Intervalos de Confianza para una Proporción Poblacional

Se muestrearon \(20\) vainas de cacao y \(8\) de ellas estaban enfermas. Esto te da una proporción poblacional de \(40\%\).

• No. Lo que sí te dice es que "aproximadamente" el 40 % de ellas están enfermas.

Entonces, ¿qué significa "aproximadamente" en términos técnicos?

Bueno, depende del grado de confianza que quieras tener.

• El intervalo de confianza para la proporción de población te da un rango de valores cercanos a \(40\%\) en el que puedes decir que se encuentra el porcentaje real de vainas enfermas.
• El tamaño del intervalo será menor si quieres estar más seguro, y será mayor si estás dispuesto a estar menos seguro.

En el ejemplo del cacao del principio del artículo, se tomaron muestras de \(20\) vainas de cacao y \(8\) de ellas estaban enfermas.

En el contexto de este ejemplo, un éxito es que una mazorca esté enferma. Por tanto

\[ \begin{align}\hat{p} &= \frac{text{número de éxitos}}{text{tamaño de la muestra}} \\&= \frac{8}{20} \\ &= 0,4.\end{align}\]

En el ejemplo del cacao del principio del artículo, se tomaron muestras de \(20\) vainas de cacao y \(8\) de ellas estaban enfermas. ¿Cuál es el error típico de la proporción poblacional?

Solución:

Para este ejemplo, \(n = 20\) y ya has calculado que \(\hat{p} = 0,4\). Utilizando la fórmula

\[\begin{align}\sigma_{hat{p}} & = \sqrt{\frac{hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \\&= \sqrt{\frac{0,4(1-0,4)}{20}} \\&= 0,12 \\&= 0,1095\end{align}\}]

redondeado a \(4\) decimales.

En el ejemplo del cacao del principio del artículo, se tomaron muestras de 20 vainas de cacao y 8 de ellas estaban enfermas. En el ejemplo de la sección "Error típico", has hallado que \( \hat{p} = 0,4 \) y el error típico es aproximadamente \( 0,1095 \). Halla el margen de error para el

1. \(90\%\),
2. \(95%) y
3. \(99%) niveles de confianza.

Solución:

Utiliza los valores críticos de los niveles de confianza \(90\%\), \(95\%\) y \(99\%\) de la tabla anterior.

1. Para el nivel de confianza \(90\%\), el valor crítico es \(1,645\), por lo que\[\begin{align}\text{margen de error para } 90\% &= (\text{valor crítico})(\text{error estándar}) \\text{error estándar})&= (1,645)(0,1095) \text{error estándar} &= (1,645)(0,1095) \text{error estándar})&\aprox 0,18.\end{align}\}]
2. Del mismo modo, para el nivel de confianza \(95\%), el valor crítico es \(1,96), por lo que\[\begin{align}\text{margen de error para } 95\% &= (\text{valor crítico})(\text{error estándar}) \\text{error estándar})&= (1,96)(0,1095) \text{error estándar} &= (1,96)(0,1095) \text{error estándar})&\aprox 0,21.\end{align}\}]
3. Por último, para el nivel de confianza \(99\%), el valor crítico es \(1,96), por lo que\[\begin{align}\text{margen de error para } 99\% &= (\text{critical value})(\text{standard error}) \\&= (2.58)(0.1095) \\&\approx 0.54.\end{align}\]

Pongamos en palabras los resultados del nivel de confianza \(95\%\).

• Recuerda que \(40\%\) de las vainas estaban enfermas. Lo que te dice el margen de error es que, con un nivel de confianza del \(95\%), puedes estar \(95\%) seguro de que, para cualquier muestra aleatoria tomada de las mazorcas de cacao, el porcentaje de mazorcas enfermas será \(40\%) con un margen de error de \(21\%).

Comparando los resultados de los tres niveles de confianza, ¡observa que el margen de error aumenta a medida que sube el nivel de confianza! En otras palabras, cuanto más confianza quieras tener en el resultado, mayor será tu error.

En el ejemplo sobre las vainas de cacao, no sabes cómo se recogen los datos. Por tanto, no puedes saber si los datos son representativos o no. Si haces algún análisis estadístico basado en estos datos, tendrás que decir algo como

No se da información sobre cómo se seleccionó la muestra. Por lo tanto, los resultados sólo son válidos si la muestra seleccionada era representativa del conjunto de la población.

En una explotación de cacao, Indodo, el propietario de la explotación, tomó muestras de \(20\) vainas de cacao y se dio cuenta de que \(8\) de ellas estaban enfermas. Determina si el tamaño de la muestra es lo bastante grande para hallar un intervalo de confianza adecuado.

Solución:

Recuerda que la proporción de la población es \( \hat{p} = 0,4 \). Por tanto

\[ n \hat{p} = (20)(0,4) = 8 \}]

y

\[ n (1 - \hat{p}) = (20)(0,6) = 12,\}].

Como \( n \hat{p} < 10 \), estos datos no cumplen los requisitos para determinar un intervalo de confianza adecuado. ¡Por eso el margen de error del ejemplo anterior era tan grande!

Suponiendo que Indodo esté haciendo un muestreo aleatorio, y encuentre que \( \hat{p} = 0,4 \} cada vez, ¿de qué tamaño tiene que ser su muestra para decir que la muestra es suficientemente grande?

Solución:

1. Está intentando encontrar el tamaño de muestra \(n\) que le dé tanto\[ n \hat{p} \geq 10 \]como\[ n (1 - \hat{p}) \geq 10. \]
2. Usando \( \hat{p} = 0,4 \), eso significa que necesitas\[ \begin{align}0,4 n &\geq 10 \n &\geq \frac{10}{0,4} \\n &\geq 25.\end{align} \]y\[ \begin{align}n (1 - 0,4) &\geq 10 \n (0,6) &\geq 10 \n &\geq \frac{10} {0,6} \\n &\geq 17.\end{align} \]

Alelegir el mayor de los dos valores para \(n\), Indo necesita muestrear al menos \(25\) vainas para asegurarse de que la muestra es lo bastante grande como para hallar un intervalo de confianza adecuado.

Indodo ha decidido hacer otro muestreo de las mazorcas de cacao de su granja. Toma muestras de \(100\) de ellas, y descubre que \(25\) de ellas están enfermas. Basándose en esos datos, ¿qué puede averiguar sobre la proporción de mazorcas de cacao que están enfermas en toda la granja?

Solución:

1. E: Estimación-Explica qué característica de la población piensas estimar.
   • Estimarás el valor de \( \hat{p} \), la proporción de mazorcas de cacao enfermas en la granja.

2. M: Método - Decide qué método de inferencia estadística quieres utilizar.

   • Porque

     • la pregunta te pide una estimación,

     • la situación implica el uso de datos muestrales

     • el tipo de datos implicados es una variable categórica, y

     • sólo hay una muestra,

     • puedes utilizar el método de los intervalos de confianza para una proporción poblacional.

   • Como el intervalo de confianza lleva asociado un nivel de confianza, tienes que especificar un nivel de confianza para el problema. No se da un nivel de confianza, así que utiliza un nivel de confianza de \(95\%\).

3. C: Comprobación - Para poder utilizar el intervalo de confianza de una proporción poblacional, deben cumplirse ciertas condiciones:

   1. Los datos deben ser realmente representativos de la población.

      • No se indica específicamente cómo eligió Indodo las vainas para la muestra, así que no sabes si los datos son representativos.
        • Eso significa que tendrás que suponer que los datos son representativos de la población e incluir una declaración sobre la falta de esta información cuando presentes los resultados.

   2. El tamaño de la muestra debe ser lo suficientemente grande.Para este ejemplo, un éxito se define como encontrar una vaina enferma. Puesto que ha muestreado \(100\) vainas, \( n = 100 \) y\[ \begin{align}\hat{p} &= \frac{ \text{número de éxitos} } } {texto{tamaño de la muestra}} } \\&= \frac{25}{100} = 0,25.\end{align} \align} \]Por tanto,\[ \begin{align}n \hat{p} &= (100)(0,25) \&= 25 \geq 10\end{align} \geq 10]y\[ \begin{align}n (1 - \hat{p}) &= 100 (1 - 0,25) \&= 100 (0,75) \&= 75 \geq 10.\end{align} \geq 10. \] Como ambas comprobaciones del tamaño de muestra requerido son mayores o iguales que \(10\), el tamaño de la muestra es suficientemente grande.

4. C: Calcula-Utiliza la fórmula para calcular el intervalo de confianza.
   1. El tamaño de la muestra es \( n = 100 \).
   2. La proporción poblacional es \( \hat{p} = 0,25 \).
   3. El nivel de confianza es \( 95\% \), por lo que el valor crítico del nivel de confianza es \( \text{valor crítico} = 1,96 \).
   4. Halla el error típico.\[ \begin{align}\text{error típico } &= \sqrt{ \frac{ \hat{p} (1 - \hat{p}) }{n}}. } \\&= cuadrado {frac{0,25 (1 - 0,25)} {100} } \\&= 0,001875 \\&\aprox 0,0433\end{align} \]
   5. Halla el margen de error.Utilizando el valor crítico para el nivel de confianza \(95\%\), el margen de error es:\[ \begin{align}\text{margen de error para } 95\% &= (\text{critical value})(\text{standard error}) \\&= (1.96) (0.0433) \\&\approx 0.084.\end{align} \]
   6. Encuentra el intervalo de confianza.Ahora puedes construir el intervalo de confianza utilizando:\[ \hat{p} \pm \text{margen de error} = 0,25 \pm 0,085, \]por lo que el intervalo es:\[ (0,25 - 0,085, 0,25 + 0,085 ) = (0,165, 0,335). \]
5. C: Comunica - Responde a la pregunta formulada en el problema, indicando lo que has aprendido de los datos y abordando los posibles riesgos o deficiencias.
   1. En primer lugar, una declaración sobre el nivel de confianza.
      • El método utilizado para construir el intervalo de confianza garantizará que la proporción real de la población esté contenida en el intervalo de confianza aproximadamente \(95\%\) de las veces.
      • No se da información sobre cómo se seleccionó la muestra. Por lo tanto, los resultados sólo son válidos si la muestra seleccionada era representativa de la población total.
   2. A continuación, una declaración sobre los resultados en relación con el problema real.
      • Si la muestra se seleccionó razonablemente, puedes estar \(95\%\) seguro de que la proporción real de mazorcas de cacao enfermas está entre \(0,165\) y \(0,335\).
      • En términos de porcentajes, puedes estar seguro (95 %) de que el porcentaje real de mazorcas de cacao enfermas está entre (16,5 %) y (33,5 %).

Estás estudiando los patrones de reubicación de los adultos estadounidenses de 21 años o más que se mudaron a su casa o a casa de amigos durante el año anterior. Has realizado una encuesta a 843 adultos estadounidenses de 21 años o más, y 62 de ellos declararon que el año anterior se habían ido a vivir con amigos o familiares. Basándote en estos datos, ¿qué puedes averiguar sobre la proporción de todos los adultos estadounidenses de 21 años o más que se fueron a vivir con amigos o familiares el año anterior?

Solución:

1. E: Estimación - Explica qué característica de la población piensas estimar.

   • Vas a estimar el valor de \( \hat{p} \), la proporción de adultos estadounidenses de \(21\) años o más que se han ido a vivir con amigos o familiares durante el año anterior.

2. M: Método - Decide qué método de inferencia estadística quieres utilizar.

   • Porque

     • la pregunta te pide una estimación,

     • la situación implica el uso de datos muestrales

     • el tipo de datos implicados es una variable categórica, y

     • sólo hay una muestra,puedes utilizar los intervalos de confianza para un método de proporción poblacional.

   • Como el intervalo de confianza lleva asociado un nivel de confianza, tienes que especificar un nivel de confianza para el problema. No se da un nivel de confianza, así que utiliza un nivel de confianza de \(95\%\).

3. C: Comprobación - Para poder utilizar el intervalo de confianza de una proporción poblacional, deben cumplirse ciertas condiciones:

   1. Los datos deben ser realmente representativos de la población.

      • No se indica específicamente cómo se seleccionó la muestra, por lo que no sabes si los datos son representativos.
        • Eso significa que tendrás que suponer que los datos son representativos de la población e incluir una declaración sobre la falta de esta información cuando presentes los resultados.

   2. El tamaño de la muestra debe ser suficientemente grande.

      • Para este ejemplo, un éxito se define como un adulto que se muda con amigos o familiares. Dado que la muestra incluía \(843\) adultos, \( n = 843 \) y\[ \begin{align}\hat{p} &= \frac{ \text{número de éxitos}} } {texto{tamaño de la muestra}} } \\&= \frac{62}{843} \aprox 0,0735.\end{align} \]Así pues,\[ \begin{align}n \hat{p} &= (843)(0,0735) \&= 62 \geq 10\end{align} \año. \]y\[ \begin{align}n (1 - \hat{p}) &= 843 (1 - 0,0735) \&= 843 (0,9265) \&= 781,0395 \geq 10.\end{align} \] Como ambas comprobaciones del tamaño de muestra requerido son mayores o iguales que \(10\), el tamaño de la muestra es suficientemente grande.

4. C: Calcular - Utiliza la fórmula para calcular el intervalo de confianza.

   1. El tamaño de la muestra es \( n = 843 \).
   2. La proporción poblacional es \( \hat{p} = 0,0735 \).
   3. El nivel de confianza es \( 95\% \), por lo que el valor crítico del nivel de confianza es \( \text{valor crítico} = 1,96 \).
   4. El intervalo de confianza es:\[ \begin{align}\hat{p} &\pm (\text{valor crítico}) \sqrt{ \frac{ \hat{p} (1 - \hat{p}) }{n}. } \0,0735 &\pm 1,96 \sqrt{ \frac{(0,0735) (1 - 0,0735)}{843}}. } \\0,0735 &\pm 1,96 \qrt{0,00008078} \\0,0735 &\pm 0,0176\end{align} \] Escrito en notación de intervalo, tienes:\[ \begin{align}\text{intervalo de confianza} &= (0,0735 - 0,0176, 0,0735 + 0,0176) \&= (0,0559, 0,0911)\end{align} \]

5. C: Comunica - Responde a la pregunta formulada en el problema, indicando lo que has aprendido de los datos y abordando los posibles riesgos o deficiencias.

   • Intervalo de confianza:Si la muestra se seleccionó de forma que representara realmente a la población, puedes estar \(95\%\) seguro de que la proporción real de adultos estadounidenses de \(21\) años o más que volvieron a casa o se fueron a vivir con amigos durante el año anterior está entre \(0,0559\) y \(0,0911\).

   • Nivel de confianza:El método que has utilizado para determinar la estimación del intervalo consigue captar el valor real de la proporción poblacional aproximadamente \(95\%\) de las veces.No se da información sobre cómo se seleccionó la muestra. Por lo tanto, los resultados sólo son válidos si la muestra seleccionada era representativa de la población total.

En un estudio en el que participaron 10.000 padres, el 40 % de los padres de entre 18 y 34 años crearon una cuenta en las redes sociales para sus bebés. Suponiendo que esta población es representativa, determina los intervalos de confianza para una proporción de población con niveles de confianza de \(90\%\), \(95\%\) y \(99\%\).

Solución:

1. E: Estimación - Explica qué característica de la población piensas estimar.

   • Estás estimando el valor de \( \hat{p} \), la proporción de padres de entre \(18\) y \(34\) años que crearon una cuenta en las redes sociales para sus bebés.

2. M: Método - Decide qué método de inferencia estadística quieres utilizar.

   • Porque

     • la pregunta te pide una estimación,

     • la situación implica el uso de datos muestrales

     • el tipo de datos implicados es una variable categórica, y

     • sólo hay una muestra,puedes utilizar los intervalos de confianza para un método de proporción poblacional.

   • Se especificaron niveles de confianza de \(90\%\), \(95\%\) y \(99\%\).

3. C: Comprobación - Hay \(2\) condiciones que deben cumplirse para utilizar el intervalo de confianza de una proporción poblacional:

   1. Los datos deben ser realmente representativos de la población.

      • Se te dijo que supusieras que la muestra de población es representativa.
        • Eso significa que, al presentar los resultados, tendrás que incluir una declaración sobre cómo los resultados sólo son válidos si la muestra seleccionada era representativa de la población total.

   2. El tamaño de la muestra debe ser suficientemente grande.

      • Para este ejemplo, un éxito se define como un padre que crea un perfil en las redes sociales para su bebé. Dado que la muestra incluía \(10000\) padres, \( n = 10000 \) y\[ \begin{align}\hat{p} &= \frac{ \text{número de éxitos}} } {texto{tamaño de la muestra}} } \\&= \frac{(10000)(0.40)}{10000} = 0.4.\end{align} \align} \]Por tanto,\[ \begin{align}n \hat{p} &= (10000)(0,4) \&= 4000 \geq 10\end{align} \]y\[ \begin{align}n (1 - \hat{p}) &= 10000 (1 - 0,4) \&= 10000 (0,6) \&= 6000 \geq 10.\end{align} \geq 10 \] Como ambas comprobaciones del tamaño de muestra requerido son mayores o iguales que \(10\), el tamaño de la muestra es suficientemente grande.

4. C: Calcular - Utiliza la fórmula para calcular el intervalo de confianza.

   1. El tamaño de la muestra es \( n = 10000 \).
   2. La proporción poblacional es \( \hat{p} = 0,4 \).
   3. Los niveles de confianza son
      • \( 90\% \), y el valor crítico de \( 90\% \) es \( \text{valor crítico} = 1,645 \).
      • \El valor crítico de 90% es 95%, y el valor crítico de 95% es 1,96.
      • \(99%), y el valor crítico de (99%) es (texto = valor crítico) = 2,58).
   4. Los intervalos de confianza son:
      • Para un nivel de confianza del \( 90\% \):\[ \begin{align}\hat{p} &\pm (\text{valor crítico}) \sqrt{ \frac{ \hat{p} (1 - \hat{p}) }{n} } } \0,4 &\pm 1,645 \sqrt{ \frac{(0,4) (1 - 0,4)}{10000} } } \\0.4 &\pm 1.645 \qrt{0.000024} \\0,4 &\pm 0,008\end{align} \end{align} \] Escrito en notación de intervalo, tienes:\[ \begin{align}\text{intervalo de confianza} &= (0,4 - 0,008, 0,4 + 0,008) \&= (0,392, 0,408)\end{align} \]
      • Para un nivel de confianza de \( 95\% \):\[ \begin{align}\hat{p} &\pm (\text{valor crítico}) \sqrt{ \frac{ \hat{p} (1 - \hat{p}) }{n} } } \0,4 &\pm 1,96 \sqrt{ \frac{(0,4) (1 - 0,4)}{10000} } } \\0,4 &\pm 1,96 \qrt{0,000024} \\0,4 &\pm 0,0096\end{align} \end{align} \] Escrito en notación de intervalo, tienes:\[ \begin{align}\text{intervalo de confianza} &= (0,4 - 0,0096, 0,4 + 0,0096) \&= (0,3904, 0,4096)\end{align} \]
      • Para un nivel de confianza de \( 99\% \):\[ \begin{align}\hat{p} &\pm (\text{valor crítico}) \sqrt{ \frac{ \hat{p} (1 - \hat{p}) }{n} } } \0,4 &\pm 2,58 \sqrt{ \frac{(0,4) (1 - 0,4)}{10000} } } \\0,4 &\pm 2,58 \qrt{0,000024} \\0,4 &\pm 0,0126\end{align} \end{align} \] Escrito en notación de intervalo, tienes:\[ \begin{align}\text{intervalo de confianza} &= (0,4 - 0,0126, 0,4 + 0,0126) \&= (0,3874, 0,4126)\end{align} \]

5. C: Comunica - Responde a la pregunta formulada en el problema, indicando lo que has aprendido de los datos y abordando los posibles riesgos o deficiencias.

   • Intervalo de confianza:Suponiendo que la muestra sea realmente representativa de la población, para un nivel de confianza de \(90\%\), el valor real debería estar entre \(39,2\%\) y \(40,8\%\). Para un nivel de confianza del 95 %, el valor real debe estar entre 39,04 % y 40,96 %. Mientras tanto, para un nivel de confianza \(99\%\), se espera que el valor real esté entre \(38,74\%\) y \(41,26\%\).¿Qué puedes deducir del resultado anterior, que aplica tres niveles de confianza?

     • Puedes deducir que el nivel de confianza \(90\%\) tiene el intervalo más pequeño de \(1,6\%\) (de \(40,8\% - 39,2\%\)), seguido de \(95\%\) con un intervalo de \(2\%\), y por último, \(99\%\) con un intervalo de \(2,6\%\).

     • Un menor tamaño del intervalo significa que estás más cerca del valor real; sin embargo, un menor nivel de confianza significa una menor seguridad de la exactitud o precisión con que se encuentra el valor real. Como ves, en la medida en que desees tener más seguridad (dada por el nivel de confianza \(99\%\)), preferirás que el intervalo sea lo más pequeño posible para que el intervalo se acerque más al valor real (dada por el nivel de confianza \(90\%\)). Por lo tanto, es RAZONABLEMENTE seguro confiar en el nivel de confianza \(95\%\).

   • Nivel de confianza:El método que has utilizado para determinar la estimación del intervalo consigue captar el valor real de la proporción poblacional aproximadamente \(90\%\), \(95\%\) o \(99\%\) de las veces, según el intervalo que decidas considerar.Se te dijo que supusieras que la muestra era realmente representativa de la población. Por lo tanto, los resultados sólo son válidos si la muestra seleccionada era realmente representativa de la población total.

María y su hermana gemela, Isabel, se embarcaron por separado en una encuesta aleatoria en la misma zona, que incluía la ayuda para construir una escuela piloto. Los intervalos de confianza de María para la proporción poblacional son \((0,34, 0,41)\), y los de Isabel son \((0,37, 0,39)\).

1. ¿Qué explicación puede darse a la diferencia en los intervalos de confianza, incluso dentro de la misma área?
2. ¿Cuál de los dos intervalos de confianza tiene mayor precisión?
3. Suponiendo que ambos tuvieran un nivel de confianza de \(95\%\), determina qué resultado se derivó de un tamaño de muestra más pequeño con razones.
4. Suponiendo que ambos hubieran utilizado el mismo tamaño de muestra, determina quién habría utilizado un nivel de confianza mayor y justifícalo.

Solución:

1. Aunque ambas personas habían trabajado en la misma zona de muestreo, hay varios factores que pueden afectar a la uniformidad de sus resultados.
   1. En primer lugar, podrían haber trabajado con tamaños de muestra diferentes. Recuerda que un mayor tamaño de la muestra implicaría un menor margen de error. Por tanto, la diferencia de intervalo sería menor.
   2. Otro factor es el nivel de confianza. Si se utiliza un nivel de confianza más alto, incluso con el mismo tamaño de población, el límite entre los intervalos sería más amplio, lo que significaría una menor precisión. Sin embargo, un nivel de confianza más bajo daría una frontera más pequeña entre los intervalos, lo que significa más precisión, pero a expensas del nivel de seguridad.
2. A partir de los intervalos, se calcularía el tamaño del límite para determinar el grado de precisión.En el caso de María:\[ 0,41 - 0,34 = 0,07 \]En el caso de Isabel:\[ 0,39 - 0,37 = 0,02 \].
   • Sabiendo que un tamaño de frontera menor significa una mayor precisión, puedes decir que el resultado de Elizabeth es más preciso.
3. Si ambos realizaron su encuesta con un nivel de confianza de \(95\%\), entonces el tamaño de la muestra se convierte en la única base sobre la que se determina la precisión. Un mayor tamaño de la muestra significaría más precisión debido al menor margen de error. Como el resultado de Isabel tiene más precisión, significa que trabajó con un tamaño de muestra mayor que el de María.
   • Por lo tanto, el tamaño de la muestra de María era menor.
4. Si ambas realizaron su encuesta con el mismo tamaño de muestra, el nivel de confianza se convierte en la única base para determinar la precisión. Si el resultado de Isabel es más preciso, significa que se utilizó un límite de confianza más bajo.
   • Por lo tanto, María habría utilizado un nivel de confianza más alto.