deberás familiarizarte, que son la media muestral y el estimador de la proporción. Son los mejores estimadores insesgados para sus respectivos parámetros.
Estimación puntual de la media
Pasemos ahora al primer estimador. Se trata de la media muestral, \(\bar{x}\), de la media poblacional, \(\mu\).Su fórmula es
\[\bar{x}=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}x_i}{n},\]
donde
\(x_i\) son los puntos de datos (observaciones) de una muestra;
\(n\) es el tamaño de la muestra.
Como ya has leído, es el mejor estimador insesgado de la media poblacional. Se trata de un estimador basado en la media aritmética.
Veamos un ejemplo de aplicación de esta fórmula.
Dados los valores siguientes, halla la mejor estimación puntual de la media poblacional \(\mu\).
\[7.61, 7.17, 9.06, 6.305, 7.805, 7.11, 9.705, 6.11,8.56, 7.11, 6.455, 9.06\]
Solución:
Se trata simplemente de calcular la media muestral de estos datos.
\[\begin{align} \bar{x}&=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}x_i}{n} \\ y= suma límites i=1^nfrac {x_i}{n} \\ &=frac{7,61}{12} +\frac{7.17}{12}+\frac{9.06}{12}+\frac{6.305}{12}+\frac{7.805}{12} \\ y escuadra +frac 7,11 +frac 9,705 +frac 6,11 +frac 8,56 \\ y escuadra + 7,11 + 6,45 + 9,06 \\ y = 92,06 \\ &=7,67 \end{align} \]
La mejor estimación puntual de la media poblacional \(\mu\) es \(\bar{x}=7,67\).
Otro estimador relacionado con la media es el de la diferencia entre dos medias, \ ( \bar{x}_1-\bar{x}_2\). Puede interesarte este estimador cuando quieras comparar la misma característica numérica entre dos poblaciones, por ejemplo, comparar la altura media entre personas que viven en países distintos.
Estimación puntual de la proporción
La proporción poblacional puede estimarse dividiendo el número de aciertos de la muestra \(x\) entre el tamaño de la muestra (n). Esto puede expresarse como
\[ \hat{p}=\frac{x}{n}\]
¿Qué significa "número de aciertos en la muestra"?
Cuando quieras calcular la proporción de la característica que te interesa, contarás todos los elementos de la muestra que contienen esa característica, y cada uno de esos elementos es un éxito.
Veamos un ejemplo de aplicación de esta fórmula.
Se realizó una encuesta con una muestra de \(300) profesores en prácticas de una escuela de formación, para determinar qué proporción de ellos veían favorablemente los servicios que se les prestaban. De \(150\) aprendices, \(103\) de ellos respondieron que consideraban favorables los servicios que les proporcionaba la escuela. Halla la estimación puntual de estos datos.
Solución:
La estimación puntual aquí será de la proporción poblacional. La característica de interés son los profesores en prácticas que tienen una opinión favorable sobre los servicios que se les prestan. Así pues, todos los aprendices con una opinión favorable son éxitos, \(x=103\). Y \(n = 150\). es decir
\[ \hat{p} = {x\sobre n} = {103\sobre 150} = 0,686.\}]
Los investigadores de esta encuesta pueden establecer que la estimación puntual, que es la proporción de la muestra, es \(0,686\) o \(68,7\%\).
Otro estimador relacionado con la proporción es el de la diferencia de dos proporciones, \ ( \hat{p}_1-\hat{p}_2\). Este estimador puede interesarte cuando quieras comparar proporciones de dos poblaciones; por ejemplo, puedes tener dos monedas y sospechar que una de ellas es injusta porque cae en una cara con demasiada frecuencia.
Ejemplo de estimación puntual
Hay algunos elementos importantes asociados a un problema de estimación puntual:
Datos procedentes de la muestra -al fin y al cabo, sin datos no hay estimación-;
Un parámetro desconocido de la población - el valor que querrás estimar;
Una fórmula para el estimador del parámetro;
El valor del estimador dado por los datos/muestra.
Busca ejemplos en los que veas presentes todos estos elementos.
Un investigador quiere estimar la proporción de estudiantes matriculados en una universidad que frecuentan la biblioteca de su respectiva facultad al menos tres veces por semana. El investigador encuestó a \(200\) estudiantes de la facultad de ciencias que frecuentan su biblioteca, \(130\) de los cuales la frecuentan al menos \(3\) veces por semana. También encuestó a \(300\) estudiantes de la facultad de humanidades que frecuentan su biblioteca, de los cuales \(190\) la frecuentan al menos \(3\) veces a la semana.
a) Halla la proporción de estudiantes que frecuentan la biblioteca de la facultad de ciencias al menos \(3\) veces por semana.
b) Halla la proporción de estudiantes que frecuentan la biblioteca de la facultad de humanidades al menos \(3\) veces por semana.
c) ¿Qué grupo de estudiantes acude más a su biblioteca?
Solución:
a) \(x=\)número de estudiantes de la facultad de ciencias que frecuentan su biblioteca al menos \(3\) veces a la semana, por lo que \(x=130\); y \(n=200.\) Para el grupo de ciencias,
\[\hat{p}=\frac{130}{200}=0.65.\]
b) \ (x=\)número de estudiantes de la facultad de humanidades que frecuentan su biblioteca al menos \(3\) veces a la semana, por lo que \(x=190\); y \(n=300.\) Para el grupo de humanidades,
\[\hat{p}=\frac{190}{300}=0.63.\]
c) La proporción de estudiantes de ciencias que frecuentan su biblioteca es mayor que la proporción de estudiantes de humanidades que frecuentan su biblioteca. Según esta información, puedes afirmar que son más los estudiantes de ciencias los que frecuentan su biblioteca.
Estimación puntual frente a estimación por intervalos
Como te habrás dado cuenta después de leer este artículo, la estimación puntual te da un valor numérico que es una aproximación del parámetro poblacional que realmente te gustaría conocer.
Pero el inconveniente de este método de estimación es que no sabes lo cerca o lejos que está el estimador del verdadero valor del parámetro. Y aquí es donde entra en juego la estimación por intervalos, que tendrá en cuenta lo que se denomina margen de error, esa información que te permite apreciar la distancia del estimador al parámetro.
Como puedes imaginar, te interesa que los valores estimados de los parámetros se aproximen lo más posible a los valores verdaderos de los parámetros, ya que esto hace más creíbles las inferencias estadísticas.
Puedes obtener más información sobre la estimación por intervalos en el artículo Intervalos de confianza.
Estimación puntual - Puntos clave
- La estimación puntual es el uso de estadísticos tomados de una o varias muestras para estimar el valor de un parámetro desconocido de una población.
- Dos propiedades importantes de los estimadores son
Consistentes: cuanto mayor sea el tamaño de la muestra, más preciso será el valor del estimador;
Insesgados: esperas que los valores de los estimadores de las muestras se aproximen lo más posible al valor verdadero del parámetro poblacional.
Cuando se cumplen esas dos propiedades para un estimador, tienes el estimador mejor insesgado.
El mejor estimadorinsesgado de la media poblacional \(\mu\) es la media muestral \(\bar{x}\) con la fórmula\[\bar{x}=\frac{\suma{limits_i=1}^{n}x_i}{n}.\}.
El mejor estimador insesgado de la proporción poblacional \(\mu\) es la proporción muestral \(\hat{p}\) con la fórmula\[\hat{p}=\frac{x}{n}.\].
El inconveniente de la estimación puntual es que no sabes lo cerca o lejos del valor verdadero del parámetro que está el estimador, ahí es cuando resulta útil el estimador de intervalo.
Aprende con 21 tarjetas de Estimación puntual en la aplicación StudySmarter gratis
Tenemos 14,000 tarjetas de estudio sobre paisajes dinámicos.
¿Ya tienes una cuenta? Iniciar sesión
Preguntas frecuentes sobre Estimación puntual
Pon a prueba tus conocimientos con tarjetas de opción múltiple
TU PUNTUACIÓN
Tu puntuación
¡Únete a la aplicación StudySmarter y aprende de manera eficiente con millones de tarjetas y mucho más!
Aprende con 21 tarjetas de Estimación puntual en la aplicación StudySmarter gratis
¿Ya tienes una cuenta? Iniciar sesión
Acerca de StudySmarter
StudySmarter es una compañía de tecnología educativa reconocida a nivel mundial, que ofrece una plataforma de aprendizaje integral diseñada para estudiantes de todas las edades y niveles educativos. Nuestra plataforma proporciona apoyo en el aprendizaje para una amplia gama de asignaturas, incluidas las STEM, Ciencias Sociales e Idiomas, y también ayuda a los estudiantes a dominar con éxito diversos exámenes y pruebas en todo el mundo, como GCSE, A Level, SAT, ACT, Abitur y más. Ofrecemos una extensa biblioteca de materiales de aprendizaje, incluidas tarjetas didácticas interactivas, soluciones completas de libros de texto y explicaciones detalladas. La tecnología avanzada y las herramientas que proporcionamos ayudan a los estudiantes a crear sus propios materiales de aprendizaje. El contenido de StudySmarter no solo es verificado por expertos, sino que también se actualiza regularmente para garantizar su precisión y relevancia.
Aprende más
