Este proceso se denomina obtener una media muestral y en este artículo encontrarás la definición, cómo calcular una media muestral, la desviación típica, la varianza, la distribución muestral y ejemplos.
Definición de las medias muestrales
La media de un conjunto de números no es más que la media, es decir, la suma de todos los elementos del conjunto dividida por el número de elementos del conjunto.
La media muestral es la media de los valores obtenidos en la muestra.
Es fácil ver que si dos conjuntos son diferentes, lo más probable es que también tengan medias diferentes.
Cálculo de las medias muestrales
La media muestral se denota por \(\overline{x}), y se calcula sumando todos los valores obtenidos de la muestra y dividiéndolos por el tamaño total de la muestra \(n\). El proceso es el mismo que promediar un conjunto de datos. Por tanto, la fórmula es \[\overline{x}=\frac{x_1+\ldots+x_n}{n},\].
donde \(\overline{x}\) es la media muestral, \(x_i\) es cada elemento de la muestra y \(n\) es el tamaño de la muestra.
Volvamos al ejemplo de San Francisco. Supongamos que preguntas a \(5\) de tus conocidos cuánto gastan en transporte público a la semana, y te dicen \(\$20\$), \(\$25\$), \(\$27\$), \(\$43\$) y \(\$50\$). Por tanto, la media muestral se calcula mediante
\[\overline{x}=\frac{20+25+27+43+50}{5}=\frac{165}{5}=33.\]
Por tanto, para esta muestra, la cantidad media gastada en transporte público en una semana es de \(33\$).
Desviación típica y varianza de la media de la muestra
Como la varianza es el cuadrado de la desviación típica, para calcular cualquiera de los dos valores hay que considerar dos casos:
1. 1. Conoces la desviación típica de la población.
2. 2. No conoces la desviación típica poblacional.
En el apartado siguiente se muestra cómo calcular este valor para cada caso.
La fórmula de la media y la desviación típica para las medias muestrales
La media de la media muestral, denotada por \(\mu_sobrelínea{x}), viene dada por la media poblacional, es decir, si \(\mu\) es la media poblacional, \[\mu_sobrelínea{x}=\mu.\].
Para calcular la desviación típica de la media muestral (también llamada error típico de la media (EEM)), denotada por \(\sigma_sobrelínea{x}), hay que considerar los dos casos anteriores. Explorémoslos sucesivamente.
Cálculo de la desviación típica media muestral a partir de la desviación típica poblacional
Si la muestra de tamaño \(n\) se extrae de una población cuya desviación típica \(\sigma\) es conocida, entonces la desviación típica de la media muestral vendrá dada por \[\sigma_sobrelínea{x}=\frac{\sigma}{cuadrado{n}}.
Se ha tomado una muestra de \(81\) personas de una población con desviación típica \(45\), ¿cuál es la desviación típica de la media muestral?
Solución:
Utilizando la fórmula anterior, la desviación típica de la media muestral es \[\sigma_overline{x}=\frac{45}{\sqrt{81}}=\frac{45}{9}=5,\].
Ten en cuenta que para calcularlo no necesitas saber nada de la muestra, aparte de su tamaño.
Cálculo de la desviación típica media muestral sin utilizar la desviación típica poblacional
A veces, cuando quieres estimar la media de una población, no tienes más información que los datos de la muestra que has tomado. Afortunadamente, si la muestra es lo suficientemente grande (mayor que \(30\)), la desviación típica de la media muestral puede aproximarse utilizando la desviación típica muestral. Así, para una muestra de tamaño \(n\), la desviación típica de la media muestral es \[\sigma_\overline{x}\approx\frac{s}{\sqrt{n},\}] donde \(s\) es la desviación típica muestral (para más información, consulta el artículo Desviación típica) calculada mediante:
\[s=\sqrt{\frac{(x_1-\overline{x})^2+\ldots+(x_n-\overline{x})^2}{n-1}},\]
donde \(x_i\) es cada elemento de la muestra y \(\overline{x}\) es la media muestral.
❗❗ La desviación típica muestral mide la dispersión de los datos dentro de la muestra, mientras que la desviación típica de la media muestral mide la dispersión entre las medias de distintas muestras.
Distribución muestral de la media
Recuerda la definición de distribución muestral.
La distribución de la media muestral (o distribución muestral de la media) es la distribución que se obtiene considerando todas las medias que pueden obtenerse a partir de muestras de tamaño fijo en una población.
Si \(\overline{x}\) es la media muestral de una muestra de tamaño \(n\) de una población con media \(\mu\) y desviación típica \(\sigma\). Entonces, la distribución muestral de \(\overline{x}) tiene una media y una desviación típica dadas por \[\mu_\overline{x}=\mu,\text{ y },\sigma_overline{x}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}.\}.
Además, si la distribución de la población es normal o el tamaño de la muestra es suficientemente grande (según el Teorema del Límite Central, \(n\geq 30\) es suficiente), entonces la distribución muestral de \(\overline{x}\) también es normal.
Cuando la distribución es normal, puedes calcular las probabilidades utilizando la tabla de distribución normal estándar, para ello tienes que convertir la media muestral de \(\sobrelínea{x}) en una puntuación \(z\)-mediante la siguiente fórmula
\[z=\frac{\overline{x}-\mu_\overline{x}}{\sigma_\overline{x}}=\frac{\overline{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}.\]
Quizá te preguntes qué ocurre cuando la distribución de la población no es normal y el tamaño de la muestra es pequeño. Por desgracia, para esos casos, no existe una forma general de obtener la forma de la distribución muestral.
Veamos un ejemplo de gráfico de una distribución muestral de la media.
Volviendo al ejemplo del transporte público en San Francisco, supongamos que has conseguido encuestar a miles de personas, has agrupado a las personas en grupos de tamaño \(10\), has hecho la media en cada grupo y has obtenido la siguiente gráfica.
Figura 1. Histograma de frencuencia relativa de 360 medias muestrales para el ejemplo del transporte público
Este gráfico se aproxima al gráfico de la distribución muestral de la media. Basándote en el gráfico, puedes deducir que en San Francisco se gasta una media de \($37\) en transporte público.
Ejemplos de medias muestrales
Veamos un ejemplo de cálculo de probabilidades.
Se supone que la distribución de la temperatura corporal humana tiene una media de \(98,6\, °F\) con una desviación típica de \(2\, °F\). Si se toma al azar una muestra de \(49\) personas, calcula las siguientes probabilidades:
(a) que la temperatura media de la muestra sea inferior a \(98\), es decir, \(P(\overline{x}<98)\).
(b) la temperatura media de la muestra es superior a \(99\), es decir, \(P(\sobrelínea{x}>99)\).
(c) la temperatura media está entre \(98\) y \(99\), es decir, \(P(98<overlínea{x}<99)\).
Solución:
1. Como el tamaño de la muestra es \(n=49>30\), puedes suponer que la distribución muestral es normal.
2. Calcula la media y la desviación típica de la media muestral. Utilizando las fórmulas anteriores, \(\mu_overline{x}=98,6\) y la desviación típica \(\sigma_overline{x}=2/\sqrt{49}=2/7\).
3. Convirtiendo los valores en puntuaciones \(z-\)y utilizando la tabla normal estándar (para más información, consulta el artículo Distribución normal estándar), tendrás para (a)
\[\iniciar{alinear} P(x<98) &=P(z<frac{98-98,6}{\frac{2}{7}}derecha) &= P(z<-2,1) &=0,0179. \end{align}\]
Para (b) tendrás
\[\begin{align} P(x>99) &=P(z>frac{99-98,6} {{frac{2}{7}}derecha) &= P(z>1,4) &=1-P(z<1,4) &=1-0,9192 &= 0,0808. \end{align}\]
Por último, para (c)
\[\iniciar{align} P(98<overline{x}<99) &=P(\overline{x}<99)-P(\overline{x}<98) \\= P(z<1,4)-P(z<-2,1) \= 0,9192-0,0179 \=0,9013. \end{align}\]
Media muestral - Puntos clave
- La media muestral te permite estimar la media poblacional.
- La media muestral \(\overline{x}) se calcula como una media, es decir, \[\overline{x}=\frac{x_1+\ldots+x_n}{n},\] donde \(x_i\) es cada elemento de la muestra y \(n\) es el tamaño de la muestra.
- La distribución muestral de la media \(\overline{x}) tiene una media y una desviación típica dadas por \[\mu_\overline{x}=\mu,\text{ y },\sigma_\overline{x}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}.\}.
- Cuando el tamaño de la muestra es superior a \(30\), según el Teorema del Límite Central, la distribución muestral de la media es similar a una distribución normal.
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