La regla empírica puede utilizarse para juzgar la probabilidad de ciertos valores en un conjunto de datos, así como para comprobar si hay valores atípicos en tu conjunto de datos y mucho más. ¿Qué es la regla empírica y cómo se relaciona con las distribuciones normales y las desviaciones típicas?
Definición de la regla empírica
La regla empírica recibe varios nombres, a veces se denomina regla del \(95 \%\), regla de los tres sigmas o regla del \(68\)-\(95\)-\(99,7\).
Suele denominarse regla empírica, ya que es una regla basada en muchas observaciones de conjuntos de datos, no una prueba matemática lógica o definitiva.
La regla empírica es una regla estadística basada en observaciones que muestran que casi todos los datos de una distribución normal de datos se sitúan dentro de las tres desviaciones típicas de la media.
¿De dónde vienen los otros nombres? Bueno, hay aún más cosas que la regla empírica puede decirte, y las pistas están en los nombres. Se trata de los porcentajes y la desviación típica.
Porcentajes de la regla empírica
Como ya hemos dicho, uno de los nombres de la regla empírica es regla \ (68\)-\(95\)-\(99,7\). En realidad, este nombre es bastante revelador cuando examinamos la regla empírica en su totalidad. Dice así
Para un conjunto de datos distribuidos normalmente, aproximadamente \(68\%\) de las observaciones se sitúan dentro de una desviación típica de la media, aproximadamente \(95\%\) de las observaciones se sitúan dentro de dos desviaciones típicas de la media , y aproximadamente \(99,7\%\) de las observaciones se sitúan dentro de tres desviaciones típicas de la media.
\(68\%\), \(95\%\), \(99,7\%\), ¿lo pillas?
Si recuerdas esos tres porcentajes, podrás utilizarlos para inferir todo tipo de conjuntos de datos con distribución normal.
Pero espera un momento, a veces también se llama regla de los tres sigmas, ¿a qué viene eso?
Bueno, el símbolo de la desviación típica es sigma, \(\sigma\). A veces se llama regla de los tres sigmas porque afirma que casi todas las observaciones se sitúan a tres sigmas de la media.
Es una convención habitual considerar atípicas las observaciones que se sitúan fuera de esas tres sigmas . Esto significa que no son observaciones típicamente esperadas, y no son indicativas de la tendencia general. En algunas aplicaciones, el listón de lo que se considera un valor atípico puede estar explícitamente establecido en otra cosa, pero tres sigmas es una buena regla general.
Veamos qué aspecto tiene todo esto puesto en un gráfico.
Gráfico de la distribución normal con regla empírica
Tomemos como ejemplo la siguiente distribución normal con una media de \(m\) y una desviación típica de \(\sigma\).
Fig. 1. Curva de distribución normal .
Es posible dividirla según la regla empírica.
Fig. 2. La regla empírica.
Esta representación gráfica demuestra realmente las principales conclusiones que podemos sacar de la regla empírica. Está muy claro que prácticamente todas las observaciones se sitúan dentro de las tres desviaciones típicas de la media. Muy de vez en cuando puede haber valores atípicos, pero son extremadamente raros.
La mayor parte se encuentra claramente entre \(-\sigma\) y \(\sigma\), tal como establece la regla empírica.
Puede que estés pensando: "¡Genial, esta regla parece útil, voy a utilizarla todo el tiempo! Pero ten cuidado. La regla empírica sólo es válida para los datos que se distribuyen normalmente.
Ejemplos de regla empírica
Veamos algunos ejemplos para ver cómo podemos poner todo esto en práctica.
(1) Se miden las estaturas de todas las alumnas de una clase. Se comprueba que los datos tienen una distribución aproximadamente normal, con una altura media de 1,5 m y una desviación típica de 1,2. Hay 12 alumnas en la clase. En la clase hay 12 alumnas.
( a) Utilizando la regla empírica, ¿cuántas de las alumnas están aproximadamente entre \(1,65 m,2) y \(1,65 m,4)?
( b) Utilizando la regla empírica, ¿cuántos alumnos están aproximadamente entre \(1,5 m,8 m) y \(1,5 m)?
(c) Un alumno tiene una altura de \(1,5m,9m), ¿puede considerarse un caso atípico?
Solución:
(a ) \(5ft\,4\) es la media más una desviación típica. La regla empírica establece que \(68\%\) de las observaciones caerán dentro de una desviación típica de la media. Como la pregunta sólo se refiere a la mitad superior de este intervalo, será \(34\%\). Por tanto,
\[0,34 \cdot 12 = 4,08\]
El número de alumnas de la clase con una estatura comprendida entre \(1,65 m,2\) y \(1,65 m,4\) es \(4\).
(b ) \(4ft\,8\) es la media menos dos desviaciones típicas, y \(5ft\) es la media menos una desviación típica. Según la regla empírica, \(95\%\) de las observaciones caen dentro de dos desviaciones típicas de la media, y \(68\%\) de las observaciones caen dentro de una desviación típica de la media.
Como la pregunta sólo se refiere a las mitades inferiores de estos intervalos, pasan a ser \(47,5\%\) y \(34\%\) respectivamente. El intervalo que buscamos es la diferencia entre estos dos.
\[47.5\% - 34\% = 13.5\%\]
Por tanto,
\[0,135 \cdot 12 = 1,62\%]
El número de alumnas de la clase con una estatura comprendida entre \(4ft\,8\) y \(5ft\) es \(1\).
(c ) \(5ft\,9\) es más de \(3\) desviaciones típicas mayor que la media, por lo que esta alumna puede considerarse un valor atípico.
(2 ) Un ecólogo registra anualmente la población de zorros de un bosque durante diez años. Comprueba que, por término medio, hay \(150\) zorros viviendo en el bosque en un año determinado de ese período, con una desviación típica de \(15\) zorros. Los datos tienen una distribución aproximadamente normal.
( a) Según la regla empírica, ¿qué intervalo de tamaño de la población cabría esperar a lo largo de los diez años?
(b ) ¿Cuáles de los siguientes se considerarían valores poblacionales periféricos?
\[ 100, \space 170, \space 110, \space 132 \]
Respuesta:
(a) Según la regla empírica, cualquier observación que no esté dentro de las tres desviaciones típicas de la media suele considerarse un valor atípico. Por tanto, nuestro rango es
\[ \mu - 3\sigma < P < \mu + 3\sigma\]
\[150 - 3 \cdot 15 < P < 150+ 3 \cdot 15\]
\[150-45 < P < 150+45\]
\[105 < P < 195\]
(b ) \(100\) es el único que no está dentro de las tres desviaciones típicas de la media, por tanto es el único valor atípico.
Regla empírica - Puntos clave
- La regla empírica establece que, para conjuntos de datos distribuidos normalmente, \(68\%\) de las observaciones se sitúan dentro de una desviación típica de la media, \(95\%\) de las observaciones se sitúan dentro de dos desviaciones típicas de la media, y \(99,7\%\) de las observaciones se sitúan dentro de tres desviaciones típicas de la media.
- También se conoce como regla \(68\%\)-\(95\%\)-\(99,7\%\), regla de los tres sigmas y regla \(95\%\).
- Normalmente, cualquier observación que no esté dentro de las tres desviaciones típicas de la media puede considerarse un valor atípico.
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