En la comprobación de hipótesis, comprobamos si estas probabilidades calculadas pueden llevarnos a aceptar o rechazar una hipótesis.
Nos centraremos en las regiones de la distribución binomial; por tanto, nos fijaremos en los valores acumulados.
Tipos de hipótesis
Hay dos tipos principales de hipótesis:
La hipótesis nula (H0) es la hipótesis que suponemos que se cumple, y supone que no hay diferencia entre determinadas características de una población. Cualquier diferencia se debe puramente al azar.
La hipótesis alternativa (H1) es la hipótesis que podemos intentar demostrar utilizando los datos que se nos han dado.
Podemos
Aceptar la hipótesis nula O
Rechazar la hipótesis nula y aceptar la hipótesis alternativa.
¿Cuáles son los pasos para realizar una prueba de hipótesis?
Hay algunos términos clave que debemos comprender antes de ver los pasos de la prueba de hipótesis:
Valor crítico - es el valor en el que pasamos de aceptar a rechazar la hipótesis nula.
Región crítica - es la región en la que rechazamos la hipótesis nula.
Nivel de significación - el nivel de significación es el nivel de precisión que estamos midiendo, y se da en forma de porcentaje. Cuando hallamos la probabilidad del valor crítico, debe estar lo más cerca posible del nivel de significación.
Prueba de una cola: la probabilidad de la hipótesis alternativa es mayor o menor que la probabilidad de la hipótesis nula.
Prueba de dos colas: la probabilidad de la hipótesis alternativa no es igual a la probabilidad de la hipótesis nula.
Por tanto, cuando realizamos una prueba de hipótesis, en términos generales, estos son los pasos que utilizamos:
PASO 1 - Establecer una hipótesis nula y otra alternativa, con las probabilidades pertinentes que se indicarán en la pregunta.
PASO 2 - Asignar probabilidades a nuestras hipótesis nula y alternativa.
PASO 3 - Escribe nuestra distribución binomial.
PASO 4 - Calcula las probabilidades utilizando la distribución binomial. (Sugerencia: Para calcular nuestras probabilidades, no necesitamos utilizar nuestra prolija fórmula, sino que en la calculadora Casio Classwiz, podemos ir a Menú -> Distribución -> CD Binomial e introducir n como nuestro número en la muestra, p como nuestra probabilidad, y X como lo que estamos intentando calcular).
PASO 5 - Comprueba el nivel de significación (si es mayor o menor que el nivel de significación).
PASO 6 - Acepta o rechaza la hipótesis nula.
Veamos algunos ejemplos para explicar lo que estamos haciendo.
Ejemplo de prueba de una cola
Como ya se ha dicho, una prueba de hipótesis de una cola es aquella en la que la probabilidad de la hipótesis alternativa es mayor o menor que la hipótesis nula.
Un investigador está investigando si la gente puede identificar la diferencia entre la Coca-Cola Light y la Coca-Cola entera. Sospecha que la gente adivina. Se seleccionan 20 personas al azar, y 14 hacen una identificación correcta. Realiza una prueba de hipótesis.
a) Explica brevemente por qué la hipótesis nula debe ser H0, con la probabilidad p = 0,5 que sugiere que han hecho la identificación correcta.
b) Completa la prueba al nivel de significación del 5%.
SOLUCIÓN:a) Si las personas no lo hacen mejor y están adivinando, entonces hay la misma probabilidad de que hagan una identificación correcta o incorrecta. Una probabilidad igual de que ocurran dos cosas significa p = 0,5. b) Para realizar una prueba de hipótesis completa, utilicemos los pasos indicados anteriormente.| Paso | Ejemplo |
| PASO 1 - Establece una hipótesis nula y otra alternativa, con las probabilidades pertinentes, que se indicarán en la pregunta. | Hipótesis nula (H0): Las personas están adivinando, por lo que tienen la misma probabilidad de hacer una identificación correcta o incorrecta. Hipótesis alternativa H1: La gente no está adivinando y sabe distinguir. |
PASO 2 - Asigna probabilidades a nuestras hipótesis nula y alternativa. | \H_0: p = 0,5 H_1: p > 0,5 fin)La razón de nuestra probabilidad para la H1 es que, para refutar que la gente adivina, es necesario que acierte más gente que la que se equivoca. |
| PASO 3 - Escribe nuestra distribución binomial. | Hay 20 personas, y la probabilidad de la hipótesis nula es 0,5 por lo tanto si llamamos a nuestro suceso X:\(X \sim B(20,0,5)\) |
| PASO 4 - Calcula las probabilidades utilizando la distribución binomial. | Así que 14 personas hicieron la identificación correcta; por tanto, tenemos que calcular \(P(X\geq 14) = 0,05765914916\)La razón por la que utilizamos el signo mayor o igual que es porque \(p > 0,5\). |
| PASO 5 - Comprueba el nivel de significación (mayor o menor que el nivel de significación). | \(0,05765914916 > 0,05\), por lo que no está en la región crítica, ya que sería inferior a 0,05 si así fuera. |
| PASO 6 - Acepta o rechaza la hipótesis nula. | Como no está en la región crítica, llegamos a la conclusión de que aceptamos la hipótesis nula. |
Ejemplo de prueba de dos colas
En una prueba de dos colas, la probabilidad de nuestra hipótesis alternativa no es igual a la probabilidad de la hipótesis nula.
Una cafetería ofrece recargas gratuitas de café expreso. La probabilidad de que un cliente elegido al azar utilice estos recambios es de 0,35. Se elige una muestra aleatoria de 20 clientes, y 9 de ellos han utilizado los recambios gratuitos.
Realiza una prueba de hipótesis con un nivel de significación del 5% para ver si la probabilidad de que un cliente elegido al azar utilice los recambios es distinta de 0,35.
SOLUCIÓN: Para realizar una prueba de hipótesis completa, sigamos los pasos anteriores.| Paso | Ejemplo |
| PASO 1 - Establece una hipótesis nula y una alternativa, con las probabilidades pertinentes, indicadas en la pregunta. | Hipótesis nula H0: Sólo ese porcentaje de personas utilizará las recargas gratuitas de café expreso. Hipótesis alternativa H1: Más o menos gente utilizará las recargas gratuitas de café expreso. |
| PASO 2 - Asigna probabilidades a nuestras hipótesis nula y alternativa. | \(\begin{align} H_0: p = 0,35 \\ H_1: p \ne 0,35 \end{align}\)Como se trata de una prueba de dos colas, la probabilidad de la hipótesis alternativa es justo distinta de 0,35. |
| PASO 3 - Escribe nuestra distribución binomial. | Hay 20 personas, y la probabilidad de la hipótesis nula es 0,35, por tanto, si llamamos X a nuestro suceso \(X \sim B(20,0.35)\) |
| PASO 4 - Calcula las probabilidades utilizando la distribución binomial. | Esta vez, como \(p \ne 0,35\), tenemos que calcular tanto \(P(X \leq 9)\) como \(P(X \geq 9)\), ya que en una prueba de dos colas, hay dos regiones críticas.\(\begin{align} P(X \leq 9) = 0,8782194139 \ P(X \geq 9) = 0,2376223533 \end{align}\) |
| PASO 5 - Comprueba el nivel de significación (mayor o menor que el nivel de significación). | Como se trata de una prueba de dos colas, tenemos que dividir el nivel de significación en 2, así que comparamos con 0,025 en lugar de 0,05 y \(\begin{align}0,8782194139 > 0,025\\ 0,2376223533 > 0,025 \end{align}\) |
| PASO 6 - Acepta o rechaza la hipótesis nula. | Ninguno de los dos cae en nuestra región crítica (aunque uno está mucho más cerca que el otro), lo que significa que aceptamos nuestra hipótesis nula. |
Así que nuestra diferencia clave con las pruebas de dos colas es que comparamos el valor con la mitad del nivel de significación, en lugar del nivel de significación real.
Valores críticos y regiones críticas
Recuerda que los valores críticos son los valores en los que pasamos de aceptar a rechazar la hipótesis nula. Una distribución binomial es una distribución discreta; por tanto, nuestro valor tiene que ser un número entero.
Tienes un gran número de tablas estadísticas en el cuaderno de fórmulas que pueden ayudarnos a encontrarlos; sin embargo, son inexactas, ya que nos dan valores exactos y no valores para la distribución discreta.
Por tanto, la mejor forma de hallar los valores críticos y las regiones críticas es utilizar una calculadora con ensayo y error hasta que encontremos un valor aceptable:
PASO 1 - Introduce algunos valores aleatorios hasta que lleguemos a un punto en el que para dos valores consecutivos, una probabilidad esté por encima del nivel de significación, y otra por debajo.
PASO 2 - El que tenga la probabilidad por debajo del nivel de significación es el valor crítico.
PASO 3 - La región crítica, es la región mayor o menor que el valor crítico.
Veámoslo con algunos ejemplos.
Ejemplos prácticos de valores críticos y regiones críticas
Un mecánico está comprobando cuántos tornillos defectuosos tiene. Le dicen que el 30% de los tornillos son defectuosos. Tiene una muestra de 25 tornillos. Cree que menos del 30% son defectuosos. Calcula el valor crítico y la región crítica.
SOLUCIÓN:
Utilicemos los pasos anteriores como ayuda.
| Paso | Ejemplo |
| PASO 1 - Introduce algunos valores aleatorios hasta que lleguemos a un punto en el que para dos valores consecutivos, una probabilidad esté por encima del nivel de significación y otra por debajo. | Así establecemos nuestras probabilidades de hipótesis nula y alternativa: \(\begin{align}H_0: p = 0,3 \\\ H_1: p < 0,3 \end{align}\)Es decir, estamos calculando probabilidades menores o iguales. Si probamos algunos valores \(P(X \leq 5) = 0,1934884421 \(P(X \leq 4) = 0,09047191855 \(P(X \leq 3) = 0,03324051659 \end{align}\})Podemos ver que \(P(X \leq 4)\} está por encima de nuestro nivel de significación de 0,05 y \(P(X \leq 3)\} es menor que nuestro nivel de significación de 0,05. |
| PASO 2 - El que tiene la probabilidad por debajo del nivel de significación es el valor crítico. | El valor más bajo es nuestro valor crítico, por lo que X = 3 es nuestro valor crítico. |
| PASO 3 - La región crítica es mayor o menor que el valor crítico. | La región crítica es la región menor que el valor crítico por lo que \(X \leq 3\). |
Un profesor cree que el 40% de los alumnos ven la tele dos horas al día. Un alumno no está de acuerdo y cree que los alumnos ven más o menos de dos horas. En una muestra de 30 alumnos, calcula las regiones críticas.
SOLUCIÓN:
Como se trata de una prueba de dos colas, hay dos regiones críticas, una en el extremo inferior y otra en el extremo superior. Además, recuerda que la probabilidad con la que estamos comparando es la de la mitad del nivel de significación.
| Paso | Ejemplo |
| PASO 1 - Introduce algunos valores aleatorios hasta que lleguemos a un punto en el que para dos valores consecutivos, una probabilidad esté por encima del nivel de significación y otra por debajo. | Así que, en primer lugar, establezcamos nuestras probabilidades de hipótesis nula y alternativa: \(\begin{align} H_0: p = 0,4 \\\\ H_1: p \ne 0,4 \end{align})Empecemos por el extremo inferior, donde\(\begin{align}&P(X \leq a): \ &P(X \leq 5) = 0,005658796379 \ &P(X \leq 6) = 0,01718302499 \ &P(X \leq 7) = 0,0435241189 \end{align}\). Y si nos fijamos en el extremo superior, donde \(P(X \geq a)\}: \(\begin{align} P(X \geq 16) = 0,09705684391 \ P(X \geq 17) = 0,04811171242 \ P(X \geq 18) = 0,02123987608 \end{align}\) |
| PASO 2 - El que tiene la probabilidad por debajo del nivel de significación es el valor crítico. | Recuerda que estamos comparando con nuestro nivel de significación de 0,025, no de 0,05. En el extremo inferior \(\begin{align}0.005658796379 > 0,025 \\\0.01718302499 < 0,025 \end{align}\)Por tanto, nuestro valor crítico es X = 6.Del mismo modo, en el extremo superior: \(\begin{align}0.04811171242 > 0,025 \\ 0.02123987608 < 0,025\end{align}\)Así que nuestro valor crítico es X = 18. Y, por tanto, nuestros valores críticos son X = 6, X = 18. |
| PASO 3 - La región crítica es la región mayor o menor que el valor crítico. | Por tanto, nuestras regiones críticas son \(X \leq 6\) y \(X \geq 18\). |
Prueba de hipótesis binomial - Puntos clave
- La prueba de hipótesis es el proceso de utilizar la distribución binomial para ayudarnos a rechazar o aceptar hipótesis nulas.
- Una hipótesis nula es lo que suponemos que ocurre.
- Si los datos refutan una hipótesis nula, debemos aceptar una hipótesis alternativa.
- Utilizamos la CD binomial en la calculadora para ayudarnos a abreviar el cálculo de los valores de probabilidad.
- El valor crítico es el valor en el que empezamos a rechazar la hipótesis nula.
- La región crítica es la región por debajo o por encima del valor crítico.
- Las pruebas de dos colas contienen dos regiones críticas y dos valores críticos.
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