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En este artículo encontrarás la definición de proporciones muestrales, el símbolo, las fórmulas de las proporciones muestrales, su importancia y ejemplos de aplicación.
Definición de proporciones muestrales
En el ejemplo anterior, los porcentajes obtenidos representan el porcentaje de personas de un grupo que tienen una característica de interés, en este caso, miedo a las alturas. Este tipo de porcentaje corresponde a una proporción.
Una proporción muestral es la proporción de individuos de una muestra que tienen una determinada característica de interés.
Símbolo de la proporción muestral
Mientras que la proporción de la población total se denota por \(p\), la proporción de la muestra se denota por \(\widehat{p}\), y se calcula contando cuántos éxitos hay en la muestra (éxito significa que un individuo posee la característica de interés) y dividiéndolo por el tamaño total de la muestra \(n\)
\[\widehat{p}=\frac{\text{número de éxitos en la muestra}}{n}.\}]
Normalmente, la proporción de la muestra (\widehat{p}) es diferente de la proporción de la población \(p\).
Comprender la proporción muestral
Supongamos que tienes una bolsa de \(40\) gominolas, de las cuales \(20\) son ácidas y \(20\) dulces. Asignemos un número a cada gominola para que sea más fácil identificarlas.
| Gominolas ácidas | \(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,\)\(11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20\) |
| Gominolas dulces | \(21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30,\)\(31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40\) |
Supongamos que no conoces la proporción real de cada sabor en la bolsa, y te interesa saber cuántas gominolas dulces hay en la bolsa. Decides tomar una pequeña muestra de tamaño \(4\), y acabas eligiendo las gominolas \(1, 13, 14, 29.\) Entonces, para esta muestra, el éxito significa que la gominola es dulce, por lo que la proporción muestral es
\[\widehat{p}=\frac{1}{4}=0.25\]
Tomemos más muestras y veamos qué ocurre.
| Muestra | Gominolas seleccionadas | \Gominolas seleccionadas | Muestra | Gominolas seleccionadas | \(por todo el cuerpo) |
| \(1\) | \(1, 13, 14, 29\) | \(0.25\) | \(7\) | \(3, 26, 27, 38\) | \(0.75\) |
| \(2\) | \(11, 12, 13, 14\) | \(0\) | \(8\) | \(4, 26, 38, 39\) | \(0.75\) |
| \(3\) | \(1, 2, 26, 37,\) | \(0.5\) | \(9\) | \(15, 26, 27, 38\) | \(0.75\) |
| \(4\) | \(2, 14, 26, 38\) | \(0.5\) | \(10\) | \(5, 26, 37, 39\) | \(0.75\) |
| \(5\) | \(2, 13, 15, 28\) | \(0.25\) | \(11\) | \(26, 27, 28, 29\) | \(1\) |
| \(6\) | \(3, 4, 15, 36\) | \(0.25\) | \(12\) | \(26, 37, 38, 40\) | \(1\) |
Como puedes ver, muestras diferentes pueden darte proporciones muestrales diferentes.
Figura 1. Histograma con la frecuencia de las proporciones muestrales de las gominolas dulces
Trazando las frecuencias de cada proporción muestral, es más fácil ver el comportamiento de la proporción muestral \(\widehat{p}\).
Importancia de las proporciones muestrales
Cuando quieres saber qué proporción de individuos u objetos de toda una población posee un determinado interés, a veces lleva mucho tiempo, o incluso es imposible, recoger todos los datos.
La idea que subyace a la toma de proporciones muestrales es que, basándote en esta información, puedes deducir cuál sería la proporción de toda la población. Para ello, necesitarás conocer la distribución muestral de la proporción.
Volviendo al ejemplo de las gominolas, el gráfico de la Figura 1 aproxima la distribución de la proporción muestral \(\widehat{p}\). Si quieres obtener el gráfico real de la distribución de la proporción muestral \(\widehat{p}\), ¡tendrías que considerar todas las muestras posibles de gominolas de tamaño \(4\)!
Condiciones para la distribución muestral de proporciones
Para que la distribución muestral de la proporción \(\widehat{p}\) estime realmente la proporción poblacional \(p\), debes asegurarte de que se verifican las siguientes condiciones:
1. Condición de aleatoriedad: la condición más importante necesaria para crear una distribución muestral es que tus datos procedan de muestras seleccionadas al azar.
2. Independencia (condición \(10\%\)): los valores muestreados deben ser independientes entre sí. Esto puede hacerse considerando tamaños de muestra no superiores a \(10\%\) de toda la población.
De nuevo, para el ejemplo de las gominolas, puedes elegir las gominolas al azar (puedes coger la gominola sin mirar la bolsa o escribir los números \(1-40\) en trozos de papel y coger una al azar). Y la muestra de tamaño seleccionado también cumple la condición de independencia porque \(4\) es \(10\%\) del total de gominolas de la bolsa.
La fórmula de la media y la desviación típica para las proporciones muestrales
Sea \(p\) la proporción de éxito en una población y \(\widehat{p}\) la proporción muestral, es decir, la proporción de éxito en una muestra aleatoria de tamaño \(n\). Entonces, la media y la desviación típica de la distribución muestral de \(\widehat{p}\) pueden calcularse mediante
\[\mu_{widehat{p}}=p,\text{ y }\, \sigma_{{widehat{p}}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}.\}].
Además, cuando \(np\geq 10\) y \(n(1-p)\geq 10\), la distribución de la proporción muestral \(\widehat{p}\) es aproximadamente normal.
Por tanto, cuando se cumple la condición de normalidad, puedes convertir cualquier proporción muestral \(\widehat{p}\) en una puntuación \(z\)-score (para más información, consulta el artículo Puntuación \(z\)-score) mediante la fórmula
\[ z=\frac{\widehat{p}-\mu_\widehat{p}}{\sigma_\widehat{p}}=\frac{\widehat{p}-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}.\]
La proporción de aciertos en una población es \(p=0,35\). Halla la media y la desviación típica de la proporción muestral \(\widehat{p}\) obtenida a partir de muestras aleatorias de tamaño \(n=70\).
Solución:
Utilizando las fórmulas anteriores, la media es igual a
\[\mu_{\widehat{p}}=0.35,\]
y la desviación típica
\[\sigma_{\widehat{p}}=\sqrt{\frac{(0.35)(0.65)}{70}}\approx 0.057.\]
Ejemplos de proporciones de muestra
Veamos un ejemplo de cómo calcular las probabilidades de la distribución de una proporción muestral.
Una empresa afirma que sólo \(10\%\) de los productos que fabrica son defectuosos. Un inspector de calidad ha tomado una muestra aleatoria de tamaño \(200\%).
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que como máximo \(12\%\) de ellos sean defectuosos?
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya entre \(9\%\) y \(11\%\) defectuosos?
Solución:
(1) Puesto que
\[np=200(0.10)=20>10\]
y
\[n(1-p)=200(0.90)=180>10,\]
la distribución muestral de \(\widehat{p}\) es aproximadamente normal. Así que puedes utilizar las propiedades de la distribución normal (para más información, consulta el artículo Distribución normal) para calcular estas probabilidades.
(2 ) Calculemos la media y la desviación típica de la proporción \(\widehat{p}\). Utilizando las fórmulas dadas antes
\[\mu_widehat{p}=0,10\] y
\[\sigma_\widehat{p}=\sqrt{\frac{(0.10)(0.90)}{200}}\approx 0.021.\]
(3) Convirtiendo los valores en puntuaciones \(z\)-: para (a) tendrás
\P(z<frac{0,12-0,10}{0,021}\}derecha) &= P(z<0,95) &=0,8289. \final{align} \]
Y para (b) tendrás
\[ \begin{align}P(0.09<\widehat{p}<0.11) &= P\left(\frac{0.09-0.10}{0.021} Por tanto, la probabilidad de que como máximo \(12\%\) de ellos sean defectuosos es \(0,8289\), y la probabilidad de que haya \(9\%\) a \(11\%\) defectuosos es \(0,3688\).
Proporción muestral - Puntos clave
- El objetivo de tomar proporciones muestrales es estimar la proporción poblacional.
- La proporción muestral se denomina \(\widehat{p}\).
- La fórmula para calcular la media y la desviación típica de la distribución muestral de la proporción \(\widehat{p}) viene dada por\[\mu_{widehat{p}}=p\,\]y[[\sigma_{widehat{p}}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}.\}].
- Cuando \(np\geq 10\) y \(n(1-p)\geq 10\), la distribución muestral de la proporción \(\widehat{p}\) es similar a una distribución normal.
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