Ahí es donde entra en juego la distribución \(t\)-. Este artículo te llevará a través de una prueba de hipótesis para la diferencia de medias de dos poblaciones independientes, distribuidas normalmente.
Comparación de dos medias: Resumen de la prueba de hipótesis
La distribución \(t\)- también puede utilizarse para comprobar las medias de dos distribuciones normales independientes cuando se desconocen las varianzas y el tamaño de las muestras es pequeño. Para ello, tendrás que suponer que las poblaciones tienen la misma varianza y, por tanto, utilizar una estimación conjunta de la varianza.
Para un recordatorio sobre la distribución \(t\)- y sus propiedades, consulta el artículo Distribución T.
A diferencia de la prueba\(t\)-pareada, en la que estás comparando los resultados de un experimento antes y después de algún tratamiento, aquí estás comparando dos distribuciones normales independientes.
Describe el tipo de prueba de hipótesis que utilizarías en los siguientes casos.
1. Una empresa de telefonía móvil ha lanzado una nueva actualización de software. Te han pedido que encuentres pruebas estadísticas que apoyen su afirmación de que la actualización de software ha mejorado la duración de la batería.
2. Una tienda de animales vende cachorros de Corgi galés de dos criadores diferentes. Quieren determinar si existe una diferencia significativa entre los pesos de los cachorros de cada criador.
Solución
1. Para realizar este experimento, necesitarías recoger muestras de información sobre la duración de la batería del teléfono antes y después de la actualización del software. Dado que las muestras se tomarán de la misma población después de realizar un cambio, no son independientes. Por lo tanto, necesitarás utilizar una prueba t pareada.
2. En este caso, tendrías que tomar muestras de pesos de dos criadores distintos y, por tanto, de dos distribuciones independientes. Debes suponer que las poblaciones tienen las mismas varianzas, por lo que tendrás que utilizar una estimación conjunta de la varianza para hallar el valor t y no una prueba t pareada.
Prueba de hipótesis para la diferencia de dos medias
La prueba de hipótesis para la diferencia de dos medias sigue estos pasos:
Halla la hipótesis nula y la hipótesis alternativa, \(H_0\) y \(H_1\).
Determina el nivel de significación de las preguntas, \(\alfa).
Determina el número de grados de libertad, \(\upsilon\).
Halla la región crítica.
Calcula la estimación conjunta de la varianza, \(s^2_p\).
Calcula \(t\).
Compara el valor de \(t\) con tu región crítica y expón tu conclusión, abordando si el resultado es significativo, y qué significa esto en el contexto de la pregunta.
A continuación, veamos las hipótesis que necesitarás para hacer la prueba.
Hipótesis nula para comparar dos medias
Al comparar dos medias, tu hipótesis nula afirmará que la diferencia entre las dos poblaciones que estás probando es igual a cero. En otras palabras, la hipótesis nula es que no hay diferencia entre las medias poblacionales.
Las muestras se toman de dos distribuciones, \(X\) y \(Y\), bajo el supuesto de que son independientes y se distribuyen normalmente.
Para realizar una prueba de hipótesis sobre la diferencia entre las medias de estas distribuciones, utiliza la siguiente hipótesis nula,
\[H_0:\, \mu _x =\mu _y.\]
¿Y la hipótesis alternativa?
Hipótesis alternativa para comparar dos medias
La hipótesis alternativa para comparar dos medias dependerá de si quieres comprobar si una distribución concreta es mayor que la otra (prueba de una cola), o simplemente si hay alguna diferencia (prueba de dos colas).
Cuando utilices una prueba de dos colas, ¡recuerda dividir el nivel de significación entre las dos colas!
Recuerda leer atentamente la pregunta para determinar qué tipo de hipótesis alternativa debes utilizar.
Las muestras se toman de dos distribuciones, \(X\) y \(Y\), bajo el supuesto de que son independientes y se distribuyen normalmente.
En el caso de que quieras probar si las medias son diferentes (es decir, una prueba de dos colas), tendrás la siguiente hipótesis alternativa,
\[H_1:\, \mu _x \neq \mu _y.\]
En el caso de que quieras probar si la media de \(X\) es mayor que la media de \(Y\) (es una prueba de una cola), tendrás la siguiente hipótesis alternativa ,
\[H_1:\, \mu _x > \mu _y.\]
Veamos a continuación algunos de los cálculos implicados.
Comparación de dos medias poblacionales Pruebas de hipótesis: Cálculos
Al comprobar la diferencia entre medias, tendrás que realizar algunos cálculos adicionales para hallar la estimación conjunta de la varianza y el valor de \(t\) que deseas comprobar.
Utilizando las varianzas muestrales, \(s^2_x\) y \(s^2_y\), y el tamaño de cada muestra, \(n_x\) y \(n_y\), la estimación conjunta de la varianza viene dada por la fórmula
\[s^2_p=\frac{(n_x-1)s^2_x+(n_y-1)s^2_y}{(n_x-1)+(n_y-1)}.\]
Una vez hallado \(s^2_p\), tendrás que encontrar el valor \(t\)-crítico que lo acompaña.
Dadas las medias y varianzas de las muestras \(\bar{x}\), \(\bar{y}\), \(s^2_x) y \(s^2_y\) y la estimación conjunta de la varianza \(s^2_p\), el valor crítico\( t\)\(t^*\) es:
\[t^*=\frac{(\bar{x}-\bar{y})-(\mu _x - \mu _y)}{sqrt{s^2_p\left(\dfrac{1}{n_x}+\dfrac{1}{n_y}\right)}}.
Prueba de hipótesis Ejemplos de dos medias poblacionales
A continuación, veamos un par de ejemplos sobre cómo utilizar y calcular estos estadísticos en una prueba de hipótesis real.
Una tienda de animales vende cachorros de Corgi galés en nombre de dos criadores de cachorros, \(X\) y \(Y\). Han tomado muestras de los pesos de los cachorros de cada criador.
Fig. 1 - ¡Los cachorros siempre mejoran las matemáticas!
Pesos de los cachorros del criador \(X\) en kilogramos: \(5.44,5.32,5.21,5.67.\)
Peso de los cachorros del criador \(Y\) en kilogramos: \(5.02,4.99,5.42,5.21,5.11.\)
La tienda de animales desea saber si existe una diferencia estadísticamente significativa entre los pesos de los cachorros de cada criador.
a. Si quisieras comprobar la diferencia entre los pesos de los cachorros, ¿qué suposiciones habría que hacer?
b. Prueba si la media de los pesos de los cachorros de los dos criadores es diferente al nivel de confianza \(10\%\).
Solución
a. Para probar la diferencia en los pesos de los cachorros, las suposiciones que hay que hacer son que las muestras de cachorros se distribuyen normalmente, son independientes y tienen las mismas varianzas.
b. La prueba es de dos colas, por lo que las hipótesis son,
\[ \begin{align} &H_0:\, \mu _x=\mu _y \\_ &H_1: \,\mu _x \neq \mu _y.\final{align}\}]
Se trata de una prueba de dos colas, ya que la hipótesis alternativa es que los pesos medios son diferentes. El nivel de significación es \(10\)%, por lo que la región crítica tendrá la probabilidad de \(0,05\) en cada cola de la distribución.
El número de grados de libertad es
\[\upsilon = (4-1)+(5-1)=7.\]
Para hallar los grados de libertad en este caso, tienes que sumar los grados de libertad de cada muestra. O puedes utilizar la fórmula \(\upsilon = n_x+n_y-2\).
El valor crítico puede hallarse utilizando una calculadora o tablas de probabilidad:
\[t_{\upsilon =7}(0.05)=1.895.\]
A continuación, halla la estimación conjunta de la varianza. Deberías tener \(\bar{x}=5,41\) y \(\bar{y}=5,17.\)
Las varianzas de las muestras son \(s^2_x=0,038866667 \) y \(s^2_y=0,03015\).
Por tanto, la estimación conjunta de la varianza es
\[\begin{align} s^2_p &= \frac{(n_x-1)s^2_x+(n_y-1)s^2_y}{(n_x-1)+(n_y-1)} \&= \frac{(4-1)0,038867 +(5-1)0,03015 }{(4-1)+(5-1)}{0,033886 \text{ a 5 s.f.} \end{align}\]
Tu valor de \(t^*\) es entonces:
\[\begin{align} t&=\frac{(\bar{x}-\bar{y})-(\mu _x - \mu _y)} {\sqrt{s^2_p\left(\dfrac{1}{n_x}+\dfrac{1}{n_y}\right)}\frac{(5.41-5.17)-(0)}{\sqrt{0.033886\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}\right)}}\\&=1.9435\end{align}\]
Como \(t^*=1,9435>1,895=t_\upsilon\), tu valor de \(t^*\) cae dentro de la región crítica. Por tanto, al nivel de significación \(10\)%, puedes rechazar la hipótesis nula.
En conclusión, hay pruebas en que sugieren que existe una diferencia entre las medias de los pesos de los cachorros de Corgi galés de los dos criadores.
Este segundo ejemplo es ligeramente distinto del primero. Habrá que adaptar ligeramente el método.
Un servicio de reparto de comida, \(A\), afirma que su tiempo medio de entrega de comida es más de \(5\) minutos más rápido que el tiempo de entrega de su competidor, \(B\).
Se recoge una muestra aleatoria de los tiempos de entrega de cada empresa:
- Tiempo de entrega de comida para \(A\), en minutos: \(22,16,45,23,39,32.\)
- Tiempo de entrega de la comida para \(B\), en minutos: \(34,42,63,18,25,46,47.\)
El servicio de entrega de comida a domicilio \(B\) te contrata para que compruebes si esta afirmación es estadísticamente significativa al nivel de significación \(10\%\). Completa una prueba de hipótesis para la diferencia entre medias y explica lo que esto significa para los dos servicios de reparto de comida.
Solución
Como las muestras son independientes, la hipótesis nula sería normalmente que las dos medias son iguales. Sin embargo, la afirmación es que el servicio \(A\) tarda de media \(5\) minutos menos que su competidor, por lo que la hipótesis nula es en cambio \(\mu _A=\mu _B -5 \). Como sólo te interesa saber si el tiempo de entrega de la comida es mayor para un servicio, las hipótesis son:
\[ \begin{align} &H_0:\,\mu _A=\mu _B -5 \\_ &H_1: \,\mu_A < \mu _B-5. \end{align}\]
Se trata de una prueba de una cola. El nivel de significación es \(10\)%, por lo que la región crítica tendrá la probabilidad de \(0,10\) en la cola izquierda de la distribución.
El número de grados de libertad es
\[\upsilon = (6-1)+(7-1)=11.\]
El valor crítico puede hallarse utilizando una calculadora o tablas de probabilidad,
\[t_{\upsilon =11}(0.10)=1.363.\]
Como sólo te interesa saber si \(\mu _a\) es menor que \(\mu _b -5\), el valor crítico es \(t_\upsilon = -1,363\).
Si la hipótesis alternativa hubiera sido mayor que, habrías utilizado \(t_\upsilon = 1,363\) en su lugar.
A continuación, halla la estimación conjunta de la varianza. Tienes \(\bar{a}=29,5\) y \(\bar{b}=39,3\). Las varianzas de las muestras son \(s^2_a=123,50 \) y \(s^2_b=226,57\). Por tanto, la estimación conjunta de la varianza es
\[\begin{align} s^2_p &= \frac{(n_a-1)s^2_a+(n_b-1)s^2_b}{(n_a-1)+(n_b-1)} \&= \frac{(6-1)123,50 +(7-1)226,57 }{(6-1)+(7-1)} \&=179,72\text{ a 5 s.f.} \end{align}\]
Por tanto, el valor de \(t^*\) es
\[\begin{align} t^*&=\frac{(\bar{a}-\bar{b})-(\mu _a - \mu _b)} {\sqrt{s^2_pleft(\dfrac{1}{n_a}+\dfrac{1}{n_b}{right)}\}=\dfrac{(29.5 -39.3)-(-5)}{\sqrt{179.72 \left(\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7}\right)}}\\&=-0.64357.\end{align}\]
Como la hipótesis nula afirma que \(\mu _x=\mu _y-5\), tendrás \(\mu _x-\mu _y=-5\).
Como \(t^*=-0,64357>-1,363=t_\silon \), el valor de \(t\) cae dentro de la región de aceptación. Por tanto, al nivel de significación \(10\%\), no se rechaza la hipótesis nula.
Esto significa que no hay pruebas suficientes que sugieran que el servicio de entrega \(A\) tiene un plazo de entrega superior a \(5\) minutos más rápido que el servicio de entrega \(B\).
Para una explicación más detallada de la estimación conjunta de la varianza, consulta el artículo Estimación conjunta de la varianza.
Prueba de hipótesis de comparación de dos medias - Puntos clave
- La distribución \(t\)- puede utilizarse para probar las medias de dos distribuciones normales independientes cuando se desconocen las varianzas
- Los supuestos son que las poblaciones son independientes, normales y tienen la misma varianza
- La fórmula de la estimación conjunta de la varianza es \[s^2_p=\frac{(n_x-1)s^2_x+(n_y-1)s^2_y}{(n_x-1)+(n_y-1)}.\].
- El valor \(t^*\) es \[t^*=\dfrac{(\bar{x}-\bar{y})-(\mu _x - \mu _y)}{cuadrado{s^2_p\ izquierda(\dfrac{1}{n_x}+\dfrac{1}{n_y}{derecha)}}.
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