Así, para cualquier conjunto de datos, puedes saber qué porcentaje de los datos se encuentra en una sección concreta del gráfico. En concreto, el porcentaje que más te interesará es el porcentaje de los datos que está por debajo del valor deseado, lo que se conoce comúnmente como percentil.
En este artículo, aprenderemos más sobre los porcentajes y percentiles de una distribución normal.
Significado de los percentiles de una distribución normal
Una distribución normal es una distribución de probabilidad en la que los datos se distribuyen en torno a la media simétricamente para parecerse a una curva en forma de campana, que a veces se denomina curva de densidad.
Las distribuciones normales suelen ser más adecuadas para grandes conjuntos de datos. Muchos datos naturales, como las notas de los exámenes o la masa de los organismos, tienden a seguir un patrón cercano a una distribución normal.
La curva de distribución normal que se muestra en el gráfico siguiente, muestra que la mayoría de los datos se agrupan en torno al centro del gráfico, justo donde se encuentra la media.
A continuación, el gráfico se estrecha hacia los extremos izquierdo y derecho, para mostrar una parte más pequeña de los datos alejados de la media. La mitad de los datos están por debajo de la media y la otra mitad por encima de la media, por lo que la media es también la mediana de los datos. El punto más alto del gráfico se encuentra también en la mitad del gráfico, por lo tanto, es donde está la moda.
Así pues, para una distribución normal, la media, la mediana y la moda son iguales.
Además, la curva está dividida en trozos por las desviaciones típicas. El área bajo la curva de la distribución normal representa el 100% de los datos. Para una distribución normal estándar, esto significa que el área bajo la curva es igual a 1.
Se asigna un porcentaje específico de los datos a cada desviación típica de la media en una distribución normal. Estos porcentajes específicos se denominanRegla Empírica de la Distribución Normal ,
- Aproximadamente el 68% de los datos caen dentro de 1 desviación típica de la media.
- Aproximadamente el 95% de los datos están dentro de 2 desviaciones típicas de la media.
- Aproximadamente el 99,7% (¡casi todos los datos!) están dentro de las 3 desviaciones típicas de la media.
A veces se denomina "Regla 68-95-99,7".
Distribución Normal Estándar con porcentajes de desviación estándar.
Esos porcentajes son muy útiles para conocer información sobre la distribución de los datos. Pero uno de los datos más importantes que hay que conocer sobre un valor de los datos en una distribución normal, es qué porcentaje de los datos es mayor o menor que un valor específico, llamado percentil.
El percentil de una distribución normal es un valor que tiene por debajo un porcentaje específico de los datos observados.
En el caso de un examen estandarizado como el GRE, recibirías tanto tu puntuación en el examen como el porcentaje de personas que se examinaron por debajo de tu puntuación. Esto te indica dónde se encuentra un determinado valor de los datos, aquí tu puntuación, en relación con el resto de los datos, comparando con las puntuaciones de los examinados.
Tu puntuación se denomina percentil.
El percentil es una medida acumulativa, es la suma de todos los tramos de porcentajes por debajo de ese valor. Muchas veces, el percentil de un valor se indica junto al propio valor.
Distribución normal Percentil de la media
Como ya se ha dicho en el párrafo anterior, la media de la curva de distribución normal se encuentra justo en su centro. Por tanto, la curva distribuye los datos simétricamente en torno a la media, es decir, el 50% de los datos están por encima de la media y el 50% de los datos están por debajo de la media. Esto significa que la media es el percentil 50 de los datos.
Para una probabilidad de distribución normal, el percentil de la media de la distribución normal es el percentil 50.
Tomemos el siguiente ejemplo para entenderlo mejor.
Si obtuvieras la puntuación media en un examen estandarizado, tu informe de resultados diría que te encuentras en el percentil 50. Eso puede sonar mal al principio, ya que suena como si hubieras obtenido un 50% en el examen, pero simplemente te está diciendo dónde caes en relación con todos los demás examinados.
El percentil 50 haría que tu puntuación fuera perfectamente media.
¿La desviación típica también tiene un percentil propio? ¡Vamos a averiguarlo en el siguiente párrafo!
Distribución normal Percentil de la desviación típica
Una muy buena pregunta que uno puede hacerse es la siguiente, ¿cuál es el percentil de cada desviación típica?
Bien, sabiendo que la media es el percentil 50, y recordando qué representa cada porcentaje en cada sección del gráfico de la distribución normal, puedes averiguar el percentil en cada desviación típica.
Para 1 des viación típica por encima de la media, es decir, a la derecha de la media, halla el percentil sumando el 34,13% por encima de la media al 50% para obtener el 84,13%. Normalmente, para el percentil, se redondea al número entero más próximo.
Así, 1 desviación típica es aproximadamente el percentil 84.
Si quisieras hallar el percentil de 2 desviaciones típicas, seguirías sumando los porcentajes a la derecha de la media hasta el 50%. Por tanto, el percentil de la segunda desviación típica es el 13,59% y el 34,13% sumado al 50%, te da el 97,72%, o sea, aproximadamente el percentil 98.
Y, por tanto, 2 desviaciones típicas son aproximadamente el percentil 98%.
Para hallar el percentil de una desviación típica por debajo de la media, es decir, a la izquierda de la media, resta el porcentaje de la desviación típica al 50%.
Para 1 desviación típica por debajo de la media, halla el percentil restando el 34,13% del 50% para obtener el 15,87%, o aproximadamente el percentil 16.
Puedes restar el siguiente porcentaje de desviación típica para hallar el percentil de 2 desviaciones típicas por debajo de la media, 15,87% - 13,59% es 2,28%, o aproximadamente el 2º percentil.
El siguiente gráfico de distribución normal muestra el porcentaje correspondiente que se encuentra por debajo de cada desviación típica.
Fig. 1. Distribución normal estándar que muestra el porcentaje de datos por debajo de cada desviación típica.
Fórmula del percentil de la distribución normal
Cuando trabajes con una distribución normal, no sólo te interesará el percentil de las desviaciones típicas, o el percentil de la media. De hecho, a veces trabajarás con valores que caen en algún punto entre las desviaciones típicas, o puede que te interese un percentil concreto que no se corresponda con una de las desviaciones típicas antes mencionadas, ni con la media.
Y aquí es donde surge la necesidad de una fórmula de percentiles de la distribución normal. Para ello, recordamos la siguiente definición de puntuación z.
Para más explicaciones sobre cómo se obtienen las puntuaciones z, consulta el artículo Puntuaciones z.
La puntuación z inidica cuánto difiere un valor dado de una desviación típica.
Para una distribución normal con una media de \(\mu\) y una desviación típica de \(\sigma\), la puntuación z de cualquier valor de datos \(x\) viene dada por, \[Z=\frac{x-\mu}{\sigma}.\].
La fórmula anterior recentra los datos en torno a una media de 0 y una desviación típica de 1, para que podamos comparar todas las distribuciones normales.
La importancia de la puntuación z radica en que no sólo te informa sobre el valor en sí, sino sobre dónde está situado en la distribución.
A la inversa, para hallar un valor basado en un percentil determinado, la fórmula de la puntuación z puede reformularse en \[x=\mu+Z\sigma.\].
Por suerte, probablemente no tendrás que calcular el percentil cada vez para la puntuación z que quieras, ¡eso sería bastante engorroso! En su lugar, puedes utilizar una tabla de puntuaciones z, como las que se muestran a continuación.
Una tabla de puntuaciones z contiene la proporción de datos que está por debajo de cada puntuación z, de modo que puedes encontrar el percentil directamente.
Fig. 2. Tabla de puntuaciones z negativas para una distribución normal
Fig. 3. Tabla de puntuación z positiva para una distribución normal.
¿Cómo leer una tabla de puntuación z para hallar el percentil?
Una vez que hayas encontrado tu puntuación z, sigue estos pasos para utilizar la puntuación z para encontrar el percentil correspondiente. La mayoría de las tablas de puntuaciones z muestran puntuaciones z hasta la centésima, pero puedes encontrar tablas más precisas si lo necesitas.
La lectura de una tabla de puntuación z puede hacerse siguiendo los pasos siguientes,
Paso 1. Observa la puntuación z que te han dado o que has encontrado.
Paso 2. Mira a lo largo de la parte izquierda de la tabla, que muestra las unidades y las décimas de tu puntuación z. Busca la fila que coincida con tus dos primeros dígitos.
Paso 3. Mira a lo largo de la parte superior de la tabla, que muestra el lugar de las centésimas. Busca la columna que corresponda a tu tercer dígito.
Paso 4. Busca la intersección de la fila y la columna que coincidan con los lugares de las unidades, décimas y centésimas. Ésta es la proporción de datos por debajo de tu puntuación z, que es igual al porcentaje de datos por debajo de tu puntuación z.
Paso 5. Multiplica por 100 para obtener un porcentaje. Generalmente, redondea al número entero más próximo para obtener un percentil.
Para una distribución normal estándar, ¿cuál es el percentil de 0,47?
Solución:
Paso 1. Para la distribución normal estándar, este valor es lo mismo que la puntuación z. Es el número de desviaciones típicas que se alejan de la media. También está a la derecha de la media, por lo que debe ser un percentil superior al 50.
Paso 2. En la tabla de puntuación z, las unidades y las décimas son 0 y 4, así que mira toda la fila junto a 0,4.
Paso 3. El lugar de la centésima es 7, es decir, 0,07. Mira la columna situada debajo de 0,07.
Paso 4. La intersección de la fila 0,4 y la columna 0,07 es 0,6808.
Paso 5. Así que el 68,08% de los datos están por debajo de 0,47. Por tanto, 0,47 es aproximadamente el percentil 68 de una distribución normal estándar.
Gráfica de percentiles de una distribución normal
El siguiente gráfico muestra una curva de distribución normal estándar con algunos percentiles comunes marcados con sus correspondientes puntuaciones z.
Fig. 4. Distribución normal estándar con puntuaciones z para percentiles comunes.
Observa que estos percentiles son simétricos, igual que las desviaciones típicas. El percentil 25 y el percentil 75 están ambos a 25 puntos de la media, por lo que sus puntuaciones z son ambas 0,675, con la única diferencia del negativo para mostrar que el percentil 25 está por debajo de la media. Lo mismo ocurre con los percentiles 10 y 90.
Esto puede ser útil cuando quieras encontrar percentiles que pueden presentarse de forma diferente.
Supongamos que alguien informa de que ha obtenido una puntuación en el percentil 10 de un examen. Obviamente, eso suena muy bien, pero el percentil 10 está muy por debajo de la media, ¿verdad? Pues bien, en realidad no están diciendo que estén en el percentil 10. Están indicando que su puntuación es inferior a la media. Están indicando que sólo obtuvieron una puntuación inferior al 10% de los demás examinandos. Esto equivale a decir que han obtenido una puntuación superior a la del 90% de los examinandos, es decir, que están en el percentil 90.
Saber que la distribución normal es simétrica permite flexibilidad en la forma de ver los datos.
Los gráficos anteriores y las tablas de puntuaciones z se basan en la distribución normal estándar que tiene una media de 0 y una desviación típica de 1. Se utiliza como norma para que sea escalable para cualquier conjunto de datos.
Pero, obviamente, la mayoría de los conjuntos de datos no tienen una media de cero ni una desviación típica de 1. En eso pueden ayudar las fórmulas de puntuación z.
Ejemplos de Distribución Normal Percentil
Las gráficas de crecimiento, las puntuaciones de los exámenes y los problemas de probabilidad son problemas habituales que verás cuando trabajes con distribuciones normales.
Un granjero tiene un nuevo ternero en su rancho, y necesita pesarlo para sus registros. El ternero pesa \(46,2\) kg. Consulta su tabla de crecimiento de terneros Angus y observa que el peso medio de un ternero recién nacido es de \(41,9\) kg con una desviación típica de \(6,7\) kg. ¿En qué percentil se encuentra el peso de su ternero?
Solución:
Tienes que empezar por hallar la puntuación z del peso del ternero. Para ello, necesitarás la fórmula \[Z=\frac{x-\mu}{\sigma}.\].
Para el gráfico de crecimiento de esta raza, la media es \(\mu =41,9\), la desviación típica es \(\sigma =6,7\), y el valor \(x=46,2\). Sustituye estos valores en la fórmula para obtener, \[Z=\frac{46,2-41,9}{6,7}=\frac{4,3}{6,7} {aproximadamente 0,64.\}].
Pasa ahora a tu tabla de puntuaciones z. Busca la fila para \(0,6\) y la columna para \(0,04.\)
Fig. 5. Hallar el percentil a partir de una tabla de puntuaciones z para una distribución normal.
La fila y la columna se cruzan en \(0,73891\). Así pues, multiplica por \(100\) para hallar que una proporción del 73,891% de la población está por debajo de la puntuación z \(0,64.\) Por tanto, el peso de la ternera está aproximadamente en el percentil 74.
También puede que necesites encontrar un valor basado en un percentil determinado. En la mayoría de los casos, eso implicará hacer los pasos anteriores a la inversa.
María va a hacer el examen GRE para matricularse en una escuela de posgrado. Quiere tener muchas posibilidades de entrar en la escuela de sus sueños y decide intentar obtener una puntuación en el percentil 95. Investiga un poco y descubre que la puntuación media del GRE es de \(302\) con una desviación típica de \(15,2.\) ¿A qué puntuación debería aspirar?
Solución:
Para este problema, empieza con la tabla de puntuaciones z. Busca la celda que contenga el valor más cercano al 95%, que será aproximadamente \(0,95\) en la tabla.
Fig. 6 Encontrar la puntuación z a partir del percentil.
El primer valor que está al menos a \(0,95\) es la celda mostrada arriba con \(0,95053\) en ella. Mira la etiqueta de su fila, \(1,6\), y su columna, \(0,05\), para encontrar la puntuación z del percentil 95. La puntuación z será \(1,65.\) Esto significa que María tiene que puntuar unas \(1,65\) desviaciones típicas por encima de la media de \(302\). Para hallar la puntuación correspondiente en el test, utiliza la fórmula \[x=\mu+Z\sigma.\].
Sustituye los valores de \(\mu\), \(Z\) y \(\sigma\) para obtener, \[x=302+1,65(15,2)\aproximadamente 327.\].
Por tanto, María necesita obtener al menos un 327 en el GRE para cumplir su objetivo.
Distribución normal Proporción
Las distribuciones normales son tan útiles porque son proporcionales entre sí mediante la puntuación z y los percentiles.
Cada distribución normal puede tener su propia media y desviación típica, lo que puede afectar a la dispersión de los datos. Pero la proporción de los datos que se encuentra dentro de cada desviación típica es la misma en todas las distribuciones normales. Cada área bajo la curva representa una proporción del conjunto de datos o de la población.
Esto significa que puedes hallar el percentil de cualquier valor de cualquier distribución normal siempre que conozcas la media y la desviación típica.
Veamos los dos ejemplos siguientes de pruebas normalizadas para comparar.
Dos profesores han realizado los exámenes finales al mismo grupo de alumnos y están comparando los resultados de sus alumnos. El profesor de matemáticas informa de una puntuación media de \(81\) con una desviación típica de \(10\). El profesor de historia informa de una puntuación media de (86) con una desviación típica de (6).
El gráfico siguiente muestra las distribuciones normales de ambos exámenes.
Fig. 7. Comparación de distribuciones normales con medias y desviaciones típicas diferentes.
Comparar datos utilizando una distribución normal
Como todas las distribuciones normales son proporcionales, puedes comparar los datos de dos conjuntos distintos, con medias y desviaciones típicas diferentes, siempre que ambos tengan una distribución normal.
María hizo el examen GRE , pero también ha estado pensando en estudiar Derecho, para lo cual tuvo que hacer el examen LSAT.
Ahora quiere comparar sus puntuaciones, y tal vez sus posibilidades de entrar en el programa de su elección, pero los dos exámenes se puntúan de forma diferente.
Su puntuación en el GRE fue de \(321\) con una media de \(302\) y una desviación típica de \(15,2\). Y su puntuación en el LSAT fue de 164 puntos, con una media de 151 puntos y una desviación típica de 9,5 puntos.
¿En qué examen obtuvo mejores resultados? ¿En qué percentil se situó en cada prueba?
Solución:
Empieza con la puntuación del GRE y la fórmula \[Z=\frac{x-\mu}{\sigma}.\] Sustituye la media, la desviación típica y su puntuación en el GRE, para obtener \[Z=\frac{321-302}{15,2}=1,25.\}].
Observa la tabla de puntuación z anterior para hallar la proporción para la puntuación z \(1,25.\) La proporción de datos por debajo de \(1,25\) es \(0,89435\). Esto representa un porcentaje del 89,435%, o aproximadamente el percentil 89.
Ahora mira su puntuación en el LSAT, y sustituye su media, desviación típica y puntuación en la fórmula, \[Z=frac{164-151}{9,5}\aprox 1,37.\].
Sólo por las puntuaciones z puedes deducir que obtuvo mejores resultados en el LSAT, ya que \(1,37\) desviaciones típicas está más a la derecha que \(1,25\) desviaciones típicas.
Pero la pregunta también pide el percentil que obtuvo en cada prueba. Así que, una vez más, consulta la tabla de puntuaciones z anterior y encuentra la proporción correspondiente a \(1,37\), que es \(0,91466.\) Esto es un porcentaje del 91,466% o aproximadamente el percentil 91.
Así pues, obtuvo mejores resultados que el 89% de los demás examinandos del GRE y mejores resultados que el 91% de los demás examinandos del LSAT.
Distribución normal Percentil - Puntos clave
- En una distribución normal, la puntuación z es el número de desviaciones típicas que se alejan de la media de un valor, y el percentil es el porcentaje de datos que se encuentra por debajo de esa puntuación z.
- Para una puntuación z \(Z\) dentro de una distribución normal, un valor de datos \(x\), una media \(\mu\) y una desviación típica \(\sigma\), puedes utilizar cualquiera de las dos fórmulas: \[Z=\frac{x-\mu}{\sigma}.\] \[x=\mu+Z\sigma.\]
- Necesitas una tabla de puntuaciones z para hallar la proporción de los datos que corresponde a cada puntuación z y poder hallar el percentil.
- Para una distribución normal, la media es el percentil 50%.
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