Suma de variables aleatorias independientes

Hallar la función generadora de probabilidad de \(Z=X+Y\)

Hay un teorema muy importante que cubre este caso, llamado Teorema de Convolución.

Teorema de Convolución: Supongamos que dos variables aleatorias discretas independientes \(X\) e \(Y\) tienen funciones generadoras de probabilidad \(G_X(t)\) y \(G_Y(t)\). La función generadora de probabilidad de \(Z=X+Y\) es

\[G_Z(t)=G_X(t)G_Y(t).\]

Veamos una aplicación.

La principal ventaja del Teorema de Convolución es que te permite hallar la función generadora de probabilidad sin construir una tabla, lo que reduce las posibilidades de cometer errores.

Hallar la función generadora de probabilidad de \(Z=aX+b\)

Echemos un vistazo rápido a cómo podrías construir la función generadora de probabilidad de \(Z=nX\) donde \(n\) es un número natural a partir de la función generadora de probabilidad de \(X\). Empezando por \(n=2\),

\[ Z = 2X = X+X\]

por lo que puedes utilizar el Teorema de la Convolución para obtener que

\[G_Z(t)=G_X(t)G_X(t) = (G_X(t))^2.\]

Entonces podrías utilizar la prueba por inducción para demostrar que para cualquier número natural \(n\), si \(Z=nX\) entonces

\[G_Z(t)=\underbrace{G_X(t)G_X(t)\cdots G_X(t)}_{n \text{ times}} = (G_X(t))^n.\]

Como sabes, no sólo existen los números naturales, y también tienes que tener en cuenta ese "\(+b\)". Así que te ayudará fijarte en la definición alternativa de la función generadora de probabilidad:

\[G_Z(t) = \text{E}(t^Z).\]

Luego puedes utilizar propiedades de la función de valor esperado para obtener lo siguiente:

\[\nvuelve a {align} G_Z(t) &= \text{E}(t^Z) &= \text{E}(t^{aX+b}) &= \text{E}(t^{aX}t^b) &= t^btext{E}(t^{aX}) &= t^btext{E}left((t^a)^X\right) &= t^bG_X(t^a) . \end{align}\]

Aunque esta propiedad no tiene un nombre elegante, merece la pena enunciarla por separado.

Si \(X\) es una variable aleatoria discreta y tiene una función generadora de probabilidad de \(G_X(t)\), la función generadora de probabilidad de \(Z\) donde \(Z=aX+b\) es:

\[G_Z(t)=t^bG_X(t^a).\]

Veamos un ejemplo rápido.

Expectativa de la suma de variables aleatorias independientes

Como todas las variables aleatorias, las sumas de variables aleatorias independientes también tienen una expectativa o media. Puedes utilizar el Teorema de la Convolución y la definición alternativa de la función generadora de probabilidad para hallar la expectativa de la suma de variables aleatorias independientes, junto con las fórmulas

• \(G'_X(1) = E(X)\);

• \(\text{E}(aX+b) = a\text{E}(X) + b\); y

• \(\texto{E}(X+Y) = \texto{E}(X) + \texto{E}(Y)\).

Veamos un ejemplo.

Varianza de la suma de variables aleatorias independientes

Igual que antes has hallado la media, también puedes hallar la varianza de sumas de variables aleatorias independientes. Para ello necesitarás las fórmulas

• \(\text{Var}(aX+b) = a^2\text{Var}(X)\); y
• \(\text{Var}(Z)= G''_Z(1)+G'_Z(1)-(G'_Z(1))^2\).

Veamos un ejemplo.

Ejemplos de sumas de variables aleatorias independientes

Ya has visto algunos ejemplos de financiación de la suma de variables aleatorias independientes, junto con su media y varianza. Sin embargo, para tipos específicos de distribuciones, como la distribución binomial y la distribución uniforme, fijarse en ellas, en particular, puede ser esclarecedor. Así que sigue adelante para conocer los detalles.

Suma de variables aleatorias binomiales independientes

Supongamos que tienes dos variables aleatorias independientes que siguen distribuciones binomiales. Es decir, \(X \sim \text{Bin}(n_X , p_X)\) y \ (Y \sim \text{Bin}(n_Y, p_Y)\). Ya sabes que

\[G_X(t) = (1-p_X+p_Xt)^{n_X}\]

y

\[G_Y(t) = (1-p_Y+p_Yt)^{n_Y}.\]

Por tanto, utilizando el Teorema de la Convolución, si \(Z = X+Y\) entonces

\[ \begin{align} G_Z(t) &= G_X(t) G_Y(t) &= (1-p_X+p_Xt)^{n_X} (1-p_Y+p_Yt)^{n_Y}. \end{align}\]

Pongamos un ejemplo.

Suma de variables aleatorias uniformes independientes

Recuerda que una variable aleatoria uniforme discreta asume probabilidades iguales para cada resultado posible. Así, si la distribución \(X\) tiene sucesos que ocurren con probabilidad \(\dfrac{1}{n}}), entonces

\G_X(t) = \frac{t(1-t^n)}{n(1-t)}.

Entonces, si \(Y\) es una segunda distribución aleatoria uniforme discreta en la que los sucesos ocurren con probabilidad \(\dfrac{1}{m}}), y \(Z = X+Y\), entonces

\[ \begin{align} G_Z(t) &= G_X(t) G_Y(t) &= \left(\frac{t(1-t^n)}{n(1-t)} \right)\left(\frac{t(1-t^m)}{m(1-t)}\right) \left(\frac{t^2(1-t^n)(1-t)^m}{nm(1-t)^2} .\end{align}\].

Veamos un ejemplo.

En realidad, no es necesario memorizar las diferentes fórmulas para los distintos tipos de distribuciones discretas de probabilidad, ¡siempre que tengas presente el Teorema de Convolución!