Fórmula de interpolación lineal
La fórmula de interpolación lineal es el método más sencillo utilizado para estimar el valor de una función entre dos puntos conocidos cualesquiera. Esta fórmula también es útil para el ajuste de curvas mediante polinomios lineales. Esta fórmula se utiliza a menudo para la previsión de datos, la predicción de datos y otras aplicaciones matemáticas y científicas. La ecuación de interpolación lineal viene dada por:
\[y = y_1 + (x-x_1) \frac{(y_2-y_1)}{(x_2-x_1)}\].
donde:
x1 e y1 son las primeras coordenadas.
x2 e y2 son las segundas coordenadas.
x es el punto para realizar la interpolación.
y es el valor interpolado.
Ejemplo resuelto de interpolación lineal
La mejor forma de entender la interpolación lineal es mediante un ejemplo.
Halla el valor de y si x = 5 y algún conjunto de valores dados son (3,2), (7,9).
Paso 1: Primero asigna a cada coordenada el valor correcto
x = 5 (ten en cuenta que está dado)
x1 = 3 e y1 = 2
x2 = 7 e y2 = 9
Paso 2: Sustituye estos valores en las ecuaciones y obtén la respuesta para y.
\(y = 2 +(5-3)\frac{(9-2)}{(7-3)} \quad y = \frac{11}{2})
Cómo hacer una interpolación lineal
Hay algunos pasos útiles que te ayudarán a calcular el valor deseado, como la mediana, el1er cuartil y el3er cuartil. Repasaremos cada paso con un ejemplo para que quede claro.
En este ejemplo, veremos datos agrupados con intervalos de clase.
| Clase | Frecuencia |
| 0-10 | 5 |
| 11-20 | 10 |
| 21-30 | 1 |
| 31-40 | 8 |
| 41-50 | 18 |
| 51-60 | 6 |
| 61-70 | 20 |
La frecuencia es la frecuencia con la que un valor de una clase concreta aparece en los datos.
Paso 1: Dada la clase y la frecuencia, tienes que crear otra columna llamada frecuencia acumulada (también conocida como FC).
Por tanto, la frecuenciaacumulada se define como el total acumulado de frecuencias.
| Clase | Frecuencia | CF |
| 0-10 | 5 | 5 |
| 11-20 | 10 | 15 |
| 21-30 | 1 | 16 |
| 31-40 | 8 | 24 |
| 41-50 | 18 | 42 |
| 51-60 | 6 | 48 |
| 61-70 | 20 | 68 |
Paso 2: Traza el gráfico de frecuencia acumulada. Para ello, traza el límite superior de la clase frente a la frecuencia acumulada.
Encontrar la mediana
La mediana es el valor situado en el centro de los datos.
La posición de la mediana está en el valor \(\Big( \frac{n}{2} \Big)^{th}), donde n es la frecuencia acumulada total
En este ejemplo, n = 68
Paso 1: Resuelve la posición de la mediana \(\frac{68}{2} = 34^{ésima} posición del espacio\)
Paso 2: Busca dónde se encuentra la 34ª posición en los datos utilizando la frecuencia acumulada.
Según la frecuencia acumulada, el valor 34 está en el intervalo de clase 41-50.
Paso 3: Dado el gráfico, utiliza la interpolación lineal para encontrar el valor específico de la mediana.
Tratamos el segmento del gráfico donde se encuentra el intervalo de clase como una línea recta y utilizamos la fórmula del gradiente como ayuda.
\(\text{Gradiente} = \frac{(\text{Mediana cf - cf anterior})}{(\text{límite superior - límite inferior})} = \frac{(42-24)}{(50-41)} = 2\)
Podemos manipular esta fórmula y sustituir el valor de la mediana (m) por el límite superior y la posición de la mediana por la cf mediana, que también es igual al gradiente.
\(\text{Gradiente} = \frac{(34-24)}{(m-41)}\})
De lo que se deduce que
\(2 = \frac{(34-24)}{(m-41)} \quad 2 = \frac{10}{m-41} \cuadrado m-41 = \frac{10}{2} \quad m-41 = 5 \quad m = 46\)
Por tanto, la mediana es 46.
Encontrar el primer cuartil
El1er cuartil también se conoce como cuartil inferior. En él se encuentra el primer 25% de los datos.
La posición del1er cuartil es el valor \(\Big(\frac{n}{4} \Big)^{th}).
Los pasos para hallar el1er cuartil son muy similares a los pasos para hallar la mediana.
Paso 1: resuelve la posición del1er cuartil \(\frac{68}{4} = 17^{ésima} \texto{posición}})
Paso 2: Busca dónde se encuentra la17ª posición en los datos utilizando la frecuencia acumulada.
Según la frecuencia acumulada, el valor17 está en el intervalo de clase 31-40.
Paso 3: Dado el gráfico, utiliza la interpolación lineal para encontrar el valor específicodel 1º cuartil.
Tratamos el segmento de la gráfica donde se encuentra el intervalo de clase como una línea recta y utilizamos la fórmula del gradiente como ayuda.
\(\text{Gradiente} = \frac{(1^{st}\text{cuartil cf - cf anterior})}{(\text{límite superior - límite inferior})} = \frac{(24-16)}{(40-31)} = \frac{8}{9}\})
Podemos manipular esta fórmula y sustituir el valor del1er cuartil (Q1) por el límite superior y la posición del1er cuartil por el1er cuartil cf, que también es igual al gradiente.
\(\text{Gradiente} = \frac{(17-16)}{(Q_1-31)})
De ello se deduce que
\(\frac{8}{9} = \frac{(17-16)}{(Q_1 - 31)} \cuadrado \frac{8}{9} = \frac{1}{Q_1 - 31} \cuadra Q_1 - 31 = \frac{9}{8} \cuadrado Q_1 = 32,125\)
Por tanto, el1er cuartil es 32,125.
Encontrar el tercer cuartil
El1º cuartil también se conoce como cuartil inferior. En él se sitúa el primer 25% de los datos.
La posición del3er cuartil es el valor \(\frac{3n}{4} \Big)^{th}).
Paso 1: resuelve la posición del3er cuartil \(\frac{3(68)}{4} = 51^{st} \posición})
Paso 2: busca dónde se encuentra la posición 51 en los datos utilizando la frecuencia acumulada.
Según la frecuencia acumulada, el valor 51 está en el intervalo de clase 61-70.
Paso 3: Dado el gráfico, utiliza la interpolación lineal para encontrar el valor concreto del3º cuartil.
Tratamos el segmento de la gráfica donde se encuentra el intervalo de clase como una línea recta y utilizamos la fórmula del gradiente como ayuda.
\(\text{Gradiente} = \frac{3^{rd} \text{cuartil cf - cf anterior}}{text{límite superior - límite inferior}} = \frac{(68-48)}{(70-61)} = \frac{20}{9})
Podemos manipular esta fórmula y sustituir el valor del3er cuartil (Q3) por el límite superior y la posición del3er cuartil por el3er cuartil cf, que también es igual al gradiente.
\(\text{Gradiente} = \frac{(51-48)}{(Q_3 -61)}\)
De ello se deduce que, \frac{20}{9} = \frac{(51-48)}{(Q_3 - 61)} \quad \frac{20}{9} = \frac{3}{Q_3 - 61} \cuadra Q_3 - 61 = \frac{27}{20} \cuadrado Q_3 = 62,35\)
Por tanto, el3er cuartil es 32,125.
Interpolación lineal - Puntos clave
- La interpolación lineal se utiliza para hallar un valor desconocido de una función entre dos puntos conocidos cualesquiera.
- La fórmula de la interpolación lineal es \(y = y_1 +(x-x_1) \frac{(y_2-y_1)}{(x_2-x_1)}\)
- La interpolación lineal también puede utilizarse para hallar la mediana, el1er cuartil y el3er cuartil
- La posición de la mediana es \(\frac{n}{2}\)
- La posición del1er cuartil es \(\frac{n}{4}})
- La posición del3er cuartil es \(\frac{3n}{4}})
- Para localizar la mediana, el1er cuartil y el3er cuartil puede utilizarse un gráfico de los límites superiores de cada intervalo de clase trazados frente a la frecuencia acumulada.
- La fórmula del gradiente puede utilizarse para hallar el valor específico de la mediana, el1er cuartil y el3er cuartil
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