Intervalos de Confianza para una Proporción Poblacional

En una granja de cacao, Indodo, su propietario, tomó muestras de 20 vainas de cacao y se dio cuenta de que 8 de ellas estaban enfermas. En términos de proporción, esto significa que ¡40% de ellas estaban enfermas! Al descubrirlo, Indodo salió enfadado de su granja, pensando que 40% de todas las mazorcas de cacao de su granja estaban enfermas.

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¿Verdadero o falso?Sólo hay 3 niveles de confianza.

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En una población de 100.000 personas, 20 de ellas se utilizaron en un estudio, y se observó que 40% son aciertos en el estudio.¿Es ese tamaño de muestra suficientemente grande para determinar el margen de error?

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Para hallar el intervalo de confianza de una proporción poblacional, Nonny utilizaExtra close brace or missing open brace¿Es correcto?

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¿Verdadero o falso?El intervalo de confianza de una proporción poblacional es la proporción muestral más o menos el margen de error.

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¿Puedes fiarte de su juicio, ya que sólo inspeccionó \(20\%) vainas de entre miles?

¿Qué nivel de confianza tienes si estás de acuerdo en que 40% de todas las mazorcas de cacao de la granja de Indodo están enfermas?

Echemos un vistazo a los intervalos de confianza para las proporciones de población, ¡así podrás expresar lo preocupado que deberías estar por el precio del chocolate!

Pon a prueba tus conocimientos con tarjetas de opción múltiple

1/3

Se puede decir que el intervalo de confianza de una proporción poblacional es_

1/3

¿Verdadero o falso?El intervalo de confianza para una proporción poblacional te da un límite o rango estimado para el que se espera encontrar el valor exacto, con un nivel de seguridad especificado.

1/3

¿Verdadero o falso?Sólo hay 3 niveles de confianza.

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El significado de intervalo de confianza para una proporción de población

En primer lugar, veamos la definición de intervalo de confianza para una proporción de población.

Un intervalo de confianza para una proporción de población puede describirse como el nivel de certeza de que la proporción de población real o actual se encuentra dentro de un intervalo estimado de valores.

En otras palabras, el intervalo de confianza para una proporción de población te da un límite o rango estimado para el que se espera encontrar el valor exacto, con un nivel de seguridad especificado.

Para recordar cómo encontrar estos intervalos y el nivel de confianza, echa un vistazo al artículo Intervalos de confianza.

Volvamos al ejemplo del cacao.

Se muestrearon 20 vainas de cacao y 8 de ellas estaban enfermas. Esto te da una proporción poblacional de 40%.

¿Significa eso que 40% de todas las mazorcas de cacao están enfermas?
  • No. Lo que sí te dice es que "aproximadamente" el 40 % de ellas están enfermas.

Entonces, ¿qué significa "aproximadamente" en términos técnicos?

Bueno, depende del grado de confianza que quieras tener.

  • El intervalo de confianza para la proporción de población te da un rango de valores cercanos a 40% en el que puedes decir que se encuentra el porcentaje real de vainas enfermas.
  • El tamaño del intervalo será menor si quieres estar más seguro, y será mayor si estás dispuesto a estar menos seguro.

¿Cómo puedes determinar el intervalo de confianza para una proporción de población? En primer lugar, debes tener en cuenta algunos términos que vas a utilizar.

Proporción de población

Cuando se trata de estimar una característica de la población -como la proporción poblacional (p) - tu primer paso es elegir una estadística muestral adecuada. ¿Cuál es una estadística muestral adecuada para estimar una proporción poblacional? Pues bien, la elección habitual es unaproporción poblacional , p^. Se define como

Laproporciónpoblacional es

\[ \hat{p} = \frac{text{número de aciertos}} {{text{tamaño de la muestra}}.

Veámoslo con un ejemplo.

En el ejemplo del cacao del principio del artículo, se tomaron muestras de 20 vainas de cacao y 8 de ellas estaban enfermas.

En el contexto de este ejemplo, un éxito es que una mazorca esté enferma. Por tanto

\[ \begin{align}\hat{p} &= \frac{text{número de éxitos}}{text{tamaño de la muestra}} \&= \frac{8}{20} \ &= 0,4.\end{align}\]

Observa que esto es lo mismo que la proporción de vainas enfermas, que es lo que cabría esperar.

Error típico

La distribución muestral de una estadística tiene su propia desviación típica, que describe cuánto varían los valores de la estadística entre muestras.

  • Si una distribución muestral se centra estrechamente en el valor real de la población, una desviación típica pequeña garantiza que los valores de la estadística se agrupen estrechamente en torno al valor real de la población.

    • Esto significa que el valor del estadístico tenderá a aproximarse al valor de la población, y puedes considerar que el estadístico es un estimador insesgado de esa característica.

Para más información sobre el sesgo, consulta Fuentes de sesgo en las encuestas, Fuentes de sesgo en los experimentos y Estimaciones puntuales sesgadas e insesgadas.

Como la desviación típica de una distribución muestral es tan importante para determinar la exactitud de una estimación, tiene un nombre especial: error típico. Se define como

El error típico, σ, de una proporción poblacional, p^, describe cuánto se dispersarán sus valores en torno al valor real de la proporción poblacional. Si el tamaño de la muestra es grande, el error típico tiende a ser pequeño.

La fórmula del error típico de una proporción poblacional es

\[ \sigma_{hat{p}} = \sqrt{\frac{hat{p}(1-\hat{p})}{n}}].

donde

  • n es el tamaño de la muestra y

  • \es la proporción poblacional.

En resumen, es probable que un estadístico insesgado con un error típico pequeño dé como resultado una estimación cercana al valor real de la característica poblacional.

En el ejemplo del cacao del principio del artículo, se tomaron muestras de 20 vainas de cacao y 8 de ellas estaban enfermas. ¿Cuál es el error típico de la proporción poblacional?

Solución:

Para este ejemplo, n=20 y ya has calculado que p^=0,4. Utilizando la fórmula

\[σhatp=hatp(1p^)n=0,4(10,4)20=0,12=0,1095\}]

redondeado a 4 decimales.

Nivel de confianza

¿Qué es el nivel de confianza?

El nivel de confianza es una medida de la tasa de éxito del método de construcción del intervalo, no un comentario sobre la población. Está asociado al intervalo de confianza.

El nivel de confianza que utilices puede variar, siendo las opciones más populares 90%, 95% y 99%. El nivel de confianza 95% es el más popular entre los estadísticos porque proporciona un compromiso razonable entre confianza y precisión.

Puede que tengas que trabajar con niveles de confianza 90% o 99%. Esto no es un calvario, ya que sólo requiere introducir los valores críticos correctos. A continuación se muestra una tabla de valores para los niveles de confianza 90%, 95% y 99%.

Nivel de confianzaValor crítico
90%1.645
95%1.96
99%2.58

Ten cuidado: ¡no puedes utilizar \(0,95\%) como valor crítico para un nivel de confianza \(95\%)! Es un error muy común.

Observa que a medida que aumenta el nivel de confianza, aumenta el valor crítico. Esto significa que cuanto mayor sea el nivel de confianza que elijas, más amplio será tu intervalo de confianza. Por otra parte, cuanto menor sea el nivel de confianza que elijas, mayor será el riesgo de equivocarte.

Margen de error

En el ejemplo de la noticia anterior, los resultados de la encuesta se dan como 65%±3,2%. ¿Qué es eso de ±3,2%? Es el margen de error.

El margen de error mide el grado de precisión que tiene un resultado estimado, en comparación con el valor real verdadero, con un determinado nivel de confianza.

El margen de error depende de tu nivel de confianza, ¡y también equivale a la mitad de la anchura del intervalo de confianza!

El margen de error también está relacionado con el error típico, y equivale al producto del valor crítico y el error típico. Por tanto, se expresa como

\text[\text{margen de error} = (\text{valor crítico})(\text{error típico}).

Volvamos al ejemplo del cacao.

En el ejemplo del cacao del principio del artículo, se tomaron muestras de 20 vainas de cacao y 8 de ellas estaban enfermas. En el ejemplo de la sección "Error típico", has hallado que p^=0,4 y el error típico es aproximadamente 0,1095. Halla el margen de error para el

  1. 90%,
  2. \(95%) y
  3. \(99%) niveles de confianza.

Solución:

Utiliza los valores críticos de los niveles de confianza 90%, 95% y 99% de la tabla anterior.

  1. Para el nivel de confianza 90%, el valor crítico es 1,645, por lo que\[\begin{align}\text{margen de error para } 90\% &= (\text{valor crítico})(\text{error estándar}) \text{error estándar})&= (1,645)(0,1095) \text{error estándar} &= (1,645)(0,1095) \text{error estándar})&\aprox 0,18.\end{align}\}]
  2. Del mismo modo, para el nivel de confianza \(95\%), el valor crítico es \(1,96), por lo que\[margen de error para 95%=(valor crítico)(error estándar)texterrorestándar)=(1,96)(0,1095)error estándar=(1,96)(0,1095)error estándar)\aprox0,21.\}]
  3. Por último, para el nivel de confianza \(99\%), el valor crítico es \(1,96), por lo quemargen de error para 99%=(critical value)(standard error)=(2.58)(0.1095)0.54.

Pongamos en palabras los resultados del nivel de confianza 95%.

  • Recuerda que 40% de las vainas estaban enfermas. Lo que te dice el margen de error es que, con un nivel de confianza del \(95\%), puedes estar \(95\%) seguro de que, para cualquier muestra aleatoria tomada de las mazorcas de cacao, el porcentaje de mazorcas enfermas será \(40\%) con un margen de error de \(21\%).

Comparando los resultados de los tres niveles de confianza, ¡observa que el margen de error aumenta a medida que sube el nivel de confianza! En otras palabras, cuanto más confianza quieras tener en el resultado, mayor será tu error.

Como advertencia, ¡el margen de error puede no ser exacto si el tamaño de la muestra no es lo suficientemente grande! Sigue leyendo para saber por qué.

Cómo hallar los intervalos de confianza de una proporción poblacional

Antes de determinar el intervalo de confianza de una proporción poblacional, es necesario que la información dada cumpla dos condiciones:

  1. Los datos deben ser representativos.

  2. El tamaño de la muestra debe ser suficientemente grande.

Veamos cada una de ellas con un poco más de detalle.

Datos representativos

Al determinar el intervalo de confianza, debes asegurarte de que los datos de la muestra son realmente representativos de la población total. Si éste es el caso, suele mencionarse en el enunciado del problema. Sin embargo, si se indica explícitamente, deberás mencionarlo al comunicar tus conclusiones.

En el ejemplo sobre las vainas de cacao, no sabes cómo se recogen los datos. Por tanto, no puedes saber si los datos son representativos o no. Si haces algún análisis estadístico basado en estos datos, tendrás que decir algo como

No se da información sobre cómo se seleccionó la muestra. Por lo tanto, los resultados sólo son válidos si la muestra seleccionada era representativa del conjunto de la población.

Cuando el muestreo es aleatorio, las muestras pueden considerarse representativas de la población total.

Tamaño de la muestra requerido

El tamaño de la muestra debe ser lo suficientemente grande. Esto es así para que puedas utilizar el Teorema Central del Límite y suponer que la distribución es aproximadamente normal. Pero, ¿cómo sabes qué tamaño debe tener tu muestra? Hay una comprobación estándar que puedes hacer. Necesitas que tanto

\n\hat{p}\ge 10\]

y

n(1p^)10.

Esta condición implica que haya al menos 10 resultados positivos, así como un mínimo de 10 resultados negativos.

También puedes ver los términos "éxitos" y "fracasos" en lugar de "positivos" y "negativos".

Al igual que la mayoría de los estadísticos utilizan el nivel de confianza 95%, la mayoría también utilizará 10 para el número de resultados positivos y negativos. ¡Es de esperar que en realidad obtengas un número mucho mayor que 10!

En el ejemplo anterior con las vainas de cacao, ¿es el tamaño de la muestra suficientemente grande?

En una explotación de cacao, Indodo, el propietario de la explotación, tomó muestras de 20 vainas de cacao y se dio cuenta de que 8 de ellas estaban enfermas. Determina si el tamaño de la muestra es lo bastante grande para hallar un intervalo de confianza adecuado.

Solución:

Recuerda que la proporción de la población es p^=0,4. Por tanto

\[ n \hat{p} = (20)(0,4) = 8 \}]

y

\[ n (1 - \hat{p}) = (20)(0,6) = 12,\}].

Como np^<10, estos datos no cumplen los requisitos para determinar un intervalo de confianza adecuado. ¡Por eso el margen de error del ejemplo anterior era tan grande!

Veámoslo desde otra perspectiva.

Suponiendo que Indodo esté haciendo un muestreo aleatorio, y encuentre que \( \hat{p} = 0,4 \} cada vez, ¿de qué tamaño tiene que ser su muestra para decir que la muestra es suficientemente grande?

Solución:

  1. Está intentando encontrar el tamaño de muestra n que le dé tantonp^10comon(1p^)10.
  2. Usando p^=0,4, eso significa que necesitas0,4n10\n100,4n25.yn(10,4)10\n(0,6)10\n100,6n17.

Alelegir el mayor de los dos valores para n, Indo necesita muestrear al menos 25 vainas para asegurarse de que la muestra es lo bastante grande como para hallar un intervalo de confianza adecuado.

Ahora que sabes cuándo puedes hallar adecuadamente un intervalo de confianza para una proporción poblacional, veamos cómo hacerlo realmente.

La fórmula de los intervalos de confianza para una proporción de población

Para determinar el intervalo de confianza de una población, utiliza la fórmula

Extra close brace or missing open brace

donde

  • p^ es la proporción de población,

  • \es el valor crítico del nivel de confianza, y

  • n es el tamaño de la muestra.

Observa que esto es lo mismo que

proporción poblacional±margen de error.

En lugar de utilizar la fórmula de inmediato, veamos los pasos que seguirías para calcular realmente el intervalo de confianza.

Pasos para calcular el intervalo de confianza de una proporción poblacional

Cuando quieras hallar el intervalo de confianza para una proporción poblacional, sigue el proceso de 5 pasos para problemas de estimación, conocido por las siglas EMC3. Estos pasos se resumen como:

  1. E: Estimación - Explica qué característica de la población piensas estimar.

  2. M: Método - Decide qué método de inferencia estadística quieres utilizar.

    • Para utilizar los intervalos de confianza de un método de proporción poblacional, tu problema debe cumplir estos requisitos:

      • La pregunta te pide una estimación.

      • La situación implica el uso de datos muestrales.

      • El tipo de datos implicados es una variable categórica.

      • Sólo hay una muestra.

  3. C: Comprueba - Hay 2 condiciones que deben cumplirse para utilizar el intervalo de confianza de una proporción poblacional:

    • Los datos deben ser realmente representativos de la población y

    • El tamaño de la muestra debe ser suficientemente grande.

  4. C: Calcula - Utiliza la fórmula para calcular el intervalo de confianza.

  5. C: Comunica - Responde a la pregunta formulada en el problema, indicando lo que has aprendido de los datos y abordando los posibles riesgos o deficiencias.

Siguiendo con el ejemplo de la granja de cacao

Indodo ha decidido hacer otro muestreo de las mazorcas de cacao de su granja. Toma muestras de 100 de ellas, y descubre que 25 de ellas están enfermas. Basándose en esos datos, ¿qué puede averiguar sobre la proporción de mazorcas de cacao que están enfermas en toda la granja?

Solución:

  1. E: Estimación-Explica qué característica de la población piensas estimar.
    • Estimarás el valor de p^, la proporción de mazorcas de cacao enfermas en la granja.
  2. M: Método - Decide qué método de inferencia estadística quieres utilizar.

    • Porque

      • la pregunta te pide una estimación,

      • la situación implica el uso de datos muestrales

      • el tipo de datos implicados es una variable categórica, y

      • sólo hay una muestra,

      • puedes utilizar el método de los intervalos de confianza para una proporción poblacional.

    • Como el intervalo de confianza lleva asociado un nivel de confianza, tienes que especificar un nivel de confianza para el problema. No se da un nivel de confianza, así que utiliza un nivel de confianza de 95%.

  3. C: Comprobación - Para poder utilizar el intervalo de confianza de una proporción poblacional, deben cumplirse ciertas condiciones:

    1. Los datos deben ser realmente representativos de la población.

      • No se indica específicamente cómo eligió Indodo las vainas para la muestra, así que no sabes si los datos son representativos.
        • Eso significa que tendrás que suponer que los datos son representativos de la población e incluir una declaración sobre la falta de esta información cuando presentes los resultados.
    2. El tamaño de la muestra debe ser lo suficientemente grande.Para este ejemplo, un éxito se define como encontrar una vaina enferma. Puesto que ha muestreado 100 vainas, n=100 yExtra close brace or missing open bracePor tanto,Erroneous nesting of equation structures Como ambas comprobaciones del tamaño de muestra requerido son mayores o iguales que 10, el tamaño de la muestra es suficientemente grande.

  4. C: Calcula-Utiliza la fórmula para calcular el intervalo de confianza.
    1. El tamaño de la muestra es n=100.
    2. La proporción poblacional es p^=0,25.
    3. El nivel de confianza es 95%, por lo que el valor crítico del nivel de confianza es valor crítico=1,96.
    4. Halla el error típico.Extra close brace or missing open brace
    5. Halla el margen de error.Utilizando el valor crítico para el nivel de confianza 95%, el margen de error es:margen de error para 95%=(critical value)(standard error)=(1.96)(0.0433)0.084.
    6. Encuentra el intervalo de confianza.Ahora puedes construir el intervalo de confianza utilizando:p^±margen de error=0,25±0,085,por lo que el intervalo es:(0,250,085,0,25+0,085)=(0,165,0,335).
  5. C: Comunica - Responde a la pregunta formulada en el problema, indicando lo que has aprendido de los datos y abordando los posibles riesgos o deficiencias.
    1. En primer lugar, una declaración sobre el nivel de confianza.
      • El método utilizado para construir el intervalo de confianza garantizará que la proporción real de la población esté contenida en el intervalo de confianza aproximadamente 95% de las veces.
      • No se da información sobre cómo se seleccionó la muestra. Por lo tanto, los resultados sólo son válidos si la muestra seleccionada era representativa de la población total.
    2. A continuación, una declaración sobre los resultados en relación con el problema real.
      • Si la muestra se seleccionó razonablemente, puedes estar 95% seguro de que la proporción real de mazorcas de cacao enfermas está entre 0,165 y 0,335.
      • En términos de porcentajes, puedes estar seguro (95 %) de que el porcentaje real de mazorcas de cacao enfermas está entre (16,5 %) y (33,5 %).

¡Siempre vienen bien más ejemplos!

Ejemplos de intervalos de confianza para una proporción de población

Siempre ayuda ver los pasos utilizados, así que veamos algunos ejemplos de cálculo de intervalos de confianza y discutamos los resultados.

Estás estudiando los patrones de reubicación de los adultos estadounidenses de 21 años o más que se mudaron a su casa o a casa de amigos durante el año anterior. Has realizado una encuesta a 843 adultos estadounidenses de 21 años o más, y 62 de ellos declararon que el año anterior se habían ido a vivir con amigos o familiares. Basándote en estos datos, ¿qué puedes averiguar sobre la proporción de todos los adultos estadounidenses de 21 años o más que se fueron a vivir con amigos o familiares el año anterior?

Solución:

  1. E: Estimación - Explica qué característica de la población piensas estimar.

    • Vas a estimar el valor de p^, la proporción de adultos estadounidenses de 21 años o más que se han ido a vivir con amigos o familiares durante el año anterior.

  2. M: Método - Decide qué método de inferencia estadística quieres utilizar.

    • Porque

      • la pregunta te pide una estimación,

      • la situación implica el uso de datos muestrales

      • el tipo de datos implicados es una variable categórica, y

      • sólo hay una muestra,puedes utilizar los intervalos de confianza para un método de proporción poblacional.

    • Como el intervalo de confianza lleva asociado un nivel de confianza, tienes que especificar un nivel de confianza para el problema. No se da un nivel de confianza, así que utiliza un nivel de confianza de 95%.

  3. C: Comprobación - Para poder utilizar el intervalo de confianza de una proporción poblacional, deben cumplirse ciertas condiciones:

    1. Los datos deben ser realmente representativos de la población.

      • No se indica específicamente cómo se seleccionó la muestra, por lo que no sabes si los datos son representativos.
        • Eso significa que tendrás que suponer que los datos son representativos de la población e incluir una declaración sobre la falta de esta información cuando presentes los resultados.
    2. El tamaño de la muestra debe ser suficientemente grande.

      • Para este ejemplo, un éxito se define como un adulto que se muda con amigos o familiares. Dado que la muestra incluía 843 adultos, n=843 yExtra close brace or missing open braceAsí pues,np^=(843)(0,0735)&=6210\año.yn(1p^)=843(10,0735)&=843(0,9265)&=781,039510. Como ambas comprobaciones del tamaño de muestra requerido son mayores o iguales que 10, el tamaño de la muestra es suficientemente grande.

  4. C: Calcular - Utiliza la fórmula para calcular el intervalo de confianza.

    1. El tamaño de la muestra es n=843.
    2. La proporción poblacional es p^=0,0735.
    3. El nivel de confianza es 95%, por lo que el valor crítico del nivel de confianza es valor crítico=1,96.
    4. El intervalo de confianza es:Extra close brace or missing open brace Escrito en notación de intervalo, tienes:intervalo de confianza=(0,07350,0176,0,0735+0,0176)&=(0,0559,0,0911)
  5. C: Comunica - Responde a la pregunta formulada en el problema, indicando lo que has aprendido de los datos y abordando los posibles riesgos o deficiencias.

    • Intervalo de confianza:Si la muestra se seleccionó de forma que representara realmente a la población, puedes estar 95% seguro de que la proporción real de adultos estadounidenses de 21 años o más que volvieron a casa o se fueron a vivir con amigos durante el año anterior está entre 0,0559 y 0,0911.

    • Nivel de confianza:El método que has utilizado para determinar la estimación del intervalo consigue captar el valor real de la proporción poblacional aproximadamente 95% de las veces.No se da información sobre cómo se seleccionó la muestra. Por lo tanto, los resultados sólo son válidos si la muestra seleccionada era representativa de la población total.

Examina tu respuesta y la declaración de este ejemplo que acabas de concluir. Puedes hacer comparaciones con las conclusiones de tu siguiente ejemplo.

En un estudio en el que participaron 10.000 padres, el 40 % de los padres de entre 18 y 34 años crearon una cuenta en las redes sociales para sus bebés. Suponiendo que esta población es representativa, determina los intervalos de confianza para una proporción de población con niveles de confianza de 90%, 95% y 99%.

Solución:

  1. E: Estimación - Explica qué característica de la población piensas estimar.

    • Estás estimando el valor de p^, la proporción de padres de entre 18 y 34 años que crearon una cuenta en las redes sociales para sus bebés.

  2. M: Método - Decide qué método de inferencia estadística quieres utilizar.

    • Porque

      • la pregunta te pide una estimación,

      • la situación implica el uso de datos muestrales

      • el tipo de datos implicados es una variable categórica, y

      • sólo hay una muestra,puedes utilizar los intervalos de confianza para un método de proporción poblacional.

    • Se especificaron niveles de confianza de 90%, 95% y 99%.

  3. C: Comprobación - Hay 2 condiciones que deben cumplirse para utilizar el intervalo de confianza de una proporción poblacional:

    1. Los datos deben ser realmente representativos de la población.

      • Se te dijo que supusieras que la muestra de población es representativa.
        • Eso significa que, al presentar los resultados, tendrás que incluir una declaración sobre cómo los resultados sólo son válidos si la muestra seleccionada era representativa de la población total.
    2. El tamaño de la muestra debe ser suficientemente grande.

      • Para este ejemplo, un éxito se define como un padre que crea un perfil en las redes sociales para su bebé. Dado que la muestra incluía 10000 padres, n=10000 yExtra close brace or missing open bracePor tanto,np^=(10000)(0,4)&=400010yn(1p^)=10000(10,4)&=10000(0,6)&=600010.10 Como ambas comprobaciones del tamaño de muestra requerido son mayores o iguales que 10, el tamaño de la muestra es suficientemente grande.

  4. C: Calcular - Utiliza la fórmula para calcular el intervalo de confianza.

    1. El tamaño de la muestra es n=10000.
    2. La proporción poblacional es p^=0,4.
    3. Los niveles de confianza son
      • 90%, y el valor crítico de 90% es valor crítico=1,645.
      • \El valor crítico de 90% es 95%, y el valor crítico de 95% es 1,96.
      • \(99%), y el valor crítico de (99%) es (texto = valor crítico) = 2,58).
    4. Los intervalos de confianza son:
      • Para un nivel de confianza del 90%:Extra close brace or missing open brace Escrito en notación de intervalo, tienes:intervalo de confianza=(0,40,008,0,4+0,008)&=(0,392,0,408)
      • Para un nivel de confianza de 95%:Extra close brace or missing open brace Escrito en notación de intervalo, tienes:intervalo de confianza=(0,40,0096,0,4+0,0096)&=(0,3904,0,4096)
      • Para un nivel de confianza de 99%:Extra close brace or missing open brace Escrito en notación de intervalo, tienes:intervalo de confianza=(0,40,0126,0,4+0,0126)&=(0,3874,0,4126)
  5. C: Comunica - Responde a la pregunta formulada en el problema, indicando lo que has aprendido de los datos y abordando los posibles riesgos o deficiencias.

    • Intervalo de confianza:Suponiendo que la muestra sea realmente representativa de la población, para un nivel de confianza de 90%, el valor real debería estar entre 39,2% y 40,8%. Para un nivel de confianza del 95 %, el valor real debe estar entre 39,04 % y 40,96 %. Mientras tanto, para un nivel de confianza 99%, se espera que el valor real esté entre 38,74% y 41,26%.¿Qué puedes deducir del resultado anterior, que aplica tres niveles de confianza?

      • Puedes deducir que el nivel de confianza 90% tiene el intervalo más pequeño de 1,6% (de 40,8%39,2%), seguido de 95% con un intervalo de 2%, y por último, 99% con un intervalo de 2,6%.

      • Un menor tamaño del intervalo significa que estás más cerca del valor real; sin embargo, un menor nivel de confianza significa una menor seguridad de la exactitud o precisión con que se encuentra el valor real. Como ves, en la medida en que desees tener más seguridad (dada por el nivel de confianza 99%), preferirás que el intervalo sea lo más pequeño posible para que el intervalo se acerque más al valor real (dada por el nivel de confianza 90%). Por lo tanto, es RAZONABLEMENTE seguro confiar en el nivel de confianza 95%.

    • Nivel de confianza:El método que has utilizado para determinar la estimación del intervalo consigue captar el valor real de la proporción poblacional aproximadamente 90%, 95% o 99% de las veces, según el intervalo que decidas considerar.Se te dijo que supusieras que la muestra era realmente representativa de la población. Por lo tanto, los resultados sólo son válidos si la muestra seleccionada era realmente representativa de la población total.

Antes se te pidió que hicieras comparaciones entre los resultados de ambos ejemplos.

La principal comparación que hay que hacer es el tamaño del intervalo, incluso con el mismo nivel de confianza (95%).

  1. La respuesta del primer ejemplo tiene un tamaño de intervalo de 3,52, mientras que la del segundo ejemplo tiene un tamaño de intervalo de 2.

¿A qué crees que se debe este diferente tamaño del intervalo, aunque tengan el mismo nivel de confianza de 95%?

  1. Observarás que el primer ejemplo tiene un tamaño de muestra de 843 mientras que el del segundo tiene un tamaño de 10000. Sólo significa que cuanto mayor sea el tamaño de la muestra, más preciso será el valor real.

Aquí tienes otro ejemplo para mayor claridad.

María y su hermana gemela, Isabel, se embarcaron por separado en una encuesta aleatoria en la misma zona, que incluía la ayuda para construir una escuela piloto. Los intervalos de confianza de María para la proporción poblacional son (0,34,0,41), y los de Isabel son (0,37,0,39).

  1. ¿Qué explicación puede darse a la diferencia en los intervalos de confianza, incluso dentro de la misma área?
  2. ¿Cuál de los dos intervalos de confianza tiene mayor precisión?
  3. Suponiendo que ambos tuvieran un nivel de confianza de 95%, determina qué resultado se derivó de un tamaño de muestra más pequeño con razones.
  4. Suponiendo que ambos hubieran utilizado el mismo tamaño de muestra, determina quién habría utilizado un nivel de confianza mayor y justifícalo.

Solución:

  1. Aunque ambas personas habían trabajado en la misma zona de muestreo, hay varios factores que pueden afectar a la uniformidad de sus resultados.
    1. En primer lugar, podrían haber trabajado con tamaños de muestra diferentes. Recuerda que un mayor tamaño de la muestra implicaría un menor margen de error. Por tanto, la diferencia de intervalo sería menor.
    2. Otro factor es el nivel de confianza. Si se utiliza un nivel de confianza más alto, incluso con el mismo tamaño de población, el límite entre los intervalos sería más amplio, lo que significaría una menor precisión. Sin embargo, un nivel de confianza más bajo daría una frontera más pequeña entre los intervalos, lo que significa más precisión, pero a expensas del nivel de seguridad.
  2. A partir de los intervalos, se calcularía el tamaño del límite para determinar el grado de precisión.En el caso de María:0,410,34=0,07En el caso de Isabel:0,390,37=0,02.
    • Sabiendo que un tamaño de frontera menor significa una mayor precisión, puedes decir que el resultado de Elizabeth es más preciso.
  3. Si ambos realizaron su encuesta con un nivel de confianza de 95%, entonces el tamaño de la muestra se convierte en la única base sobre la que se determina la precisión. Un mayor tamaño de la muestra significaría más precisión debido al menor margen de error. Como el resultado de Isabel tiene más precisión, significa que trabajó con un tamaño de muestra mayor que el de María.
    • Por lo tanto, el tamaño de la muestra de María era menor.
  4. Si ambas realizaron su encuesta con el mismo tamaño de muestra, el nivel de confianza se convierte en la única base para determinar la precisión. Si el resultado de Isabel es más preciso, significa que se utilizó un límite de confianza más bajo.
    • Por lo tanto, María habría utilizado un nivel de confianza más alto.

Por tanto, "cuanto mayor sea el tamaño de la muestra, mayor será la precisión".

Intervalos de confianza para una proporción de población - Aspectos clave

  • Un intervalo de confianza para una proporción poblacional puede describirse como el nivel de certeza de que la proporción poblacional real o efectiva se encuentra dentro de un intervalo estimado de valores.
  • \Para determinar el intervalo de confianza de una proporción de población, deben cumplirse dos condiciones principales:
    1. Los datos deben ser realmente representativos de la población y
    2. El tamaño de la muestra debe ser suficientemente grande.
  • La fórmula utilizada para hallar el intervalo de confianza de una proporción poblacional es

    Extra close brace or missing open brace

    donde

    • p^ es la proporción de población,

    • \es el valor crítico del nivel de confianza, y

    • n es el tamaño de la muestra.

  • El nivel de confianza varía, pero el nivel de confianza 95% es más popular entre los estadísticos.
  • Los pasos a seguir para hallar el intervalo de confianza de una proporción poblacional siguen los pasos de EMC3:
    1. E: Estimación - Explica qué característica de la población piensas estimar.
    2. M: Método - Decide qué método de inferencia estadística quieres utilizar.

      • Para utilizar el método de los intervalos de confianza para una proporción poblacional, tu problema debe cumplir estos requisitos:

        • La pregunta te pide una estimación.

        • La situación implica el uso de datos muestrales.

        • El tipo de datos implicados es una variable categórica.

        • Sólo hay una muestra.

    3. C: Comprueba - Hay 2 condiciones que deben cumplirse para utilizar el intervalo de confianza de una proporción poblacional:

      1. Los datos deben ser realmente representativos de la población y

      2. El tamaño de la muestra debe ser suficientemente grande.

    4. C: Calcula - Utiliza la fórmula para calcular el intervalo de confianza.
    5. C: Comunica - Responde a la pregunta formulada en el problema, indicando lo que has aprendido de los datos y abordando los posibles riesgos o deficiencias.
Preguntas frecuentes sobre Intervalos de Confianza para una Proporción Poblacional
¿Qué es un intervalo de confianza para una proporción poblacional?
Un intervalo de confianza para una proporción poblacional es un rango de valores que estima una proporción verdadera en una población basada en datos muestrales.
¿Cómo se calcula un intervalo de confianza para una proporción poblacional?
Para calcularlo, se utiliza la fórmula: p ± Z * √(p(1-p)/n), donde p es la proporción muestral, Z es el valor Z para el nivel de confianza y n es el tamaño de la muestra.
¿Qué representa el nivel de confianza en un intervalo de confianza?
El nivel de confianza representa la probabilidad de que el intervalo contenga la proporción verdadera de la población. Comúnmente se usa 95% o 99%.
¿Por qué es importante usar intervalos de confianza?
Es importante porque proporcionan una manera de estimar la proporción verdadera de la población con un grado de certeza, en lugar de dar un único valor punto.
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.

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