Prueba de Chi-Cuadrado para Homogeneidad

Condiciones de una prueba Chi-cuadrado de homogeneidad

Todas las pruebas Chi-cuadrado de Pearson comparten las mismas condiciones básicas. La principal diferencia es cómo se aplican las condiciones en la práctica. Una prueba de Chi-cuadrado para la homogeneidad requiere una variable categórica de al menos dos poblaciones, y los datos tienen que ser el recuento bruto de miembros de cada categoría. Esta prueba se utiliza para comprobar si las dos variables siguen la misma distribución.

Para poder utilizar esta prueba, las condiciones de una prueba Chi-cuadrado de homogeneidad son:

• Las variables deben ser categóricas.

  • Como estás comprobando la igualdad de las variables, tienen que tener los mismos grupos. Esta prueba de Chi-cuadrado utiliza tabulaciones cruzadas, contando las observaciones que entran en cada categoría.

• Los grupos deben ser mutuamente excluyentes; es decir, la muestra se selecciona al azar.

  • Cada observación sólo puede estar en un grupo. Una persona puede vivir en una casa o en un apartamento, pero no puede vivir en ambos.

Tabla 1. Tabla de contingencia, prueba de Chi-cuadrado para la homogeneidad.

• Los recuentos esperados deben ser al menos \(5\).

  • Esto significa que el tamaño de la muestra debe ser lo suficientemente grande, pero cómo de grande es difícil de determinar de antemano. En general, basta con asegurarse de que hay más de \(5\) en cada categoría.

• Las observaciones deben ser independientes.

  • Este supuesto depende de cómo recojas los datos. Si utilizas un muestreo aleatorio simple, casi siempre será estadísticamente válido.

Prueba Chi-cuadrado de homogeneidad: hipótesis nula e hipótesis alternativa

La pregunta subyacente a esta prueba de hipótesis es ¿Siguen estas dos variables la misma distribución?

Las hipótesis se formulan para responder a esa pregunta.

• La hipótesis n ula es que las dos variables proceden de la misma distribución.\[ \begin{align}H_{0}: p_{1,1} &= p_{2,1} \text{ Y } \\p_{1,2} &= p_{2,2} \Y \ldots \text{ AND } \\p_{1,n} &= p_{2,n}\end{align} \]

• La hipótesis nula exige que cada categoría tenga la misma probabilidad entre las dos variables.

• La hipótesis alternativa es que las dos variables no proceden de la misma distribución, es decir, al menos una de las hipótesis nulas es falsa.\[ \begin{align}H_{a}: p_{1,1} &\neq p_{2,1} \text{ OR } \\p_{1,2} &\neq p_{2,2} \O \puntos texto O \\p_{1,n} &\neq p_{2,n}\end{align} \]

• Si incluso una categoría es diferente de una variable a otra, la prueba arrojará un resultado significativo y proporcionará pruebas para rechazar la hipótesis nula.

Las hipótesis nula y alternativa en el estudio de supervivencia al infarto de miocardio son:

Frecuencias esperadas para una prueba chi-cuadrado de homogeneidad

Debes calcular las frecuencias esperadas para una prueba Chi-cuadrado de homogeneidad individualmente para cada población en cada nivel de la variable categórica, según la fórmula

\[ E_{r,c} = \frac{n_{r} \cdot n_{c}}{n} \]

donde

• \(E_{r,c}) es la frecuencia esperada para la población \(r\) en el nivel \(c\) de la variable categórica,

• \(r\) es el número de poblaciones, que también es el número de filas de una tabla de contingencia,

• \es el número de niveles de la variable categórica, que también es el número de columnas de una tabla de contingencia,

• \(n_{r}\) es el número de observaciones de la población \(r\),

• \es el número de observaciones del nivel (c) de la variable categórica, y

• \es el tamaño total de la muestra.

Continuando con el estudio de supervivencia al infarto de miocardio:

Grados de libertad para una prueba chi-cuadrado de homogeneidad

En una prueba Chi-cuadrado de homogeneidad hay dos variables. Por tanto, estás comparando dos variables y necesitas que la tabla de contingencia sume en ambas dimensiones.

Como necesitas que las filas sumen y las columnas sumen, los grados de libertad se calculan mediante:

\[ k = (r - 1) (c - 1) \]

donde,

• \(k\) son los grados de libertad,

• \(r\) es el número de poblaciones, que también es el número de filas de una tabla de contingencia, y

• \(c\) es el número de niveles de la variable categórica, que también es el número de columnas de una tabla de contingencia.

Prueba Chi-cuadrado de homogeneidad: Fórmula

La fórmula (también llamada estadístico de prueba) de una prueba Chi-cuadrado de homogeneidad es:

\[ \chi^{2} = \suma \frac{(O_{r,c}} - E_{r,c})^{2}}{E_{r,c}}]

donde

• \(O_{r,c}) es la frecuencia observada para la población \(r\) en el nivel \(c\), y

• \es la frecuencia esperada de la población (r) en el nivel (c).

Cómo calcular el estadístico de una prueba de homogeneidad chi-cuadrado

Paso \(1\): Crea una tabla

A partir de tu tabla de contingencia, elimina la columna "Totales de fila" y la fila "Totales de columna". A continuación, separa tus frecuencias observadas y esperadas en dos columnas, así

Tabla 3. Tabla de frecuencias observadas y esperadas, prueba Chi-cuadrado de homogeneidad.

Paso \(2\): Resta las Frecuencias Esperadas de las Frecuencias Observadas

Añade una nueva columna a tu tabla llamada "O - E". En esta columna, pon el resultado de restar la frecuencia esperada de la frecuencia observada:

Tabla 4. Tabla de frecuencias observadas y esperadas, prueba Chi-Cuadrado de homogeneidad.

Paso \(3\): Eleva al cuadrado los resultados del Paso \(2\)Añade otra columna nueva a tu tabla llamada "(O - E⁾²". En esta columna, pon el resultado de elevar al cuadrado los resultados de la columna anterior:

Tabla 5. Tabla de frecuencias observadas y esperadas, prueba Chi-cuadrado de homogeneidad.

Paso \(4\): Divide los Resultados del Paso \(3\) entre las Frecuencias EsperadasAñade una última columna nueva a tu tabla llamada "(O - E^)2/E". En esta columna, pon el resultado de dividir los resultados de la columna anterior entre sus frecuencias esperadas:

Tabla 6. Tabla de frecuencias observadas y esperadas, prueba Chi-cuadrado de homogeneidad.

Paso \(5\): Suma los resultados del Paso \(4\) para obtener el estadístico de la prueba Chi-cuadradoPor último, suma todos los valores de la última columna de tu tabla para calcular tu estadístico de la prueba Chi-cuadrado:

\[ \begin{align}\chi^{2} &= \sum \frac{(O_{r,c}} - E_{r,c})^{2}}{E_{r,c}} \\&= 0,322 + 0,013 + 3,831 + 0,150 + 5,074 + 0,199&= 9,589.\end{align} \]

Elestadístico de la prueba Chi-cuadrado para la prueba Chi-cuadrado de homogeneidad en el estudio de supervivencia al infarto de miocardio es:

\[ \chi^{2} = 9,589. \]

Pasos para realizar una prueba Chi-cuadrado de homogeneidad

Para determinar si el estadístico de la prueba es lo suficientemente grande como para rechazar la hipótesis nula, se compara el estadístico de la prueba con un valor crítico de una tabla de distribución Chi-cuadrado. Este acto de comparación es el núcleo de la prueba Chi-cuadrado de homogeneidad.

Sigue los pasos \(6\) que se indican a continuación para realizar una prueba de homogeneidad Chi-cuadrado.

Paso 1: Plantea las hipótesis

• La hipótesis nula es que las dos variables proceden de la misma distribución.\[ \begin{align}H_{0}: p_{1,1} &= p_{2,1} \text{ AND } \\p_{1,2} &= p_{2,2} \Y \ldots \text{ AND } \\p_{1,n} &= p_{2,n}\end{align} \]

• La hipótesis alternativa es que las dos variables no proceden de la misma distribución, es decir, al menos una de las hipótesis nulas es falsa.\[ \begin{align}H_{a}: p_{1,1} &\neq p_{2,1} \text{ OR } \\p_{1,2} &\neq p_{2,2} \O \puntos texto O \\p_{1,n} &\neq p_{2,n}\end{align} \]

Paso \(2\): Calcular las Frecuencias Esperadas

Consulta tu tabla de contingencia para calcular las frecuencias esperadas utilizando la fórmula

\E_{r,c} = \frac{n_{r} \cdot n_{c}}{n}].

Paso \(3\): Calcular el estadístico de la prueba Chi-cuadrado

Utiliza la fórmula de la prueba Chi-cuadrado de homogeneidad para calcular el estadístico de la prueba Chi-cuadrado:

\[ \chi^{2} = \suma \frac{(O_{r,c}} - E_{r,c})^{2}}{E_{r,c}}]

Paso \(4\): Hallar el valor crítico de Chi-cuadrado

Para hallar el valor crítico Chi-cuadrado, puedes

1. utilizar una tabla de distribución Chi-cuadrado, o bien

2. utilizar una calculadora de valores críticos.

Independientemente del método que elijas, necesitas \(2\) datos

1. los grados de libertad, \(k\), dados por la fórmula

   \[ k = (r - 1) (c - 1) \]

2. y el nivel de significación, \(\alfa), que suele ser \(0,05\).

Halla el valor crítico del estudio de supervivencia al infarto.

Paso \(5\): Compara el estadístico de la prueba Chi-cuadrado con el valor crítico Chi-cuadrado

¿Es tu estadístico de prueba lo suficientemente grande como para rechazar la hipótesis nula? Para averiguarlo, compáralo con el valor crítico.

Compara tu estadístico de prueba con el valor crítico en el estudio de supervivencia al infarto de miocardio:

Paso \(6\): Decide si rechazas la hipótesis nula

Por último, decide si puedes rechazar la hipótesis nula.

• Si el valor Chi-cuadrado es menor que el valor crítico, entonces tienes una diferencia insignificante entre las frecuencias observada y esperada; es decir, \( p > \alfa \).

  • Esto significa que no rechazas la hipótesis nula.

• Si el valor de Chi-cuadrado es mayor que el valor crítico, existe una diferencia significativa entre las frecuencias observada y esperada, es decir, \( p < \alfa \).

  • Esto significa que tienes pruebas suficientes para rechazar la hipótesis nula.

Ahora puedes decidir si rechazas la hipótesis nula del estudio de supervivencia al infarto de miocardio:

Valor P de una prueba Chi-cuadrado de homogeneidad

El valor \(p\)-de una prueba Chi-cuadrado de homogeneidad es la probabilidad de que el estadístico de la prueba, con \(k\) grados de libertad, sea más extremo que su valor calculado. Puedes utilizar una calculadora de la distribución chi-cuadrado para hallar el valor \(p\) de un estadístico de prueba. También puedes utilizar una tabla de distribución chi-cuadrado para determinar si el valor de tu estadístico de la prueba chi-cuadrado está por encima de un determinado nivel de significación.

Prueba ji-cuadrado de homogeneidad VS independencia

Llegados a este punto, puede que te preguntes: ¿cuál es la diferencia entre una prueba de Chi-cuadrado para la homogeneidad y una prueba de Chi-cuadrado para la independencia?

Utilizarás la prueba de Chi-cuadrado para la homogeneidad cuando sólo tengas \(1\) variable categórica de \(2\) (o más) poblaciones.

• En esta prueba, recoges aleatoriamente datos de una población para determinar si existe una asociación significativa entre \(2\) variables categóricas.

Utiliza la prueba de Chi-cuadrado para la independencia cuando tengas variables categóricas de la misma población.

• En esta prueba, recoges aleatoriamente los datos de cada subgrupo por separado para determinar si el recuento de frecuencias difiere significativamente entre las distintas poblaciones.

Ejemplo de prueba Chi-cuadrado de homogeneidad

Continuando con el ejemplo de la introducción, decides encontrar una respuesta a la pregunta: ¿tienen los hombres y las mujeres preferencias cinematográficas diferentes?