Prueba de hipótesis para comparar dos medias

Describe el tipo de prueba de hipótesis que utilizarías en los siguientes casos.

1. Una empresa de telefonía móvil ha lanzado una nueva actualización de software. Te han pedido que encuentres pruebas estadísticas que apoyen su afirmación de que la actualización de software ha mejorado la duración de la batería.

2. Una tienda de animales vende cachorros de Corgi galés de dos criadores diferentes. Quieren determinar si existe una diferencia significativa entre los pesos de los cachorros de cada criador.

Solución

1. Para realizar este experimento, necesitarías recoger muestras de información sobre la duración de la batería del teléfono antes y después de la actualización del software. Dado que las muestras se tomarán de la misma población después de realizar un cambio, no son independientes. Por lo tanto, necesitarás utilizar una prueba t pareada.

2. En este caso, tendrías que tomar muestras de pesos de dos criadores distintos y, por tanto, de dos distribuciones independientes. Debes suponer que las poblaciones tienen las mismas varianzas, por lo que tendrás que utilizar una estimación conjunta de la varianza para hallar el valor t y no una prueba t pareada.

Una tienda de animales vende cachorros de Corgi galés en nombre de dos criadores de cachorros, $X$ y $Y$. Han tomado muestras de los pesos de los cachorros de cada criador.

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Pesos de los cachorros del criador $X$ en kilogramos: $5.44,5.32,5.21,5.67.$

Peso de los cachorros del criador $Y$ en kilogramos: $5.02,4.99,5.42,5.21,5.11.$

La tienda de animales desea saber si existe una diferencia estadísticamente significativa entre los pesos de los cachorros de cada criador.

a. Si quisieras comprobar la diferencia entre los pesos de los cachorros, ¿qué suposiciones habría que hacer?

b. Prueba si la media de los pesos de los cachorros de los dos criadores es diferente al nivel de confianza $10\mathrm{\%}$.

Solución

a. Para probar la diferencia en los pesos de los cachorros, las suposiciones que hay que hacer son que las muestras de cachorros se distribuyen normalmente, son independientes y tienen las mismas varianzas.

b. La prueba es de dos colas, por lo que las hipótesis son,

\[ \begin{align} &H_0:\, \mu _x=\mu _y \_ &H_1: \,\mu _x \neq \mu _y.\final{align}\}]

Se trata de una prueba de dos colas, ya que la hipótesis alternativa es que los pesos medios son diferentes. El nivel de significación es $10$%, por lo que la región crítica tendrá la probabilidad de $0,05$ en cada cola de la distribución.

El número de grados de libertad es

$$\upsilon =(4-1)+(5-1)=7.$$

El valor crítico puede hallarse utilizando una calculadora o tablas de probabilidad:

$$t_{\upsilon =7}(0.05)=1.895.$$

A continuación, halla la estimación conjunta de la varianza. Deberías tener $\overline{x}=5,41$ y $\overline{y}=5,17.$

Las varianzas de las muestras son $s_x^2=0,038866667$ y $s_y^2=0,03015$.

Por tanto, la estimación conjunta de la varianza es

\[\begin{align} s^2_p &= \frac{(n_x-1)s^2_x+(n_y-1)s^2_y}{(n_x-1)+(n_y-1)} \&= \frac{(4-1)0,038867 +(5-1)0,03015 }{(4-1)+(5-1)}{0,033886 \text{ a 5 s.f.} \end{align}\]

Tu valor de $t^{\ast }$ es entonces:

\[\begin{align} t&=\frac{(\bar{x}-\bar{y})-(\mu _x - \mu _y)} {\sqrt{s^2_p\left(\dfrac{1}{n_x}+\dfrac{1}{n_y}\right)}\frac{(5.41-5.17)-(0)}{\sqrt{0.033886\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}\right)}}\&=1.9435\end{align}\]

Como $t^{\ast }=1,9435>1,895=t_{\upsilon }$, tu valor de $t^{\ast }$ cae dentro de la región crítica. Por tanto, al nivel de significación $10$%, puedes rechazar la hipótesis nula.

En conclusión, hay pruebas en que sugieren que existe una diferencia entre las medias de los pesos de los cachorros de Corgi galés de los dos criadores.

Un servicio de reparto de comida, $A$, afirma que su tiempo medio de entrega de comida es más de $5$ minutos más rápido que el tiempo de entrega de su competidor, $B$.

Se recoge una muestra aleatoria de los tiempos de entrega de cada empresa:

• Tiempo de entrega de comida para $A$, en minutos: $22,16,45,23,39,32.$
• Tiempo de entrega de la comida para $B$, en minutos: $34,42,63,18,25,46,47.$

El servicio de entrega de comida a domicilio $B$ te contrata para que compruebes si esta afirmación es estadísticamente significativa al nivel de significación $10\mathrm{\%}$. Completa una prueba de hipótesis para la diferencia entre medias y explica lo que esto significa para los dos servicios de reparto de comida.

Solución

Como las muestras son independientes, la hipótesis nula sería normalmente que las dos medias son iguales. Sin embargo, la afirmación es que el servicio $A$ tarda de media $5$ minutos menos que su competidor, por lo que la hipótesis nula es en cambio ${\mu }_A={\mu }_B-5$. Como sólo te interesa saber si el tiempo de entrega de la comida es mayor para un servicio, las hipótesis son:

$$\text{Missing open brace for subscript}$$

Se trata de una prueba de una cola. El nivel de significación es $10$%, por lo que la región crítica tendrá la probabilidad de $0,10$ en la cola izquierda de la distribución.

El número de grados de libertad es

$$\upsilon =(6-1)+(7-1)=11.$$

El valor crítico puede hallarse utilizando una calculadora o tablas de probabilidad,

$$t_{\upsilon =11}(0.10)=1.363.$$

Como sólo te interesa saber si ${\mu }_a$ es menor que ${\mu }_b-5$, el valor crítico es $t_{\upsilon }=-1,363$.

A continuación, halla la estimación conjunta de la varianza. Tienes $\overline{a}=29,5$ y $\overline{b}=39,3$. Las varianzas de las muestras son $s_a^2=123,50$ y $s_b^2=226,57$. Por tanto, la estimación conjunta de la varianza es

$$\begin{array}{rl}{s}_p^2& =\frac{(n_a-1)s_a^2+(n_b-1)s_b^2}{(n_a-1)+(n_b-1)}\mathrm{\&}=\frac{(6-1)123,50+(7-1)226,57}{(6-1)+(7-1)}\mathrm{\&}=179,72\text{ a 5 s.f.}\end{array}$$

Por tanto, el valor de $t^{\ast }$ es

\[\begin{align} t^*&=\frac{(\bar{a}-\bar{b})-(\mu _a - \mu _b)} {\sqrt{s^2_pleft(\dfrac{1}{n_a}+\dfrac{1}{n_b}{right)}\}=\dfrac{(29.5 -39.3)-(-5)}{\sqrt{179.72 \left(\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7}\right)}}\&=-0.64357.\end{align}\]

Como $t^{\ast }=-0,64357>-1,363=t_{\text{silon}}$, el valor de $t$ cae dentro de la región de aceptación. Por tanto, al nivel de significación $10\mathrm{\%}$, no se rechaza la hipótesis nula.

Esto significa que no hay pruebas suficientes que sugieran que el servicio de entrega $A$ tiene un plazo de entrega superior a $5$ minutos más rápido que el servicio de entrega $B$.