Probabilidad Condicional

¿Qué es la probabilidad condicional?

La probabilidad de que ocurran sucesos que tienen algún tipo de condición es una probabilidad condicional. Aquí uno de los sucesos suele depender del otro. El suceso que ocurre después depende de que ocurra el primer suceso Así que para hallar la probabilidad de este último suceso hay que sumar la probabilidad del primer suceso. Por tanto, el primer acontecimiento es una probabilidad normal, pero el segundo es la probabilidad condicional.

Así pues, el acontecimiento A se considera una condición para que ocurra el acontecimiento B. O dicho de otro modo, la probabilidad del suceso B depende de la probabilidad del suceso A. Denotamos esta probabilidad condicional como \(P(B|A)\).

Además, ten en cuenta que no se afirma que ambos sucesos ocurran simultáneamente ni que ambos sucesos tengan siempre relaciones casuales.

Cómo calcular la probabilidad condicional

Hay una fórmula que podemos utilizar para hallar la probabilidad de B dado que A ya se ha producido:

\[P(B|A) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)}\]

Donde

P(B|A) es la probabilidad de B dado A

P(A∩B) es la probabilidad de que se den tanto A como B y

P(A) es la probabilidad de que ocurra A

Diagrama de árbol de probabilidad condicional

Un diagrama de árbol puede ser una forma útil de visualizar y resolver problemas que contengan probabilidades condicionales. Lo que tenemos que hacer es dibujar las dos primeras ramas para el suceso A y, a continuación, las 4 ramas para el suceso B.

Por ejemplo, imaginemos que tenemos una bolsa que contiene 10 caramelos con sabor a fresa o a limón. Cogemos un caramelo al azar de la bolsa, nos lo comemos y luego cogemos otro. Si supiéramos que al principio había 6 caramelos de fresa, podríamos empezar a dibujar un diagrama de árbol que mostrara las probabilidades de coger caramelos de limón o de fresa. La primera vez que cogimos, la probabilidad de coger un caramelo de fresa sería 6/10 ó 0,6 y, por tanto, la probabilidad de coger un caramelo de limón tiene que ser \(1-0,6=0,4\). A partir de aquí, podemos dibujar las primeras ramas de nuestro diagrama de árbol.

Diagrama de las primeras ramas del árbol que muestra la probabilidad de coger una fresa o un caramelo de limón de una bolsa

Ahora, ¿qué ocurre con el segundo caramelo que elegimos? Recuerda que el primer caramelo que elegimos no se volvió a meter en la bolsa, por lo que el número total de caramelos de la bolsa es ahora de 9 y el sabor elegido en el segundo sorteo depende del sabor elegido en el primer sorteo. Si en el primer sorteo cogimos un caramelo de fresa, sólo quedarán 5 caramelos de fresa en la bolsa, por lo que la probabilidad de coger un caramelo de fresa ahora sería 5/9=0,556 y la probabilidad de coger un caramelo de limón sería \(1 - 0,556= 0,444\)

Sin embargo, si en la primera elección cogimos un caramelo de limón, ahora quedarán 6 caramelos de fresa y 3 de limón. Por tanto, la probabilidad de coger un caramelo de fresa en esta situación es \(\frac{6}{9} =0,667\) y la probabilidad de coger un caramelo de limón es \(1-0,667 = 0,333\). Ahora podemos dibujar las cuatro ramas siguientes en nuestro diagrama de árbol:

Diagrama de árbol que muestra la probabilidad de coger 2 caramelos de una bolsa que contiene caramelos de fresa y limón

Las cuatro ramas que hemos dibujado representan las probabilidades condicionales de distintos sucesos. La primera de arriba da la probabilidad de coger fresa (S) dado que ya se cogió fresa la primera vez, por lo que \(P(S_2 | S_1) = 0,556\). Esta misma lógica se puede aplicar a todas las ramas siguientes, dando \(P(L |S) = 0,444, \space P(S|L) = 0,667 \text{ y } P(L_2 | L_1) = 0,333\).

Propiedades de probabilidad condicional

Todas las propiedades de probabilidad condicional que se mencionan aquí se basan en la fórmula anterior.

Aquí P(S) es la probabilidad del espacio muestral y P(A) y P(B) son las probabilidades de los sucesos A y B respectivamente.

• \(P(S|A) = P(A|A) = 1\)

• Si P(X) es cualquier suceso tal que \(P(E) ≠ 0\), entonces \(P((A \cup B)|X) = P(A|X) + P(B|X) - P((A \cap B)|X)\)

• \(P(B'|A) = 1 -P(B|A)\). Aquí B' es el conjunto complementario de B.

Probabilidad condicional Diagrama de Venn

Los diagramas de Venn son otro método que podemos utilizar para resolver problemas de probabilidad condicional. Para dibujar un diagrama de Venn, necesitamos conocer la probabilidad del suceso A, la probabilidad del suceso B y la probabilidad de A y B. Por ejemplo, se realizó una encuesta a 65 personas preguntándoles por los sabores de helado que les gustaban. 30 personas dijeron que sólo les gustaba el chocolate (C), 20 personas dijeron que sólo les gustaba la vainilla (V), a 10 personas les gustaban ambos y al resto ninguno.

Por tanto, sabemos que la probabilidad de que a alguien sólo le guste el chocolate es \(\frac{30}{65}=0,462\). La probabilidad de que a alguien le guste tanto la vainilla como el chocolate es \(P(C\cap V)=\frac{10}{65}=0,154\). La probabilidad de que a alguien no le guste ninguno de los dos es (65-(30+20+10)}{65} = 0,0769). Podemos dibujar el siguiente diagrama de Venn:

Diagrama de Venn que muestra la probabilidad de que a la gente le guste el helado de chocolate y el de vainilla.

Observa que la suma de todas las probabilidades de un diagrama de Venn debe ser siempre igual a 1.

A partir de aquí, podemos utilizar la fórmula \(P(B |A) = \frac{P(A |cap B)}{P(A)}\) para hallar la probabilidad de que a alguien le guste el helado de chocolate dado que le gusta el de vainilla:

\(P(C |V) = \frac{P(C \cap V)}{P(V)}\).

Ya sabemos que \(P(C\cap V)= 0,154\). P(V) será la suma de las probabilidades de que a alguien le guste sólo la vainilla y de que a alguien le gusten tanto la vainilla como el chocolate. \(P(V)=0.308+0.154=0.462\). Entonces

\(P(C|V) = \frac{0,154}{0,462} = 0,333\).

Teorema de Bayes para la probabilidad condicional

El teorema de Bayes establece que \(P(B|A) = \frac{P(A|B)}{P(A)}P(B)\)

Este teorema se puede demostrar utilizando las ecuaciones que hemos usado antes. Sabemos que \(P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}\) y \(P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\).

Si reordenamos ambas ecuaciones para encontrar expresiones para \(P(A |cap B)\), obtenemos \(P(A |cap B) = P(B|A)P(A)\) y \(P(A |cap B) = P(A|B)P(B)\) . Ahora podemos igualar el lado derecho de ambas expresiones, por lo que \(P(B|A)P(A) = P(A|B)P(B)\), por tanto, \(P(B|A) = \frac{P(A|B)}{P(A)} P(B)\)