Intervalo de confianza para la media poblacional

Definición del intervalo de confianza para una media poblacional

Recuerda que los intervalos de confianza son un tipo de inferencia estadística. Te permiten encontrar un intervalo de valores en el que puedes estar relativamente seguro de cuál será el valor verdadero. En este caso, estás construyendo un intervalo de confianza para una media poblacional.

La forma general de estimar un intervalo de confianza para una media poblacional es

media muestral \(\pm\) valor crítico \(\times\) error típico de la estadística.

En este caso, la media muestral, \(\bar{x}), es un estimador insesgado de la media poblacional \(\mu\) siempre que el tamaño de la muestra \(n\) sea tal que \(n > 30\) para que puedas aplicar el Teorema del Límite Central. Recuerda que poder utilizar el Teorema Central del Límite implica que puedes suponer que tu muestra es aproximadamente normal, aunque la población en sí no lo sea.

Empecemos por el caso en que conoces la desviación típica de la población, \(\sigma\). En general, no lo sabrás, pero es un caso inicial útil para repasar. Entonces la desviación típica de la muestra es :

\[ \sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{n} \]

Por tanto, cuando el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande, y se conoce \(\sigma), el intervalo de confianza viene dado por:

\[ \bar{x} \pm (z \text{valor crítico})\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\}].

¿Y si no tienes la desviación típica de la población?

Construye el intervalo de confianza para la media de la población

En primer lugar, veamos las condiciones que deben cumplirse para que puedas construir el intervalo de confianza de una media poblacional cuando no sepas cuál es la desviación típica de la población.

• O el tamaño de la muestra es suficientemente grande (\(n\ge 30\) ) o la distribución de la población es aproximadamente normal.

• La muestra es aleatoria o es razonable suponer que es representativa de la población más amplia.

Cuando se cumplen estas condiciones, puedes construir el intervalo de confianza para la media de la población. A diferencia del caso en que conoces la desviación típica de la población y puedes utilizar el valor \(z\)-como valor crítico, cuando no conozcas la desviación típica de la población tendrás que utilizar en su lugar la distribución \(t\).

Fórmula del intervalo de confianza para la media de la población

Cuando se cumplen las condiciones para construir un intervalo de confianza para la media de la población, la fórmula del intervalo de confianza pasa a ser

\[ \bar{x} \pm (t \text{valor crítico})\left(\frac{s}{sqrt{n}}\right)\}].

Aquí \(s\) es la desviación típica muestral. El valor crítico \(t\) se basa en el grado de libertad, \(df\), que se calcula mediante:

\[df = n-1\]

y el nivel de confianza que estés utilizando.

Calcular el intervalo de confianza para la media poblacional

Volvamos al ejemplo de la cafetería del principio del artículo. La media de la muestra es \(\bar{x} = 14,5\} minutos, el tamaño de la muestra es \(n=40\), y la desviación típica de la muestra es \(s=1,7\) . El tamaño de la muestra es lo suficientemente grande como para construir un intervalo de confianza, y es razonable suponer que las muestras de autoservicio de café y de coches son aleatorias.

Supongamos que quieres construir un intervalo de confianza \(95\%\). El grado de libertad es

\[ df = n- 1 = 39\]

Si utilizas una tabla \(t\)-, ¡no encontrarás \(39\) grados de libertad en la tabla! Esto se debe a que, para cualquier grado de libertad mayor que \(30\), el aumento no es mucho si sólo aumentas el número de grados de libertad en \(1\).

Por eso verás que las tablas van en \(1\) hasta \(30\), y luego empiezan a saltar en \(10\). La diferencia entre el valor \(t\)-crítico para \(df = 39\) y \(df = 40\) no es realmente tan grande como para afectar a tus cálculos, así que puedes utilizar en su lugar el valor de la tabla para \(df = 40\) y un intervalo de confianza \(95\%\). Ahí verás que el valor crítico apropiado de \(t\) es \(2,02\).

Entonces el intervalo de confianza para la media poblacional es

\[\begin{align} \bar{x} \pm (t \text{valor crítico})\left(\frac{s}{sqrt{n}}\right) &= 14,5 \pm (2,02)\left( \frac{1,7}{sqrt{40}}\right) \\\\approx 14,5 \pm 0,54 \\\\\= (13,96,15,04) \end{align}\}].

Aún tienes que interpretar el intervalo de confianza y comunicar tus conclusiones a otras personas. Puedes decir dos cosas:

• El método utilizado para construir la estimación del intervalo de confianza captará la media real de la población \(95\%\) de las veces.

• Estás seguro (95 %) de que la media real del tiempo que se tarda en tomar un café en un autoservicio está entre (13,96 %) y (15,04 %) minutos.

Ejemplos de intervalos de confianza para medias poblacionales

Puede que tengas que determinar de antemano cuántas muestras necesitas para asegurarte de que el margen de error es relativamente pequeño. Esto puede ser importante cuando la recogida de datos es costosa o requiere mucho tiempo. Recuerda que el margen de error se define como el error de estimación máximo probable que puedes esperar cuando se utiliza la estadística como estimador.

El margen de error viene dado por la fórmula

margen de error= \(1,96 \left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\).

Cuando no conozcas la desviación típica de la población, puedes aproximar el margen de error mediante la fórmula

margen de error estimado = \(1,96 \left(\dfrac{s}{\sqrt{n}}\right)\).

Si dejas que \(M\) sea el margen de error, resolviendo para el tamaño de la muestra \(n\) obtienes

\[ n = \left( \frac{1,96 \sigma}{M} \right)^2 \].

A veces no tendrás ni siquiera una desviación típica muestral. En ese caso, se puede hallar una estimación aproximada tomando:

\[\Ncomienza{align} \sigma &\approx \frac{texto{valor muestral más grande} - {texto{valor muestral más pequeño} }{4}. }{4} \\ y= rango 4 \fin]]

siempre que los datos no estén demasiado sesgados.

Veamos un ejemplo en el que necesitas utilizar el margen de error estimado para hallar el tamaño de la muestra.

Veamos otro ejemplo.

Ahora vamos a construir el intervalo de confianza para el precio del café.