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Supuestos de la prueba t pareada
Es importante saber cuándo necesitas una prueba emparejada en lugar de una prueba más estándar. Si
controlas a una persona antes y después de un tratamiento, o
estás utilizando a un gemelo como control y al otro como sujeto de la prueba,
entonces utilizarías una prueba \(t\)-emparejada.
En un experimento emparejado te interesa la diferencia entre los resultados, más que los resultados en sí.
Supongamos que en tu escuela te hacen un examen previo, luego te enseñan la información y luego te hacen el examen real. La escuela está intentando ver si la enseñanza es realmente eficaz. En otras palabras, los alumnos son los sujetos del examen, el tratamiento es la enseñanza, y a la escuela le interesa la diferencia entre los resultados del pre-test y los del examen real.
Si no hay diferencia entre los resultados del pre-test y los del examen real, la escuela sabrá que tiene que cambiar la forma de enseñar la información.
El principal supuesto para utilizar una prueba t emparejada, aparte del hecho de que tienes datos emparejados, es que las diferencias en los datos se distribuyen normalmente.
Definición de prueba t pareada
Una prueba \(t\)-t emparejada, también conocida como prueba \(t\)-t de muestras emparejadas, se utiliza para comparar si la diferencia de medias entre pares de medidas es cero o no.
Lossujetos emparejados, también llamados muestras emparejadas o pares emparejados, son dos mediciones que no son independientes entre sí.
En el ejemplo anterior, la escuela se fijaría en la puntuación del examen previo de un alumno concreto y la compararía con la puntuación real del examen de ese alumno. Esas dos puntuaciones no son independientes, porque se trata del mismo alumno que realiza tanto la preprueba como el examen real. Las dos puntuaciones son pares coincidentes.
Si tuvieras muestras independientes, entonces utilizarías una prueba de hipótesis diferente. Consulta el artículo Prueba de hipótesis para dos distribuciones normales en el caso de muestras independientes.
Aunque los pares emparejados no sean independientes, las diferencias en las medidas deben ser independientes. ¿Qué significa esto?
En el ejemplo de los exámenes, tendrías que suponer que los alumnos no se hacen trampas unos a otros. Si el alumno A hiciera trampas en los exámenes del alumno B, las diferencias entre la puntuación del pre-test y la del examen de los alumnos A y B no serían independientes. En ese caso, no podrías utilizar una prueba \(t\)-pareada.
Dado que uno de los supuestos para utilizar una prueba t pareada es que las diferencias se distribuyen normalmente, puedes tratar las diferencias como si fueran una muestra aleatoria de una distribución t, y luego hacer la prueba de hipótesis como si tuvieras una sola muestra. Para más información sobre cómo hacer este tipo de prueba de hipótesis, consulta el artículo Prueba de hipótesis para la diferencia entre dos medias.
En general, cuando haces una prueba \(t\)-pareada no conocerás la varianza de la población, y el número de pares emparejados será relativamente pequeño.
Pruebas t emparejadas frente a no emparejadas
Es muy importante comprender cuándo se utiliza una prueba t estándar frente a una prueba t emparejada. Recuerda que una prueba t no emparejada se utiliza para comparar las medias de dos muestras independientes y determinar si existe una diferencia significativa entre ambas.
La diferencia clave entre las pruebas \( t\) emparejadas y no emparejadas es que las pruebas\ (t\)emparejadas prueban en la diferencia entre la media de dos muestras.
Supongamos que quieres saber si al cambiar la distribución de una tienda de ropa es más probable que la gente compre en esa tienda. Quieres comparar las ventas antes y después de cambiar la distribución. Los dos conjuntos de datos no son independientes (estás comparando las ventas antes y después), por lo que se utilizaría una prueba \(t\)-pareada.
Por otra parte, si quieres ver si dos tiendas diferentes que tienen una distribución similar tienen un número similar de personas que compran en ellas, utilizarías una prueba \(t\)-no emparejada, porque las muestras son independientes.
¿Qué pasa con los grados de libertad de la prueba?
Pruebas t emparejadas : grados de libertad
Una prueba t pareada funciona exactamente igual que una prueba t normal a la hora de calcular los grados de libertad. Los grados de libertad son iguales al tamaño de la muestra menos \(1\): \(\upsilon =n-1\).
Entonces, ¿qué es \(n\)? En una prueba \(t\)-pareada, las dos muestras tomadas comparten el mismo tamaño muestral, por lo que \(n\) es sólo el número de pares emparejados.
Fórmula de la prueba t emparejada
Por supuesto, es útil tener una definición más formal de la fórmula de una prueba t emparejada.
En un experimento pareado en el que \(n\) es pequeño y \(\sigma ^2) es desconocido, si la diferencia entre dos medias poblacionales, \(D\), se distribuye como \(\text{N}(\mu _D, \sigma ^2)\), entonces
\[t=\dfrac{\bar{D}-\mu _D}{\dfrac{S}{\sqrt{n}}}\sim t_{n-1}\]
donde \(\bar{D}\) es la media de las diferencias entre las dos muestras.
La clave aquí es que tendrás que tomar lamedia de las diferencias en lugar de la media de las muestras reales.
Ejemplos de pruebas t de muestras pareadas
Veamos un par de ejemplos.
Supongamos que intentas ver si una loción medicada para la piel funciona mejor que una no medicada. Así que reúnes a un grupo de \(20\) personas con piel seca en los pies. Durante una semana, se frotan el pie izquierdo con una loción cutánea medicada y el pie derecho con una loción cutánea no medicada. Al final de la semana, compruebas el nivel de sequedad de cada pie. ¿Es ésta una situación en la que utilizarías una prueba \(t\)-pareada?
Solución
Observa que el tamaño de la muestra es relativamente pequeño y que no conoces la varianza de las poblaciones. Así que está indicada una prueba \(t\)-pareada. La cuestión es si utilizarías o no una prueba \(t) emparejada.
Estás comprobando el nivel de sequedad del pie izquierdo y derecho de la misma persona, y observando la diferencia. Como estás observando los pies de la misma persona, se trata de datos apareados. Los datos que recoges de una persona son independientes de los datos que recoges de otra persona, por lo que las diferencias son independientes. Por tanto, puedes utilizar una prueba \(t\)-pareada siempre que supongas que las diferencias de los datos se distribuyen normalmente.
¿Y si la situación cambia un poco?
Supongamos que intentas ver si una loción medicada para la piel funciona mejor que una no medicada. Así que reúnes a un grupo de \(20\) personas con piel seca en los pies. Durante una semana, la mitad de ellos se frotan los pies con una loción cutánea medicada, y la otra mitad del grupo se frota los pies con una loción cutánea no medicada. Al final de la semana, compruebas el nivel de sequedad de los pies de las personas. ¿Es ésta una situación en la que utilizarías una prueba \(t\)-pareada?
Solución
Observa que la principal diferencia entre este ejemplo y el anterior es que no hay emparejamiento. En realidad tienes dos grupos separados de sujetos que reciben tratamientos diferentes, y no hay forma de emparejar los datos de forma significativa. Así que, aunque el pequeño tamaño de la muestra indicaría que se utilizaría una prueba \(t\), no sería una prueba \(t\) emparejada.
Prueba T emparejada - Puntos clave
- Para hacer una prueba T pareada, necesitarás que los datos sean pareados, que las diferencias entre las medidas sean independientes y que las diferencias tengan una distribución aproximadamente normal.
- Los grados de libertad de una prueba \(t\)-pareada son \(\upsilon =n-1\).
- En un experimento pareado en el que \(n\) es pequeño y \(\sigma ^2) es desconocido, si la diferencia entre dos medias poblacionales, \(D\), se distribuye como \(\text{N}(\mu _D, \sigma ^2)\), entonces\[t=\dfrac{\bar{D}-\mu _D}{\dfrac{S}{\sqrt{n}}} \sim t_{n-1}]donde \(\bar{D}\) es la media de las diferencias entre las dos muestras.
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