Así que coge tu calculadora y vamos a sumergirnos en el mundo de las medidas de tendencia central. Sigue leyendo para saber más.
¿Qué es la tendencia central?
Una medida de tendencia central intenta describir un conjunto de datos mediante un valor singular. Este valor singular pretende representar el punto central o valor típico de un conjunto de datos.
Hay tres medidas de tendencia central que debemos conocer:
- la media (también denominada promedio),
- la mediana y
- la moda
La media como medida de tendencia central
La media representa el valor medio de un conjunto de datos.
El proceso para hallar la media consiste en sumar todos los valores del conjunto de datos y dividirlo por el número de puntos de datos. La media suele representarse con la letra griega \(\mu\), pronunciada /mi/:
\[\frac{valor_1 + valor_2 + valor_3 +...+ valor_n}{n}].
También se puede expresar con la siguiente ecuación:
\[\frac{\sum^{n}_{i=1} x_i}{n}\]
Esto significa que todos los valores (representados con x) empezando por el valor número 1 (i = 1) se sumarán hasta llegar al valor n, y entonces este número se dividirá por n (el número total de valores).
i = 1 no significa que sólo se cuenten los valores que empiezan por 1, sino que la suma empieza en el primer valor. El primer valor, dependiendo de cómo esté ordenada la lista de números, puede ser 1 o cualquier otro valor.
La media es una de las medidas de tendencia central más utilizadas en el análisis de datos y suele emplearse para resumir conjuntos de datos. Sin embargo, la media puede verse influida por valores extremos en el conjunto de datos, conocidos como valores atípicos, que pueden sesgar los resultados. En tales casos, pueden ser más apropiadas otras medidas de tendencia central, como la mediana o la moda.
Halla el valor medio de las precipitaciones de los días indicados a continuación
Día | 1 | 2 | 3 | 5 | 9 | 10 | ||||
Precipitaciones (mm) | 10 | 0 | 5 | 2 | 29 | 1 |
Solución
La media viene dada por la suma de todos los valores dividida por el número de valores.
\frac {{suma^{n}_{i=1} x_i}{n} = \frac {{suma^{10}_{i=1} valor_i}{10} = (\frac{10 + 12 + 0 + 5 + 17 + 2 + 29 + 1 + 4 + 14)}{1}0 = \frac{94}{10} = 9,4 mm\}].
La mediana como medida de tendencia central
La mediana es una medida de tendencia central que representa el valor que separa la mitad superior de la mitad inferior de un conjunto de datos. Si el conjunto de datos tiene un número par de valores, la mediana es la media de los dos valores medios.
Cuando tenemos un conjunto de datos que puede ordenarse de alguna manera, podemos hallar la mediana. El proceso para hallar la mediana es el siguiente:
- Ordena los datos, de menor a mayor.
- Si el número de puntos de datos es impar, el número del medio es la mediana, lo que significa que tomamos el valor \((\frac{n+1}{2})^{ésimo}).
- Si el número de puntos de datos es par, tomamos el valor medio de los dos valores centrales. Es decir, tomamos la media del valor \((\frac{n}{2})^{ésimo}) y \((\frac{n+2}{2})^{ésimo}).
- Halla la mediana de los siguientes datos.
12, 3, 4, 7, 19, 13, 4, 8, 81
Solución
Lo primero que tenemos que hacer es ordenar los datos de menor a mayor, y esto da como resultado
3, 4, 4, 7, 8, 12, 13, 19, 81
Como esto tiene un número impar de puntos de datos, la mediana es el número medio del conjunto de datos ordenados, lo que da una mediana de 8.
A continuación se dan las estaturas de 30 niños de una clase (la altura se da en cm). Halla la altura mediana.
168, 172, 151, 145, 181, 162, 174, 159, 149, 180, 164, 171, 150, 143, 189, 167, 176, 156, 144, 186, 166, 177, 153, 140, 184, 163, 178, 158, 149, 187.
Solución
En primer lugar, debemos ordenar los datos de menor a mayor. Obtenemos
140, 143, 144, 145, 149, 149, 150, 151, 153, 156, 158, 159, 162, 163, 164, 166, 167, 168, 171, 172, 174, 176, 177, 178, 180, 181, 184, 186, 187, 189.
Como treinta es par, para hallar la mediana hallamos la media de los valores decimoquinto y decimosexto. El decimoquinto valor es 164, y el decimosexto valor es 166. La media de estos valores es \(\frac{164+166}{2} = 165\), lo que significa que el valor mediano es 165.
La moda como medida de tendencia central
La moda es una medida de tendencia central que representa el valor más frecuente de un conjunto de datos. Suele utilizarse en combinación con la media y la mediana para ofrecer una imagen completa de un conjunto de datos. Un conjunto de datos puede tener varias modas si hay dos o más valores que aparecen con la misma frecuencia. La moda es una estadística útil para identificar el valor más común de un conjunto de datos, y puede ser especialmente informativa en situaciones en las que los datos son discretos (es decir, consisten en números enteros o categorías) en lugar de continuos (es decir, consisten en un rango de valores).
La moda de un conjunto de datos es el valor más común del conjunto de datos. Si hay dos o más valores que son los más comunes, ambos valores son la moda.
Encuentra la moda del siguiente conjunto de datos.
1, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 6, 7
Solución
La moda aquí sería 6, ya que aparece cuatro veces, lo que lo convierte en el valor más común.
Encuentra la moda de los siguientes números.
1, 2, 2, 3, 3, 3, 5, 7, 7, 7, 9, 11, 134
Solución
Tanto el 3 como el 7 aparecen tres veces, lo que hace que ambos sean el valor más común, lo que significa que la moda es 3 y 7.
Elegir las medidas de tendencia central adecuadas
Cada medida de tendencia central tiene sus propias ventajas e inconvenientes.
En el caso de la media, las ventajas son que utiliza todos los datos y, por tanto, es representativa de todos ellos. Sin embargo, utilizar la media tiene desventajas. Está desproporcionadamente influida por los valores extremos, que pueden desvirtuar la media. La media tampoco puede utilizarse si nuestros datos no son numéricos, y es la que requiere más cálculos de todas nuestras medidas de tendencia central.
Para la moda, las ventajas son que podemos hallar la moda de un conjunto de datos, ya sean numéricos o de otro tipo. Además, el cálculo es limitado, ya que sólo tenemos que contar los datos, lo que significa que si nuestros datos vienen precontabilizados, esto ayuda a la moda. Sin embargo, un inconveniente es que el modo no existe necesariamente. Además, podemos tener múltiples modos, lo que no nos ayuda a describir mucho sobre el conjunto de datos. Además, la moda no tiene en cuenta el conjunto completo de datos.
Nuestra última medida de tendencia central es la mediana. Las ventajas son que la mediana no se ve afectada por ningún valor atípico o extremo, y tenemos que hacer muy pocos cálculos. Por otro lado, requiere que ordenemos el conjunto de datos, lo que, en el caso de grandes conjuntos de datos, es largo y requiere mucho tiempo. Además, no tiene en cuenta el conjunto completo de datos, lo que puede dar lugar a resultados débiles.
Medidas de tendencia central - Puntos clave
Para hallar la media, sumamos todos los valores del conjunto de datos y los dividimos por el número de puntos de datos.
La fórmula de la media es \frac{{suma^{n}_{i=1} x_i\}{n}].
La moda es el valor más común de un conjunto de datos.
La mediana es el valor central del conjunto de datos.
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