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¿Cómo realizamos una prueba de hipótesis para la distribución normal?
Cuando realizamos una prueba de hipótesis para la media de una distribución normal, pensamos en observar la media de una muestra de una población.
Así, para una muestra aleatoria de tamaño n de una población, tomada de la variable aleatoria \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\), la media muestral \(\bar{X}\) puede distribuirse normalmente por \(\bar{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})\).
Veamos un ejemplo.
El peso de las patatas fritas es cada paquete se distribuye normalmente con una desviación típica de 2,5 g.
La empresa de patatas fritas afirma que los paquetes de patatas fritas tienen un peso medio de 28 g. Hubo numerosas quejas de que cada paquete de patatas fritas pesaba menos. Por ello, un inspector de comercio investigó el asunto y descubrió que, en una muestra de 50 paquetes de patatas fritas, el peso medio era de 27,2 g.
Utilizando un nivel de significación del 5% y enunciando la hipótesis, comprueba claramente si las pruebas confirman o no las quejas.
SOLUCIÓN:
| PASO | Ejemplo |
| Paso 1: Plantea claramente la hipótesis. | \(H_0: \mu = 28 \quad H_1: \mu < 28\) |
| Paso 2: Escribe la distribución de probabilidad suponiendo que H0 es cierta. | \(X \sim N(28, 2,5^2)\) |
| Paso 3: Halla la distribución de probabilidad de la media muestral. | \(barra {X} sim N(28, frac{2,5^2}{50})|) |
| Paso 4: Dibuja un diagrama de distribución normal. |
Vamos a calcular \(P(\bar{X} \leq 27,1)\). |
| Paso 5: Haz el cálculo \(P(\bar{X} \leq \bar{x})\). \(\bar{x}\) es la media que se encontró en la muestra. | \(P(\bar{X} \leq 27,1) = 0,00545\) |
| Paso 6: Compara con el nivel de significación y llega a una conclusión sobre la hipótesis. | \(0,00545 < 0,05\), y por tanto está contenido dentro de la región crítica, por lo que rechazamos nuestra hipótesis nula y aceptamos nuestra hipótesis alternativa. |
Éste es un ejemplo de prueba de una cola. Veamos un ejemplo de prueba de dos colas.
Una máquina produce discos circulares con un radio R, donde R se distribuye normalmente con una media de 2 cm y una desviación típica de 0,3 cm.
Se realiza una revisión de la máquina y, tras la revisión, se toma una muestra aleatoria de 40 discos para ver si la media ha cambiado de 2cm. El radio sigue distribuyéndose normalmente con una desviación típica de 0,3 cm.
Se comprueba que la media es de 1,9 cm.
¿Ha cambiado la media? Pruébalo con un nivel de significación del 5%.
| PASO | Ejemplo |
| Paso 1: Plantea claramente las hipótesis. | \(H_0: \mu = 2 \quad H_1: \mu ≠ 2\) |
| Paso 2: Escribe la distribución de probabilidad suponiendo que H0es cierta. | \(X \sim N(2, 0,3^2)\) |
| Paso 3: Halla la distribución de probabilidad de la media muestral. | \(bar{X} sim N(2, frac{0,3^2}{40}) |
| Paso 4: Dibuja un diagrama de distribución normal. |
|
| Paso 5: Haz el cálculo \(P(\bar{X} \leq \bar{x})\). \(\bar{x}\) es la media que se encontró en la muestra. | \(P(\bar{X} \leq 1,9) = 0,01751\) |
| Paso 6: Compara con el nivel de significación y llega a una conclusión sobre la hipótesis. | Como se trata de una prueba de dos colas, tenemos que dividir nuestro nivel de significación por dos y luego comparar, así que estamos comparando con 0,025, no con 0,05: \(0,01751 < 0,025\)Está dentro de nuestra región crítica, por lo que rechazamos nuestra hipótesis nula y aceptamos nuestra hipótesis alternativa. |
El paso 5 puede resultar confuso: ¿realizamos el cálculo con \(P(\bar{X} \leq \bar{x})\) o \(P(\bar{X} \geq \bar{x})\)? Como regla general, si el valor está entre 0 y la media, utilizaremos \(P(\bar{X} \leq \bar{x})\). Si es mayor que la media, utilizamos \(P(\bar{X} \geq \bar{x})\).
¿Y para encontrar valores críticos y regiones críticas?
Es la misma idea que en la distribución binomial. Sin embargo, en la distribución normal, una calculadora puede facilitarnos la vida.
El menú distribuciones tiene una opción llamada normal inversa.
En ella, introducimos el nivel de significación (Área), la media (\(\mu\)) y la desviación típica (\(\sigma\)).
La calculadora nos dará una respuesta. Veamos un ejemplo a continuación.
Las ruedas se fabrican a medida para una bicicleta. El diámetro de la rueda se distribuye normalmente con una media de 40 cm y una desviación típica de 5 cm. Algunas personas piensan que sus ruedas son demasiado pequeñas. Halla el valor crítico de esto para un nivel de significación del 5%.
SOLUCIÓN
En nuestra calculadora, en la función normal inversa, tenemos que introducir
\(\text{Área} = 0,05 \quad \mu = 40 \quad \sigma = 5\)El área es 0,05, ya que el nivel de significación es del 5%. Se trata de una prueba de una cola: la gente piensa que la media es menor debido a la creencia de que las ruedas son demasiado pequeñas.Si realizamos la función normal inversa obtenemos 31,775732.
Así que ése es nuestro valor crítico y nuestra región crítica es \(X \leq 31,775732\).
Veamos un ejemplo con dos colas.
Prueba de dos colas - StudySmarter En primer lugar, debemos tratar la cola inferior. Por tanto, en nuestra calculadora, en la función normal inversa, tenemos que introducir \(\text{Área} = 0,005 \quad \mu= 55 \quad \sigma = 3\)El área es 0,005, ya que tenemos que dividir el nivel de significación por dos y ésta es la cola inferior (la que está a 0,005 de 0). Si realizamos la función normal inversa obtenemos 47,272512.Éste es uno de nuestros valores críticos, y nuestra región crítica es \(X \leq 47,272512\). Ahora, cuando nos ocupemos del extremo superior, tenemos que cambiar el área en nuestra calculadora. Esto se debe a que ahora estamos a 0,005 de 1 como nuestra área. Por tanto\(\text{Área} = 0,995 \quad \mu = 5 5 \quad \sigma = 3\)Entonces, si realizamos nuestra función normal inversa, obtenemos 62,727488. Éste es nuestro otro valor crítico, y nuestra región crítica es \(X \geq 62,727488\). Esta vez es mayor o igual a porque es la cola superior de nuestra prueba de dos colas.Prueba de hipótesis para una distribución normal - Puntos clave
- Cuando hacemos una prueba de hipótesis para una distribución normal, intentamos ver si la media es diferente de la media establecida en la hipótesis nula.
- Utilizamos la media muestral, que es \(\bar{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})\).
- En las pruebas de dos colas dividimos el nivel de significación por dos y realizamos la prueba en ambas colas.
- Para hallar los valores críticos utilizamos la función normal inversa de la calculadora introduciendo el área como nivel de significación.
- Para las pruebas de dos colas necesitamos hallar dos valores críticos en cada extremo de la distribución.
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