A partir de esto, podrías decir que crees que el tiempo medio que alguien espera en el carril de autoservicio es de unos \(14,5\) minutos, pero desde luego no puedes decir que sea exactamente \(14,5\) minutos. El tiempo que alguien espera en su coche va a variar en función de la muestra que tomes, así que lo que quieres decir es que la espera media en la línea de autoservicio es de unos \(14,5\) minutos.
Entonces, ¿cómo puedes hacerte una mejor idea de lo que ocurre antes de gastarte el dinero en construir un autoservicio? Puedes hacer un intervalo de confianza para la media de una población.
¡No todos los autoservicios de café son elegantes!
Definición del intervalo de confianza para una media poblacional
Recuerda que los intervalos de confianza son un tipo de inferencia estadística. Te permiten encontrar un intervalo de valores en el que puedes estar relativamente seguro de cuál será el valor verdadero. En este caso, estás construyendo un intervalo de confianza para una media poblacional.
La forma general de estimar un intervalo de confianza para una media poblacional es
media muestral \(\pm\) valor crítico \(\times\) error típico de la estadística.
En este caso, la media muestral, \(\bar{x}), es un estimador insesgado de la media poblacional \(\mu\) siempre que el tamaño de la muestra \(n\) sea tal que \(n > 30\) para que puedas aplicar el Teorema del Límite Central. Recuerda que poder utilizar el Teorema Central del Límite implica que puedes suponer que tu muestra es aproximadamente normal, aunque la población en sí no lo sea.
Empecemos por el caso en que conoces la desviación típica de la población, \(\sigma\). En general, no lo sabrás, pero es un caso inicial útil para repasar. Entonces la desviación típica de la muestra es :
\[ \sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{n} \]
Por tanto, cuando el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande, y se conoce \(\sigma), el intervalo de confianza viene dado por:
\[ \bar{x} \pm (z \text{valor crítico})\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\}].
Volviendo al ejemplo de la cafetería, la media muestral es \(\bar{x} = 14,5\) minutos, el tamaño de la muestra es \(n=40\). Supongamos que también sabes que la desviación típica de la población es \(\sigma = 2\) minutos. Halla un intervalo de confianza \(95\%\) para el tiempo de espera en el drive-through.
Solución:
Recuerda que el valor \(z\) para un intervalo de confianza \(95\%) es \(1,96\). Por tanto, el intervalo de confianza es
\[ \begin{align} \barra{x} \izquierda(\frac{sigma}{cuadrado{n}}derecha) &= 14,5 \pm (1,96)\left(\frac{2}{cuadrado{40}}derecha) \left(\frac{2}{cuadrado{40}}derecha) &= 14,5 \pm 0,3099 \\pm &= (14,1901, 14,8099) \end{align}\].
Así que puedes estar seguro (95%) de que el verdadero tiempo medio de espera en el autoservicio está dentro del intervalo de confianza.
¿Y si no tienes la desviación típica de la población?
Construye el intervalo de confianza para la media de la población
En primer lugar, veamos las condiciones que deben cumplirse para que puedas construir el intervalo de confianza de una media poblacional cuando no sepas cuál es la desviación típica de la población.
O el tamaño de la muestra es suficientemente grande (\(n\ge 30\) ) o la distribución de la población es aproximadamente normal.
La muestra es aleatoria o es razonable suponer que es representativa de la población más amplia.
Cuando se cumplen estas condiciones, puedes construir el intervalo de confianza para la media de la población. A diferencia del caso en que conoces la desviación típica de la población y puedes utilizar el valor \(z\)-como valor crítico, cuando no conozcas la desviación típica de la población tendrás que utilizar en su lugar la distribución \(t\).
Fórmula del intervalo de confianza para la media de la población
Cuando se cumplen las condiciones para construir un intervalo de confianza para la media de la población, la fórmula del intervalo de confianza pasa a ser
\[ \bar{x} \pm (t \text{valor crítico})\left(\frac{s}{sqrt{n}}\right)\}].
Aquí \(s\) es la desviación típica muestral. El valor crítico \(t\) se basa en el grado de libertad, \(df\), que se calcula mediante:
\[df = n-1\]
y el nivel de confianza que estés utilizando.
Calcular el intervalo de confianza para la media poblacional
Volvamos al ejemplo de la cafetería del principio del artículo. La media de la muestra es \(\bar{x} = 14,5\} minutos, el tamaño de la muestra es \(n=40\), y la desviación típica de la muestra es \(s=1,7\) . El tamaño de la muestra es lo suficientemente grande como para construir un intervalo de confianza, y es razonable suponer que las muestras de autoservicio de café y de coches son aleatorias.
Supongamos que quieres construir un intervalo de confianza \(95\%\). El grado de libertad es
\[ df = n- 1 = 39\]
Si utilizas una tabla \(t\)-, ¡no encontrarás \(39\) grados de libertad en la tabla! Esto se debe a que, para cualquier grado de libertad mayor que \(30\), el aumento no es mucho si sólo aumentas el número de grados de libertad en \(1\).
Por eso verás que las tablas van en \(1\) hasta \(30\), y luego empiezan a saltar en \(10\). La diferencia entre el valor \(t\)-crítico para \(df = 39\) y \(df = 40\) no es realmente tan grande como para afectar a tus cálculos, así que puedes utilizar en su lugar el valor de la tabla para \(df = 40\) y un intervalo de confianza \(95\%\). Ahí verás que el valor crítico apropiado de \(t\) es \(2,02\).
Entonces el intervalo de confianza para la media poblacional es
\[\begin{align} \bar{x} \pm (t \text{valor crítico})\left(\frac{s}{sqrt{n}}\right) &= 14,5 \pm (2,02)\left( \frac{1,7}{sqrt{40}}\right) \\\\approx 14,5 \pm 0,54 \\\\\= (13,96,15,04) \end{align}\}].
Aún tienes que interpretar el intervalo de confianza y comunicar tus conclusiones a otras personas. Puedes decir dos cosas:
El método utilizado para construir la estimación del intervalo de confianza captará la media real de la población \(95\%\) de las veces.
Estás seguro (95 %) de que la media real del tiempo que se tarda en tomar un café en un autoservicio está entre (13,96 %) y (15,04 %) minutos.
Ejemplos de intervalos de confianza para medias poblacionales
Puede que tengas que determinar de antemano cuántas muestras necesitas para asegurarte de que el margen de error es relativamente pequeño. Esto puede ser importante cuando la recogida de datos es costosa o requiere mucho tiempo. Recuerda que el margen de error se define como el error de estimación máximo probable que puedes esperar cuando se utiliza la estadística como estimador.
El margen de error viene dado por la fórmula
margen de error= \(1,96 \left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\).
Cuando no conozcas la desviación típica de la población, puedes aproximar el margen de error mediante la fórmula
margen de error estimado = \(1,96 \left(\dfrac{s}{\sqrt{n}}\right)\).
Si dejas que \(M\) sea el margen de error, resolviendo para el tamaño de la muestra \(n\) obtienes
\[ n = \left( \frac{1,96 \sigma}{M} \right)^2 \].
A veces no tendrás ni siquiera una desviación típica muestral. En ese caso, se puede hallar una estimación aproximada tomando:
\[\Ncomienza{align} \sigma &\approx \frac{texto{valor muestral más grande} - {texto{valor muestral más pequeño} }{4}. }{4} \\ y= rango 4 \fin]]
siempre que los datos no estén demasiado sesgados.
Veamos un ejemplo en el que necesitas utilizar el margen de error estimado para hallar el tamaño de la muestra.
Supongamos que alguien crea una beca que incluirá el coste de los libros de texto universitarios.
Para la estimación del coste de un semestre de universidad más libros, el margen de error sobre el coste de los libros de texto debe ser inferior a \(\$ 30\). Si vas a la librería universitaria más cercana, el coste de los libros de texto oscila entre \(\$ 40\) y \(\$ 385\). ¿Cuántas muestras del precio de los libros de texto debe tomar la persona que establece la beca para que el margen de error sea inferior a \(\$ 25\)?
Solución:
En este caso
\[\Ninicio \sigma &\approx \frac{\text{rango}} {4} \\ &= \frac{385-40} {4} \\ &= 86,25 fin].
y el tamaño de la muestra tendría que ser
\n &= izquierda( \frac {1,96 \sigma}{M} {derecha)^2 \frac {(1,96) (86,25)}{25} {derecha)^2 \&= (6,762)^2 &&aprox 45,72 \end{align} \]
Así que el tamaño de la muestra tendría que ser de al menos \(n=46\) para que el margen de error fuera inferior a \(\$ 25\).
Para construir un intervalo de confianza para una media poblacional, necesitas \(n \ge 30\). Eso significa que el tamaño mínimo de la muestra es \(n=46) sería suficiente para satisfacer la condición de construir el intervalo para el coste medio de un libro de texto universitario y para que el margen de error sea inferior a \(\$ 25\).
Veamos otro ejemplo.
Como te encanta el café, quieres montar una cafetería en tu zona. Vives en una gran área metropolitana, y una de las cosas que necesitas averiguar es el precio medio de un moca grande en una cafetería independiente de tu zona. De hecho, hay \(590\) cafeterías en tu ciudad, pero \(385\) de ellas son todas propiedad de la Fancy Pants Corporation, así que piensas ignorar sus precios.
Tras elegir una muestra aleatoria de 10 cafeterías independientes, descubres que el precio de un café moca grande oscila entre 6,75 y 9,95 ¤. ¿Qué tamaño de muestra debes utilizar para obtener un margen de error inferior a \(\$ 1\)?
Solución:
Aquí sabes que :
\[\begin{align} \sigma &\approx \frac{\text}{rango} {4} \\ &= \frac{9,95-6,75} {4} \\ &= 0,8 fin].
por lo que el tamaño de la muestra tendría que ser
\n &= izquierda( \frac {1,96 \sigma}{M} {derecha)^2 \frac {(1,96) (0,8)}{1} {derecha)^2 \derecha)^2 &= (1,568)^2 &aprox 2,46 fin{align} \]
Así que, según esto, sólo necesitarías un tamaño de muestra de \(3\) para garantizar que el margen de error es inferior a \(\$ 1\).
¡Eso no significa que sólo debas hacer \(3\) muestras! Recuerda que para hacer un intervalo de confianza para el precio medio de un moca grande necesitas un tamaño de muestra de al menos \(30\).
Ahora vamos a construir el intervalo de confianza para el precio del café.
De las \(205\) cafeterías independientes, eliges \(30\) como muestra aleatoria y las llamas para obtener el precio de su moca grande. Descubres que el precio medio es de 8¤, con una desviación típica de 1,25¤. Construye e interpreta un intervalo de confianza de \(95\%\) para el precio de un moca grande en una cafetería independiente.
Solución:
Con un tamaño de muestra de \(n=30\), el grado de libertad es:
\[ df = n- 1 = 29\\]
Con \(df = 29\) y un intervalo de confianza \(95\%), el valor \(t\)-crítico apropiado es \(2,05\), que puede hallarse utilizando una tabla o una calculadora. Entonces el intervalo de confianza para la media poblacional es
\[\begin{align} \bar{x} \pm (t \text{valor crítico})\left(\frac{s}{sqrt{n}}\right) &= 8 \pm (2,05)\left( \frac{1,25}{sqrt{30}}\right) \\\capprox 8 \pm 0,47 \\\\\= (7,53,8,47). \end{align}\]
Ahora puedes decir dos cosas:
El método utilizado para construir la estimación del intervalo de confianza captará la media poblacional real \(95\%\) de las veces.
Tienes \(95\%\) confianza en que el precio medio real de un moca grande está entre \(\$ 7,53 \$) y \(\$ 8,47 \$) en una cafetería independiente de tu zona.
Intervalo de confianza para la media poblacional - Puntos clave
- Hay dos condiciones que deben cumplirse para construir un intervalo de confianza para una media poblacional:
O bien el tamaño de la muestra es suficientemente grande (\(n\ge 30\) ) o bien la distribución de la población es aproximadamente normal.
La muestra es aleatoria o es razonable suponer que es representativa de la población mayor.
Si conoces la desviación típica de la población, el intervalo de confianza viene dado por
\[ \bar{x} \pm (z \text{valor crítico})\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\]donde \(\bar{x} \) es la media muestral, \(n\) es el tamaño de la muestra, y \(\sigma\) es la desviación típica poblacional.
Si no conoces la desviación típica poblacional, la fórmula del intervalo de confianza es
\[ \bar{x} \pm (t \text{valor crítico})\left(\frac{s}{cuadrado{n}}right),\]
donde \(\bar{x} \) es la media de la muestra, \(n\) es el tamaño de la muestra, y \(s\) es la desviación típica de la muestra. La fórmula de los grados de libertad es \(df = n-1\).
Aprende con 15 tarjetas de Intervalo de confianza para la media poblacional en la aplicación StudySmarter gratis
Tenemos 14,000 tarjetas de estudio sobre paisajes dinámicos.
¿Ya tienes una cuenta? Iniciar sesión
Preguntas frecuentes sobre Intervalo de confianza para la media poblacional
Pon a prueba tus conocimientos con tarjetas de opción múltiple
TU PUNTUACIÓN
Tu puntuación
¡Únete a la aplicación StudySmarter y aprende de manera eficiente con millones de tarjetas y mucho más!
Aprende con 15 tarjetas de Intervalo de confianza para la media poblacional en la aplicación StudySmarter gratis
¿Ya tienes una cuenta? Iniciar sesión
Acerca de StudySmarter
StudySmarter es una compañía de tecnología educativa reconocida a nivel mundial, que ofrece una plataforma de aprendizaje integral diseñada para estudiantes de todas las edades y niveles educativos. Nuestra plataforma proporciona apoyo en el aprendizaje para una amplia gama de asignaturas, incluidas las STEM, Ciencias Sociales e Idiomas, y también ayuda a los estudiantes a dominar con éxito diversos exámenes y pruebas en todo el mundo, como GCSE, A Level, SAT, ACT, Abitur y más. Ofrecemos una extensa biblioteca de materiales de aprendizaje, incluidas tarjetas didácticas interactivas, soluciones completas de libros de texto y explicaciones detalladas. La tecnología avanzada y las herramientas que proporcionamos ayudan a los estudiantes a crear sus propios materiales de aprendizaje. El contenido de StudySmarter no solo es verificado por expertos, sino que también se actualiza regularmente para garantizar su precisión y relevancia.
Aprende más
