¿Qué son las medidas de tendencia central?
Las medidas de tendencia central describen algunas características clave del conjunto de datos basadas en los valores medios o medios, ya que describen el centro de los datos. Las medidas de tendencia central que vamos a estudiar son la media, la moda y la mediana.
Media
La media, también llamada promedio matemático de un conjunto de datos dado, puede hallarse sumando todos los valores del conjunto de datos y dividiéndolos por el número de valores. Podemos utilizar una fórmula matemática para describirlo: \(\mu = \frac{\Sigma x}{n}) donde \(\mu\) se utiliza para representar la media.
Tenemos las puntuaciones de un cuestionario realizado por alumnos de matemáticas de6º curso. Son 76, 89, 45, 50, 88, 67, 75, 83. ¿Cuál es la puntuación media?
Respuesta:
\(\mu = \frac{{Sigma x}}{n}})
La fórmula anterior significa que sumaremos todas las puntuaciones y luego dividiremos la suma por el número de puntuaciones disponibles.
\(\Sigma x = 76 + 89 + 45 + 50 + 88 + 67 + 75 + 83 = 573\), n = 8.
Como hay 8 puntuaciones disponibles, dividiremos nuestra suma por 8.
\(\mu = \frac{573}{8}\})
Modo
La moda es el valor que aparece con más frecuencia en un conjunto de datos. A veces tendrás un conjunto de datos en el que esto describe más de un valor. En este caso, todos ellos se consideran la moda.
Encuentra la moda del conjunto de datos dado 6, 9, 3, 6, 6, 5, 2, 3.
Contesta:
Disponer estos valores en orden ascendente te ayudará a identificar cuál es el que más se da.
2, 3, 3, 5, 6, 6, 6, 9
Es evidente que el 6 es el número que aparece con más frecuencia, por lo que la moda es el 6.
Median
La mediana es el valor del punto medio de un conjunto de datos determinado. En los casos en que los valores del punto medio son dos (cuando el número de puntos de datos es par), tienes que hallar la media de ambos valores medios. Al hallar la mediana, conviene reordenar los valores en orden ascendente. Toma el valor \(\frac{n+1}{2}) si el número de puntos de datos es impar. Si el número es par, toma el valor \(\frac{n}{2}\) y el valor \(\frac{n+2}{2}\).
Se recogieron las edades de 12 alumnos de 11º curso, y los valores son los siguientes: 15, 21, 19, 19, 20, 18, 17, 16, 17, 18, 19, 18. Halla la mediana de edad.
Contesta:
Ordena estos valores de forma ascendente:
15, 16, 17, 17, 18, 18, 18, 19, 19, 19, 20, 21
Como el número de puntos de datos es par, tendremos dos números medios, que son ambos 18. Por tanto, la mediana es 18.
A continuación se dan las puntuaciones de un examen realizado por 7 estudiantes. Halla la puntuación mediana.
87, 56, 78, 66, 73, 71, 79
Responde:
Reordena los números de menor a mayor.
56, 66, 71, 73, 78, 79, 87
El número de puntos de valor es impar, por lo que el número del medio se convierte en la puntuación mediana.
Mediana = 73
¿Qué son las medidas de dispersión?
Las medidas de dispersión son medidas estadísticas que describen la similitud y variedad de los valores de determinados conjuntos de datos. Confiar únicamente en las medidas de tendencia central como descripción resumida de los conjuntos de datos puede ser muy engañoso, ya que no tiene en cuenta los valores extremos. Las medidas de dispersión nos ayudan a hacerlo, incluyendo el rango, la varianza y la desviación típica.
Gama
El rango es la diferencia entre los valores máximo y mínimo de un determinado conjunto de datos. Te ayuda a conocer la amplitud de los datos. Para hallar el rango, el valor más bajo de los datos se resta del valor más alto.
Halla el intervalo de edades de los 12 alumnos de una clase. Estos son tus datos 15, 21, 19, 19, 20, 18, 17, 16, 17, 18, 19, 18.
Respuesta:
Valor más alto = 21
Valor más bajo = 15
Rango = valor más alto - valor más bajo
Rango = 21-15
Rango = 6
Sin embargo, el alcance tiene algunas limitaciones:
Le afectan los valores atípicos.
No puede utilizarse para una distribución abierta.
Cuartiles y rango intercuartílico
Un cuartil es un tipo de cuantil que divide un conjunto ordenado de datos en cuatro partes (trimestres). Un cuartil no es el conjunto de números que se han dividido. Es el punto de corte en la división.
El rango intercuartílico es la diferencia entre el valor del cuartil superior y el del cuartil inferior.
Para hallar el cuartil de un conjunto de datos dado, puedes proceder como sigue:
Ordena los valores en orden ascendente.
Encuentra la mediana. Siempre se denomina segundo cuartil (Q2).
Busca ahora la mediana de las dos mitades del conjunto de datos. La mitad inferior se denomina Q1, y la mitad superior Q3.
Halla el rango intercuartílico (RIQ) restando Q1 de Q3.
Halla el rango intercuartílico de los datos dados 6, 9, 3, 6, 6, 5, 2, 3, 8.
Contesta:
Reordena los valores de menor a mayor.
2, 3, 3, 5, 6, 6, 6, 8, 9
Encuentra la mediana
La mediana es 6.
Q2 = 6
Halla la mediana de las dos mitades, que son: 2, 3, 3, 5 | 6, 6, 8, 9
Para la primera parte, tenemos 3 como mediana. Q1= 6
En el segundo paso, tendremos que sumar ambos valores medios y dividirlos por 2.
\(\frac{6 +8}{2} = 7\)
Q3 = 7
Halla el rango intercuartílico.
\(\begin{align}IQR &= Q_3 - Q_1 \\\\\= 7 -3 \\= 4 \end{align}\)
Varianza y desviación típica
La varianza y la desviación típica son medidas de variabilidad. La varianza es la medida de cómo varían los puntos de datos respecto a la media, y la desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza. Lo que esto nos dice es que la desviación típica se deriva de la varianza.
La varianza se denota por \(\sigma^2\)
La desviación típica se denota por \(\sigma\).
Fórmula de la desviación
La fórmula de la varianza de la población es \(\sigma^2 = \frac{\Sigma(x_1 - \mu )^2}{N}\)
Donde \(\sigma^2\) = varianza poblacional
N = tamaño de la población
xi = cada valor de la población
\(\mu\) = la media de la población.
La fórmula de la varianza muestral es \(s^2 = \frac {\Sigma(x_i - \bar{x})^2}{n-1}\)
Donde s2 = varianza de la muestra
n = tamaño de la muestra
xi = cada valor de la muestra
\(\bar{x}\) = la media muestral.
Fórmula de la desviación típica
La fórmula de la desviación típica poblacional viene dada por \(\sigma = \sqrt{{frac{{Sigma(x_i - \mu)^2}{N}})
Donde \(\sigma\) = desviación típica de la población.
N = tamaño de la población.
xi = cada valor de la población.
\(\mu\) = la media de la población.
La fórmula de la desviación típica muestral viene dada por \(s = \sqrt {\frac{{Sigma(x_i - \bar {x})^2}{n-1}})
Donde s = desviación típica de la muestra.
n = tamaño de la muestra.
xi = cada valor de la muestra.
\(\bar{x}\) = la media de la muestra.
Calcula la desviación típica de las siguientes puntuaciones en un examen de Matemáticas realizado por alumnosde 6º curso: 82, 93, 98, 89, 88.
Contesta:
Lo primero que tienes que hacer es hallar la media de la muestra:
\(\bar{x} = \frac{\Sigma x}{n})
\(\bar{x} = \frac {82+93+98+89+88}{5} = \frac{450}{5})
\(\bar{x} = 90\)
Así pues, la fórmula que vamos a utilizar aquí es \(s = \sqrt{\frac{{Sigma(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}, ya que las puntuaciones disponibles son sólo una muestra de toda la población de alumnos que hicieron el examen.
Podemos construir una tabla para descomponer la fórmula y calcularla adecuadamente.
| xi | \(x_i - \bar{x}\) | \((x_i - \bar{x})^2\) |
82 | 64 | |
93 | 3 | 9 |
98 | 64 | |
89 | -1 | 1 |
88 | -2 |
Según la fórmula, tendremos que sumar \((x_i - \bar{x})^2\), que es la última columna de nuestra tabla.
Medidas estadísticas - Puntos clave
- Las Medidas Estadísticas son una técnica de análisis descriptivo utilizada para ofrecer un resumen de las características de un conjunto de datos.
- Las medidas de tendencia central describen algunas características clave del conjunto de datos basándose en los valores medios o medios, ya que describen el centro de los datos.
- Las tres principales medidas de tendencia son la media, la moda y la mediana.
- La media es la medida de tendencia central más común y su fórmula es \(\mu = \frac{{Sigma x}{n}\).
- Las medidas de dispersión son medidas estadísticas que describen la similitud y variedad de valores de determinados conjuntos de datos.
- La desviación típica es una medida de la cantidad de variación o dispersión de un conjunto de valores.
- La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.
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