En estadística también hay limitaciones. Las pruebas Chi-cuadrado utilizan grados de libertad para describir el grado de libertad de una prueba en función de las restricciones que se le imponen. Sigue leyendo para averiguar lo libre que es realmente la Prueba Chi Cuadrado.
Significado de los grados de libertad
Muchas pruebas utilizan grados de libertad, pero aquí verás los grados de libertad en relación con las Pruebas Chi Cuadrado. En general, los grados de libertad son una forma de medir cuántos estadísticos de prueba has calculado a partir de los datos. Cuantos más estadísticos de prueba hayas calculado a partir de tu muestra, menos libertad tendrás para hacer elecciones con tus datos. Por supuesto, también hay una forma más formal de describir estas restricciones.
Una restricción, también llamada limitación, es un requisito impuesto a los datos por el modelo para los datos.
Veamos un ejemplo para ver lo que eso significa en la práctica.
Supongamos que haces un experimento en el que lanzas un dado de cuatro caras \(200\) veces. Entonces el tamaño de la muestra es \(n=200\). Una restricción es que tu experimento necesita que el tamaño de la muestra sea \(200\).
El número de restricciones también dependerá del número de parámetros que necesites para describir una distribución, y de si sabes o no cuáles son esos parámetros.
A continuación, veamos cómo se relacionan las restricciones con los grados de libertad.
Fórmula de los grados de libertad
Para la mayoría de los casos, la fórmula
grados de libertad = número de frecuencias observadas - número de restricciones
puede utilizarse. Si vuelves al ejemplo anterior con el dado de cuatro caras, había una restricción. El número de frecuencias observadas es \(4\) (el número de caras del dado. Así que los grados de libertad serían \(4-1 = 3\).
Existe una fórmula más general para los grados de libertad:
grados de libertad = número de celdas (después de combinarlas) - número de restricciones.
Probablemente te estés preguntando qué es una casilla y por qué podrías combinarla. Veamos un ejemplo.
Envías una encuesta a (200) personas preguntándoles cuántas mascotas tienen. Obtienes la siguiente tabla de respuestas.
Tabla 1. Respuestas de la encuesta sobre la tenencia de mascotas.
| Mascotas | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(>4\) |
| Previsto | \(60\) | \(72\) | \(31\) | \(20\) | \(7\) | \(10\) |
Sin embargo, el modelo que estás utilizando sólo es una buena aproximación si ninguno de los valores esperados cae por debajo de \(15\). Así que podrías combinar las dos últimas columnas de datos (conocidas como celdas) en la tabla siguiente.
Tabla 2. Respuestas de la encuesta sobre la propiedad de mascotas con celdas combinadas.
| Mascotas | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(>3\) |
| Previsto | \(60\) | \(72\) | \(31\) | \(20\) | \(17\) |
Entonces hay \(5\) casillas, y una restricción (que el total de los valores esperados sea \(200\)). Así que los grados de libertad son \(5 - 1= 4\).
Normalmente sólo combinarás celdas contiguas en tus tablas de datos. A continuación, veamos la definición oficial de grados de libertad con la distribución Chi-cuadrado.
Definición de grados de libertad
Si tienes una variable aleatoria \(X\) y quieres hacer una aproximación para el estadístico \(X^2\), utilizarías la familia de distribuciones \(\chi^2\). Se escribe como
\π[\begin{align} X^2 &= \suma \frac{(O_t - E_t)^2}{E_t} \\ &= suma frac {O_t ^2} {E_t} -N & sim \chi^2, fin].
donde \(O_t\) es la frecuencia observada, \(E_t\) es la frecuencia esperada, y \(N\) es el número total de observaciones. Recuerda que las pruebas Chi-cuadrado sólo son una buena aproximación si ninguna de las frecuencias esperadas es inferior a \(5\).
Para recordar esta prueba y cómo utilizarla, consulta Pruebas de Chi-Cuadrado.
Las distribuciones \(\chi^2\) son en realidad una familia de distribuciones que dependen de los grados de libertad. Los grados de libertad de este tipo de distribución se escriben utilizando la variable \(\nu\). Como puede que necesites combinar celdas cuando utilices distribuciones \(\chi^2\), utilizarías la definición que aparece a continuación.
Para la distribución \(\chi^2\), el número de grados de libertad, \(\nu\) viene dado por
\[ \nu = \text{número de celdas tras la combinación}-1.\]
Habrá casos en los que las celdas no se combinen, y en ese caso, puedes simplificar un poco las cosas. Si vuelves al ejemplo del dado de cuatro caras, hay \(4\) posibilidades que pueden salir en el dado, y estos son los valores esperados. Así que para este ejemplo \(\nu = 4 - 1 = 3\) aunque estés utilizando una distribución Chi-cuadrado para modelizarlo.
Para asegurarte de que sabes cuántos grados de libertad tienes cuando utilizas la distribución Chi-cuadrado, se escribe como subíndice: \(\chi^2_\nu \).
Tabla de grados de libertad
Una vez que sepas que estás utilizando una distribución Chi-cuadrado con \(\nu\) grados de libertad, necesitarás utilizar una tabla de grados de libertad para poder hacer pruebas de hipótesis. Aquí tienes una sección de una tabla Chi-cuadrado.
Tabla 3. Tabla de Chi-cuadrado.
grados de libertad | \(0.99\) | \(0.95\) | \(0.9\) | \(0.1\) | \(0.05\) | \(0.01\) |
\(2\) | \(0.020\) | \(0.103\) | \(0.211\) | \(4.605\) | \(5.991\) | \(9.210\) |
\(3\) | \(0.155\) | \(0.352\) | \(0.584\) | \(6.251\) | \(7.815\) | \(11.345\) |
\(4\) | \(0.297\) | \(0.711\) | \(1.064\) | \(7.779\) | \(9.488\) | \(13.277\) |
La primera columna de la tabla contiene los grados de libertad, y la primera fila de la tabla son las áreas a la derecha del valor crítico.
La notación para un valor crítico de \(\chi^2_\nu\) que se supera con probabilidad \(a\%\) es \(\chi^2_\nu(a\%)\) o \ (\chi^2_\nu(a/100)\).
Veamos un ejemplo utilizando la tabla Chi-cuadrado.
Halla el valor crítico de \(\chi^2_3(0,01)\).
Solución:
La notación para \(\chi^2_3(0,01)\) te indica que hay \(3\) grados de libertad y que te interesa la columna \(0,01\) de la tabla. Si miras la intersección de la fila y la columna en la tabla anterior, obtienes \(11,345\). Así que
\[\chi^2_3(0,01) = 11,345 . \]
Hay un segundo uso para la tabla, como se demuestra en el siguiente ejemplo.
Encuentra el valor más pequeño de \(y\) tal que \(P(\chi^2_3 > y) = 0,95\).
Solución:
Recuerda que el nivel de significación es la probabilidad de que la distribución supere el valor crítico. Así que preguntar cuál es el menor valor \(y\) en el que \ (P(\chi^2_3 > y) = 0,95\) es lo mismo que preguntar cuál es \(\chi^2_3(0,95)\). Utilizando la tabla Chi-cuadrado puedes ver que \(\chi^2_3(0,95) =0,352 \), por lo que \(y=0,352\).
Por supuesto, una tabla no puede enumerar todos los valores posibles. Si necesitas un valor que no está en la tabla, hay muchos paquetes estadísticos o calculadoras que pueden darte los valores de la tabla Chi-cuadrado.
Grados de libertad de la prueba t
Los grados de libertad de una prueba t se calculan en función de si utilizas muestras pareadas o no. Para más información sobre estos temas, consulta los artículos Distribución T y Prueba t pareada.
Grados de libertad - Puntos clave
- Una restricción, también llamada restricción , es un requisito impuesto a los datos por el modelo para los datos.
- En la mayoría de los casos, grados de libertad = número de frecuencias observadas - número de restricciones.
- Una fórmula más general para los grados de libertad es: grados de libertad = número de celdas (tras la combinación) - número de restricciones.
Para la distribución \(\chi^2\), el número de grados de libertad, \(\nu\) viene dado por
\[ \nu = \text{número de celdas tras la combinación}-1.\]
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