Función Generadora de Probabilidades

Supongamos que la variable aleatoria discreta \(X\) tiene una PGF dada por

$$G_X(t)=\frac{1}{8}(1+t)^3.$$

Entonces,

$$G_X(1)=\frac{1}{8}{2}^3=1.$$

5. Que \(X\) tenga una PGF dada por

$$G_X(t)=\frac{1}{8}(1+t)^3.$$

Entonces

\[\begin{align} G_X'(t)&=\frac{3}{8}(1+t)^2 G_X'(t)&=\frac{3}{8}(2)^2=\frac{3}{2} .\final{align}].

Por lo tanto

\[\mathbb{E}(X)=\frac{3}{2}.\}

Que \(X\) tenga una PGF dada por

$$G_X(t)=\frac{1}{8}(1+t)^3.$$

Entonces

\[\inicio{alineación} G_X'(1)&=\frac{3}{2} \\ G_X''(t)&=\frac{3}{4}(1+x) G_X''(1)&=\frac{3}{2} \end{align}\}] Por tanto,

\G_X''(1)+G_X'(1)-(G_X'(1))^2 &=frac{3}{2}+frac{3}{2}-izquierda(\frac{3}{2}derecha)^2 &=frac{3}{4} .\end{align}\].

Supongamos que una variable aleatoria discreta \(X\) tiene una PGF dada por

$$G_X(t)=\frac{t^2}{(2-t)^5}$$

y una variable aleatoria discreta \(Y\) tiene una PGF dada por

$$G_Y(t)=\frac{t}{(4-3t)^2}.$$

Dado que \(X\) y \(Y\), halla la PGF de \(Z=X+Y\):

Solución:

Utilizando la propiedad 8,

\[\begin{align} G_Z(t)&=G_X(t) \cdot G_Y(t) &=\frac{t^2}{(2-t)^5} \cdot\frac{t}{(4-3t)^2} = \frac{t^3}{(2-t)^5(4-3t)^2}. \end{align}\]

La función generadora de probabilidad de una variable aleatoria discreta \(X\) viene dada por

$$G_X(t)=z(1+2t+2t^2)^2.$$

a) Halla el valor de \(z\).

b) Da la distribución de probabilidad de \(X\).

Solución:

a) Utilizando la propiedad 2 anterior, sabes que para cualquier PGF

\[\begin{align} G_X(1) &=suma_{x} 1^x\\mathbb{P}(X=x) &=suma_{x}\mathbb{P}(X=x) &\=1, \end{align}\].

así que

\G_X(1)&=1, fin G_X(1)&=z(1+2(1)+2(1)^2)^2 \ 1&=z(1+2+2)^2 \ z&=\frac{1}{25}. \end{align}\]

b) Tienes \(G_X(t)=\frac{1}{25}(1+2t+2t^2)^2.\)

Expandiendo los paréntesis obtienes

\[\begin{align} G_X(t)&=\frac{1}{25}(1+2t+2t^2)(1+2t+2t^2) \frac{1}{25}(1+2t+2t^2+2t+4t^2+4t^3+2t^2+4t^3+4t^4) \frac{1}{25}(1+2t+2t^3+4t^4) &=\frac{1}{25}(1+4t+8t^2+8t^3+4t^4) \\ &=\frac{1}{25}+\frac{4t}{25}+\frac{8t^2}{25}+\frac{8t^3}{25}+\frac{4t^4}{25} \\ &=\frac{1t^0}{25}+\frac{4t^1}{25}+\frac{8t^2}{25}+\frac{8t^3}{25}+\frac{4t^4}{25}. \end{align}\]

Ahora tienes una función en la que puedes leer los valores de los valores de \(x\) con las probabilidades correspondientes de \(x\) utilizando el hecho de que los coeficientes de \(t^x\) son las probabilidades \(\mathbb{P}(X = x)\). Por tanto, la distribución de probabilidad de X es

Supongamos que una variable aleatoria \(X\) tiene una PGF dada por

$$G_X(t)=\frac{1}{10}(4t+3t^2+2t^3+t^4).$$

Halla la varianza de \(X\).

Solución:

Utilizando la propiedad 7 anterior, tienes

\[\begin{align} \(X) &=G_X''(1)+G_X'(1)-(G_X'(1))^2, fin].

por lo que

\[\inicio G_X'(t)&=\frac{\mathrm{d} }{mathrm{d} t} G_X(t) &= \frac{1}{10}[izquierda(4+6t+6t^2+4t^3\derecha) &=2 G_X'(1)&=2 G_X'(t)&= \frac{{mathrm{d^2}[izquierda]. x^2}(t) G_X(t) &= \frac{3\izquierda(2t^2+2t+1\derecha)}{5} \\ G_X''(1)&=3. \end{align}\]

Por tanto,

\¾[¾inicio \text{Var}(X)&=G_X''(1)+G_X'(1)-(G_X'(1))^2 \ &=3+2-2^2\ &=1. \end{align}\]

El número de visitantes del sitio web viene dado por una tasa de \(4\) por hora. Dado que la variable aleatoria \(X\) es el número de visitantes del sitio web que llegan en una hora aleatoria, y que las visitas son independientes y aleatorias, demuestra, a partir de primeros principios, que la función generadora de probabilidad para \(X\) es

$$G_X(t)=e^{4(t-1)}.$$

Solución:

A partir de la descripción del suceso, puedes ver que la variable aleatoria tiene la propiedad de que \(X\sim Poi(4)\) ya que cada visita es independiente de la otra, y se producen en un periodo de tiempo fijo (una hora) a una tasa media constante \(4.\)

Por tanto

\[\mathbb{P}(X=x)=\frac{e^{-4}4^x}{x!},\]

por lo que

\[\begin{align} G_X(t)&=suma_{x}(t^X)=suma_{x} t^x{mathbb{P}(X=x) &=suma_{x=0}^{infty} t^x{frac{e^{-4}4^x}{x!} \\ y=e^{-4}suma_x=0}^infty}frac {t^x 4^x} ¡x! \\ &=e^{-4} \sum_{x=0}^{\infty}\frac{(4t)^x}{x!} \\ y=e^{-4}e^{4t} y=e^{-4+4t} \\ y=e^{4(t-1)} . \end{align}\]

La igualdad final se deduce de la expansión de Maclaurin de \(e^x\) donde \(x=4t\). Equivalentemente puedes utilizar el sumatorio exponencial:

\[\sum_{k=0}^{\infty} \frac{a^k}{k!} =e^a.\]

La probabilidad de que una semilla germine es \(0,35\). Sea la variable aleatoria \(X\) el número de semillas que han germinado de \(4\) semillas plantadas.

a) Demuestra, a partir de los primeros principios, que la función generadora de probabilidad para \(X\) es

$$G_X(t)=(0.65+0.35t)^4.$$

b) Utilizando tu respuesta a a), determina la media de \(X\).

Solución:

a) Observa que \(X ∼ \text{Bin}(4, 0,35)\}, por lo que

\[\mathbb{P}(X=x)= \binom{6}{x}0.35^x(1-0.35)^{6-x}\]

para \(x=0,\puntos ,6\).

Utilizando la fórmula de la función generadora de probabilidad

\[\begin{align} G_X(t)&=\sum_{x=0}^{4}t^x\mathbb{P}(X=x) \\ &=\sum_{x=0}^{4}t^x\binom{4}{x}0.35^x(1-0.35)^{6-x} \\ &=(0.65)^4+4(0.35)(0.65)^3t+6(0.35)^2(0.65)^2t^2+4(0.35)^3(0.65)t^3+(0.35)^4t^4 \\ &=(0.65)^4+4(0.65)^3(0.35t)+6(0.65)^2(0.35t)^2+4(0.65)(0.35t)^3+(0.35t)^4 \\ &=(0.65+0.35t)^4 ,\end{align}\]

donde la última igualdad se deduce de la fórmula binomial:

\[(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^k b^{(n-k)}.\]

Por lo tanto, la función generadora de probabilidad para \(X\) es

$$G_X(t)=(0.65+0.35t)^4.$$

b) Utilizando la propiedad 4 anterior, se tiene que \(G_X'(t)=\mathbb{E}(X)\), por lo que

\[\begin{align} G_X'(t)&=1,4(0,65+0,35t)^3 \ G_X'(1)&=1,4 \end{align}\].

Becky tira un dado justo de seis caras. Sea la variable aleatoria \(X\) el número de tiradas necesarias para que obtenga un múltiplo de \(2\). Dado que cada tirada es independiente, halla la función generadora de probabilidad de \(X\).

Solución:

Sea \(p\) la probabilidad de que Becky saque un número par. Entonces \(p=0,5\) y la variable aleatoria \(X\sim \text{Geo}(0,5).\)

Por tanto, utilizando la fórmula anterior, la función generadora de probabilidad de \(X\) es

\[\nImpieza{align} G_X(t)&=\frac{pt}{1-(1-p)t} |=\frac{0,5t}{1-0,5t}. \end{align}\]

Sea la variable aleatoria \(X\sim \text{Geo}(p)\), usa el PGF de \(X\) para demostrar que \(\mathbb{E}(X)=\dfrac{1}{p}\) y \(\text{Var}(X)=\dfrac{1-p}{p^2}.\)

Solución:

Utilizando las propiedades 4 y 7 tienes que \(G_X'(1)=\mathbb{E}(X)\) y

\[\text{Var}(X)=G_X''(1)+G_X'(1)-(G_X'(1))^2.\]

A partir de la definición anterior, una variable aleatoria \(X\sim \text{Geo}(p)\) tiene la PGF dada por

\[G_X(t)=\frac{pt}{1-(1-p)t}.\]

Entonces, utilizando la regla del cociente, tienes que

\G_X'(t) G_X'(t)&=\frac{(1-(1-p)t)(p)-(pt)(-(1-p))}{(1-(1-p)t)^2} \\ &=\frac{p(1-(1-p)t+(1-p)t)}{(1-(1-p)t)^2} \\ y=frac{p}{(1-(1-p)t)^2} \\ G_X'(1)&=\frac{p}{(1-(1-p))^2} \\ &=\frac {p}{p^2} \\ y=frac{1}{p}, fin. \]

por tanto

\[\mathbb{E}(X)=\frac{1}{p} .\]

Utilizando la regla de la cadena, tienes que

\[\bbegin{align} G_X''(t)&=\frac{-2(-(1-p))p}{(1-(1-p)t)^3} \\ &=\frac{2p(1-p)}{(1-(1-p)t)^3} \\ G_X''(1)&=\frac{2p(1-p)}{p^3} \\ &=\frac{2(1-p)}{p^2} .\final{align}]

Por tanto

\[\iniciar{alinear} \text{Var}(X)&=G_X''(1)+G_X'(1)-(G_X'(1))^2 \\ &=\frac{2(1-p)}{p^2}+\frac{1}{p}-\left(\frac{1}{p}\right)^2 \\ &=\frac{2(1-p)+p-1}{p^2} \\ &=\frac{1-p}{p^2}.\end{align}\]