Contenidos de aprendizaje
Funciones
Descubra
Si no miras debajo de la cama muy a menudo, el polvo tenderá a acumularse allí. Con el tiempo, la probabilidad de que toda la zona bajo tu cama esté cubierta de polvo se aproximará a \(1\). Las probabilidades y la acumulación se relacionan en estadística mediante la función de distribución acumulativa. Aunque seguir leyendo no evitará la acumulación de polvo, ¡al menos te ayudará a encontrar una función que pueda describir el proceso!
Millones de tarjetas didácticas para ayudarte a sobresalir en tus estudios.
Regístrate gratisPara una variable aleatoria continua \(X\), si tienes la función de distribución acumulativa, ¿cómo hallas la función de densidad de probabilidad?
Para una variable aleatoria continua \(X\), si tienes la función de densidad de probabilidad, ¿cómo hallas la función de distribución acumulativa?
Verdadero o Falso: Para una variable aleatoria continua \(X\), la función de distribución acumulativa no puede ser mayor que \(1\).
Verdadero o Falso: Para una variable aleatoria continua \(X\), la función de distribución acumulativa no puede ser menor que \(0\).
Verdadero o Falso: Para una variable aleatoria continua \(X\), la función de distribución acumulativa debe ser mayor que \(0\) y menor que \(1\).
Para una variable aleatoria continua \(X\), la ___ se define en términos de área bajo una curva.
Para una variable aleatoria continua \(X\), la función \[ f(x) = \begin{casos} 2 & 0 \le x \le 1 \le 0 & \text{por lo demás} \end{casos} \fin \no puede ser una función de distribución acumulativa porque ___.
Supón que sabes que \(X\) es una variable aleatoria continua y que \[g(x) = \bin{casos} 0 & x < 0 \ 2x & 0 \le x\le \frac{1}{2}} \\ 1 & x >1] es la función de distribución acumulativa. ¿Qué es \(P\left(X < \dfrac{1}{4}\}right)\}?
Supón que sabes que \(X\) es una variable aleatoria continua y que \[g(x) = \bin{casos} 0 & x < 0 \ 2x & 0 \le x\le \frac{1}{2}} \\ 1 & x >1] es la función de distribución acumulativa. ¿Qué es \(P\left(X = \dfrac{1}{4}\right)\}?
Supón que sabes que \(X\) es una variable aleatoria continua y que \[g(x) = \bin{casos} 0 & x < 0 \ 2x & 0 \le x\le \frac{1}{2}} \\ 1 & x >1] es la función de distribución acumulativa. ¿Qué es \(P\left(X > \dfrac{1}{8}\}right)\}?
Para una variable aleatoria continua \(X\), si tienes la función de distribución acumulativa, ¿cómo hallas la función de densidad de probabilidad?
Para una variable aleatoria continua \(X\), si tienes la función de densidad de probabilidad, ¿cómo hallas la función de distribución acumulativa?
Verdadero o Falso: Para una variable aleatoria continua \(X\), la función de distribución acumulativa no puede ser mayor que \(1\).
Verdadero o Falso: Para una variable aleatoria continua \(X\), la función de distribución acumulativa no puede ser menor que \(0\).
Verdadero o Falso: Para una variable aleatoria continua \(X\), la función de distribución acumulativa debe ser mayor que \(0\) y menor que \(1\).
Para una variable aleatoria continua \(X\), la ___ se define en términos de área bajo una curva.
Para una variable aleatoria continua \(X\), la función \[ f(x) = \begin{casos} 2 & 0 \le x \le 1 \le 0 & \text{por lo demás} \end{casos} \fin \no puede ser una función de distribución acumulativa porque ___.
Supón que sabes que \(X\) es una variable aleatoria continua y que \[g(x) = \bin{casos} 0 & x < 0 \ 2x & 0 \le x\le \frac{1}{2}} \\ 1 & x >1] es la función de distribución acumulativa. ¿Qué es \(P\left(X < \dfrac{1}{4}\}right)\}?
Supón que sabes que \(X\) es una variable aleatoria continua y que \[g(x) = \bin{casos} 0 & x < 0 \ 2x & 0 \le x\le \frac{1}{2}} \\ 1 & x >1] es la función de distribución acumulativa. ¿Qué es \(P\left(X = \dfrac{1}{4}\right)\}?
Supón que sabes que \(X\) es una variable aleatoria continua y que \[g(x) = \bin{casos} 0 & x < 0 \ 2x & 0 \le x\le \frac{1}{2}} \\ 1 & x >1] es la función de distribución acumulativa. ¿Qué es \(P\left(X > \dfrac{1}{8}\}right)\}?
Achieve better grades quicker with Premium
Geld-zurück-Garantie, wenn du durch die Prüfung fällst
Did you know that StudySmarter supports you beyond learning?
Review generated flashcards
Comienza a aprender o crea tus propias tarjetas de aprendizaje con IA
Equipo de profesores de Función de distribución acumulada
¡Gracias por tu interés en el aprendizaje por audio!
Esta función aún no está lista, pero nos encantaría saber por qué prefieres el aprendizaje por audio.
¿Por qué prefieres el aprendizaje por audio? (opcional)
Enviar comentariosEn primer lugar, veamos la definición oficial de función de distribución acumulativa para una variable aleatoria \(X\).
Sea \(X\) una variable aleatoria. La función de distribución acumulativa, o FDC, \(F(x)\) se define como
\[ F(x) = P(X \le x).\]
En otras palabras, la función de distribución acumulativa se define utilizando la probabilidad de la variable aleatoria. No importa si se trata de una variable aleatoria continua o discreta, la definición es la misma en ambos casos. Sin embargo, el resto de este artículo se centrará en el caso en que \(X\) sea una variable aleatoria continua.
Recordemos la definición de función de densidad de probabilidad.
La función de densidad de probabilidad , o PDF, de una variable aleatoria continua \(X\) es una función integrable \(f_X(x)\) que satisface lo siguiente
Entonces la probabilidad de que X esté en el intervalo ([a,b]) es \[ P(a<X<b) = \int_a^b f_X(x) \, \mathrm{d} x .\].
¿Qué relación tiene esto con la función de distribución acumulativa? Observa que la probabilidad \(P(a<X<b)\) aparece en la definición anterior. Como la función de distribución acumulativa \(F(x)\) se define como \( F(x) = P(X \le x)\), puedes reescribir la definición de la función de distribución acumulativa en términos de la función de densidad de probabilidad de la siguiente manera:
Sea \(X\) una variable aleatoria continua. La función de distribución acumulativa \(F(x)\) se define como
\[ \begin{align} F(x) &= P(X \le x) &= \int_{-\infty}^x f_X(t) \, \mathrm{d} t ,\end{align}].
donde \(f_X(x)\) es una función de densidad de probabilidad para \(X\).
Eso significa que puedes pasar de una función de distribución acumulativa a la función de densidad de probabilidad por diferenciación, y de la función de densidad de probabilidad a la función de distribución acumulativa por integración.
Fig. 1 - Paso de una CDF a una PDF.
A continuación, veamos las propiedades de una función de distribución acumulativa.
Ya conoces algunas de las propiedades de una función de distribución acumulativa por el simple hecho de estar definida en términos de probabilidad:
la función de distribución acumulativa es siempre como mínimo cero;
la función de distribución acumulativa es como máximo uno; y
la función de distribución acumulativa es el área bajo la función de densidad de probabilidad.
Resulta que puedes leer la probabilidad de una variable aleatoria continua directamente a partir del gráfico de la función de distribución acumulativa. Veamos un ejemplo rápido.
Para una variable aleatoria continua \(X\), dada la función de distribución acumulativa como se muestra en el gráfico siguiente, halla \(P(X \le 3,5)\).
Fig. 2 - Gráfico de una función de distribución acumulativa
Solución:
No te dejes engañar porque la gráfica está etiquetada como
\[ \int f_X(x)\, \mathrm{d}x.\]
Recuerda que para una función de densidad de probabilidad \(f_X(x)\), la integral escrita es lo mismo que la función de densidad acumulativa \(F(x)\).
Puede ser útil hallar la ecuación de la función de distribución acumulativa, ya que en la imagen no queda claro qué es exactamente \(F(3,5)\). Dada la gráfica, puedes ver que los puntos \((1,0)\) y \((11,1)\) son los dos puntos extremos de la recta diagonal. La ecuación de esa recta es entonces
\[y= \frac{1}{10}x-\frac{1}{10},\]
por lo que puedes escribir la fórmula de la función de distribución acumulativa como
\F(x) = inicio 0 y x < 1 -dfrac{1}{10}x-dfrac{1}{10} y 1 -frac{1}{10} y 1 -frac{1}{11} y x > 11 -final].
Ahora
\[ F(3,5) = \frac{1}{10}(3,5)-\frac{1}{10} = 0,25.\]
En otras palabras, \ (P(X \le 3,5) = 0,25\).
La distribución normal es un ejemplo estándar de variable aleatoria continua, así que veámosla a continuación.
La función de distribución acumulativa de la distribución normal no es más que la integral de la función de densidad de probabilidad, como cabría esperar. A continuación puedes ver la gráfica de una distribución normal estándar, y luego la función de distribución acumulativa asociada a ella.
Fig. 3 - Gráfica de la función de densidad de probabilidad de la distribución normal estándar
Fig. 4 - Gráfica de la función de distribución acumulativa de la distribución normal estándar
Por supuesto, ¡siempre ayuda ver más ejemplos!
Para el primer ejemplo, veamos cómo determinar si una función es una función de distribución acumulativa o una función de densidad de probabilidad.
Define
\[g(x) = \inicio{casos} 0 & x \le 0 \ln x + 1 & x>0fin{casos}.\N].
(a) ¿Podría ser \(g(x)\) una función de densidad de probabilidad para una variable aleatoria continua? Explica por qué sí o por qué no.
(b) ¿Podría ser \(g(x)\) una función de distribución acumulativa para una variable aleatoria continua? Explica por qué sí o por qué no.
Solución:
(a) Para que algo sea una función de densidad de probabilidad, siempre debe ser al menos cero. Sin embargo
\[\begin{align} g\left(\frac{1}{4}\right) &= \ln\left(\frac{1}{4}\right) + 1 \\\\ {align} &= \ln 1 - \ln 4 + 1 \ {align} &\approx -0,39 \ {align} &< 0,\end{align} \]
por lo que no puede ser una función de densidad de probabilidad.
(b) Para que algo sea una función de distribución acumulativa, no puede tomar valores mayores que \(1\). Sin embargo
\[\iniciar{alinear} g\izquierda(3\derecha) &= \ln\izquierda(3\derecha) + 1 \\\a1,\final{alinear} \]
por lo que \(g(x)\) tampoco puede ser una función de distribución acumulativa.
Que algo se escriba a trozos no significa que tenga nada que ver con la probabilidad.
Si sabes que algo es una función de densidad de probabilidad, puedes hallar la función de distribución acumulativa.
Supongamos que \(X) es una variable aleatoria continua, y que la función de densidad de probabilidad es
\f(x) = ksin x & 0 \le x \le \pi \ 0 &\text{si no \fin].
(a) Encuentra el valor de \(k\) que hace que esto funcione.
(b) Halla la función de distribución acumulativa asociada.
(c) Halla \(P\left(x\le \dfrac{\pi}{4}\right)\).
Solución:
(a) Recuerda que para que algo sea una función de densidad de probabilidad, el área bajo la curva debe ser igual a uno. En otras palabras, necesitas
\[ \int_-\infty}^{\infty} f(x) \, \mathrm{d}x = 1.\]
Introduciendo la función, obtienes
\[ \begin{align} f(x) \int_-\infty}^{\infty} f(x) \, \mathrm{d}x &= \int_0^\pi k \sin x \, \mathrm{d}x \\\t -k\cos x \fantom{\frac{}} \(-k\cos 0) - (-k\cos 0) - (-k(-1) + k(1)) - (-k(1)) - (-k(-1) + k(1)) - (-k(-1) + k(1)) - (-k(-1) + k(1)) 2k. \fin].
Así que para que \(f(x)\) sea una función de densidad de probabilidad necesitas que \(2k = 1\), por lo que \(k = \dfrac{1}{2}\).
(b) Por la primera parte del problema, sabes que
\[f(x) = \begin{casos} \sen x & 0 \le x \le \pi \ 0 &\text{por lo demás} \fin].
Por las propiedades de la función de distribución acumulativa, también sabes que \(F(x)=0\) para \(x \le 0\), y \(F(x)=1\) para \(x \ge \pi). Sólo queda la parte molesta entre \(0\) y \(\pi\). Si integras
\[\begin{align} F(x) &= \int \dfrac{1}{2}{2}sin x \, \mathrm{d}x \\ &= -\frac{1}{2}cos x + C \end{align}}].
donde \(C\) es la constante de integración. Puesto que \(F(0)=0\),
|frac{1}{2}cos x + C &= -\frac{1}{2}\cos 0 + C \frac{1}{2} + C, fin. \]
y debe darse el caso de que \(C = \dfrac{1}{2}\). Por tanto, la función de distribución acumulativa es
\[ F(x) = \begin{casos} 0 & x \le 0 \ -\dfrac{1}{2}\cos x + \dfrac{1}{2} & 0 \le x\le \pi \end{casos}.\}]
(c) Para hallar \ (P\left(x\le \dfrac{\pi}{4}\right)\), basta con evaluar \(F\left(\dfrac{\pi}{4}\right) \), lo que nos da
\[ inicio{alineación} P\left(x \le \dfrac{\pi}{4}|derecha) &= F\left( \dfrac{\pi}{4}|derecha) &= -\dfrac{1}{2}cos \left( \dfrac{\pi}{4}|derecha) + \dfrac{1}{2} \\ &= -\frac {1}{2}\ izquierda(\frac {2}{2} {2}derecha) + \frac {1}{2} \\ y aproximadamente 0,145. \fin]
Para cualquier variable aleatoria \(X\), la función de distribución acumulativa \(F(x)\) se define como
\[ F(x) = P(X \le x).\]
Para una variable aleatoria continua \(X\) con función de densidad de probabilidad\ (f_X(x)\), lafunción de distribución acumulativa \(F(x)\) se define como
\[ \begin{align} F(x) &= P(X \le x) &= \int_{-\infty}^x f_X(t) \, \mathrm{d} t .\end{align}].
Regístrate gratis para acceder a todas nuestras tarjetas.
At StudySmarter, we have created a learning platform that serves millions of students. Meet the people who work hard to deliver fact based content as well as making sure it is verified.
Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
Get to know Lily
Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
Get to know Gabriel
StudySmarter es una compañía de tecnología educativa reconocida a nivel mundial, que ofrece una plataforma de aprendizaje integral diseñada para estudiantes de todas las edades y niveles educativos. Nuestra plataforma proporciona apoyo en el aprendizaje para una amplia gama de asignaturas, incluidas las STEM, Ciencias Sociales e Idiomas, y también ayuda a los estudiantes a dominar con éxito diversos exámenes y pruebas en todo el mundo, como GCSE, A Level, SAT, ACT, Abitur y más. Ofrecemos una extensa biblioteca de materiales de aprendizaje, incluidas tarjetas didácticas interactivas, soluciones completas de libros de texto y explicaciones detalladas. La tecnología avanzada y las herramientas que proporcionamos ayudan a los estudiantes a crear sus propios materiales de aprendizaje. El contenido de StudySmarter no solo es verificado por expertos, sino que también se actualiza regularmente para garantizar su precisión y relevancia.
Aprende másGuarda las explicaciones en tu espacio personalizado y accede a ellas en cualquier momento y lugar.
Regístrate con email Regístrate con AppleAl registrarte aceptas los Términos y condiciones y la Política de privacidad de StudySmarter.
¿Ya tienes una cuenta? Iniciar sesión
Regístrate para poder subrayar y tomar apuntes. Es 100% gratis.
La primera app de aprendizaje que realmente tiene todo lo que necesitas para superar tus exámenes en un solo lugar.
¿Ya tienes una cuenta? Iniciar sesión
La primera plataforma de aprendizaje con todas las herramientas y materiales de estudio que necesitas.
Resumenes 
Flashcards 
StudySmarter AI 
Apuntes 
Plan de estudios 
Sets de estudio 
Repeticion espaciada 
Exámenes 
Magazine 
Hacer carrera 
Formacion Profesional 
Mobile App 
