Pruebas de hipótesis para la pendiente de un modelo de regresión

Significado de la prueba de hipótesis para la pendiente de regresión

Supongamos que, para hallar la relación entre dos variables, has utilizado la regresión lineal para obtener una ecuación \[\hat{y}=\alpha+\beta x.\].

En teoría, esta ecuación debería permitirte predecir valores de \(y\), evaluando en \(x\), es decir, \(y\approx\hat{y}(x)\).

Pero, ¿cómo puedes estar seguro de que la ecuación de regresión lineal obtenida es buena para predecir los valores de \(y\)? Como hemos dicho al principio, una prueba de hipótesis puede ayudarte.

La prueba de hipótesis se basa en calcular la probabilidad de obtener una muestra como la tuya, si se asumen ciertas condiciones, en este caso, asumiendo la pendiente de regresión obtenida, cuál es la probabilidad de obtener la muestra en cuestión.

Importancia de la prueba de hipótesis para la pendiente de regresión

Siempre que utilices la regresión lineal para modelizar el comportamiento de dos conjuntos de datos que están relacionados, la pendiente de regresión que obtienes es una estimación de cómo cambia un dato respecto al otro.

Normalmente, esta ecuación de regresión lineal cambia cada vez que tomas una muestra diferente, por lo que tiene sentido preguntarse si el valor real de la pendiente de la población es similar al que obtienes de la muestra utilizando la regresión lineal.

Las siguientes imágenes muestran los gráficos de dispersión de \(2\) conjuntos de datos con su respectiva recta de regresión.

Una buena recta de regresión debería permitirte predecir los valores \(y-\)conociendo los valores \(x-\)con bastante exactitud. Si observas la primera imagen, te darás cuenta de que, como los puntos están cerca de la recta, la recta de regresión es buena.

Fig. 1 - Un diagrama de dispersión con una buena recta de regresión

En cambio, en la segunda imagen, varios valores están lejos de los valores predichos por la recta de regresión. Por este motivo, se puede decir que la recta de regresión no es tan buena.

Fig. 2 - Gráfico de dispersión con una mala recta de regresión

En situaciones como la del gráfico anterior, tiene sentido dudar de lo buena que es la recta de regresión obtenida.

Prueba de hipótesis para los coeficientes de regresión

Hay muchas pruebas de hipótesis que se pueden realizar sobre la pendiente de la recta de regresión. Consisten en tener una hipótesis nula, que puede ser

\[H_0:\; \beta=\beta_0,\]

es decir, que la pendiente de la regresión es igual a un valor determinado.

Mientras que la hipótesis alternativa será alguna forma de negación de la hipótesis nula, como por ejemplo

• \( H_a:\;\beta>\beta_0 \);

• \(H_a:\; \beta<\beta_0 \); o

• \( H_a:\; \beta\neq\beta_0 \).

Aunque la pendiente de una recta de regresión puede tener muchos valores, las pruebas de hipótesis generalmente sólo se centran en responder: ¿Es la pendiente diferente de cero? Si es distinta de cero, entonces podrás utilizarla para hacer predicciones. Por lo tanto, este artículo sólo se centrará en formular este tipo de hipótesis.

¿Por qué no puedes utilizar una recta de regresión con pendiente cero para hacer predicciones? Una recta de regresión con pendiente cero significa que los datos de \(y\) no dependen de \(x\), es decir, conocer el valor de \(x\) no te permite predecir el valor de \(y\) utilizando la recta de regresión. Esto significa que la recta de regresión no es útil.

Condiciones para la prueba de hipótesis de la pendiente de regresión

Para poder hacer inferencias sobre los coeficientes de la recta de regresión, debes asegurarte de que tus datos cumplen las siguientes condiciones:

1. Linealidad: El diagrama de dispersión de los datos parece recto.

2. Independencia: Los residuos deben ser independientes (consulta el artículo Residuos para obtener más información al respecto).

3. Igualdad de varianza: La desviación típica de los valores de \(y\) debe ser casi igual para todos los valores de \(x\).

4. Población normal: Los valores \(y\)- se distribuyen normalmente para cualquier valor de \(x\).

Métodos de prueba de hipótesis para la pendiente de regresión

Recuerda que en este artículo sólo aprenderás a realizar la prueba de hipótesis para demostrar que la pendiente de la recta de regresión es distinta de cero. Por tanto, el procedimiento es el siguiente:

Paso 1. Plantea las hipótesis.

La hipótesis nula y la hipótesis alternativa vienen dadas por

\[\begin{align} &H_0\\; :\beta=0 \\\\\ H_a:\\a;\beta\neq 0. \end{align}\]

La hipótesis nula afirma que la pendiente es cero, lo que equivale a decir que no existe una relación lineal útil entre \(x\) y \(y\), mientras que la hipótesis alternativa afirma que existe una relación lineal útil.

Paso 2. Determina el nivel de significación que vas a utilizar.

Normalmente, el nivel de significación \(\alfa) se toma como \(0,05\), pero también puedes considerar \(0,01\), o \(0,1\).

Paso 3. Halla el estadístico de la prueba y el valor \(p-\)correspondiente.

Para este paso, necesitas el error típico de la pendiente, la pendiente de la regresión lineal, los grados de libertad (para muestras que tienen \(n\) pares de datos, los grados de libertad son \(n-2\)) y el valor \(p-\)asociado al estadístico de prueba.

La estadística de la prueba viene dada por

\[t=frac{b}{s_b},\]

donde \(b\) es la pendiente de la recta de regresión de la muestra, y el error típico \(s_b\) viene dado por

\[s_b=\frac{s_e}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\mu_x)^2}}\]

donde

\[s_e=\sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^n(y_i-\hat{y})^2}{n-2}}.\]

También necesitarás los grados de libertad de la distribución "t". Como se trata de datos emparejados (el valor de \(x\) está emparejado con un valor de \(y\)), hay \(n-2\) grados de libertad.

Paso 4. Interpreta los resultados.

Si el resultado obtenido en la muestra es inusual, dada la hipótesis nula, entonces se rechaza la hipótesis nula.

Este paso consiste en comparar el valor \(p\)- obtenido con el nivel de significación, y se rechaza la hipótesis nula si el valor \(p\)- es menor que el nivel de significación. En caso contrario, no podrás rechazar la hipótesis nula.

Ejemplo de prueba de hipótesis para la pendiente de regresión