Las variables aleatorias discretas son un tipo de variable aleatoria en la que los valores son finitos.
En otras palabras, los valores son contables y tienen un número limitado de resultados. Ejemplos de variables aleatorias discretas son el número de libros de un paquete, el número de terrones de azúcar de una caja, el número de cabras de un corral y el número de calzado de una persona, entre otros. En esta lección vamos a aprender en detalle las variables aleatorias discretas y sus distribuciones de probabilidad.
Una variable aleatoria discreta es una variable que sólo puede adoptar un número limitado de valores especificados y contables. Todos los valores del dominio de la variable aleatoria tienen probabilidades asociadas. Estas probabilidades deben sumar \(1\) cuando se consideran todos los valores posibles.
Variables aleatorias discretas: Tipos de distribución
En primer lugar, recordemos el concepto de distribución. La distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta X es un conjunto exhaustivo de cada valor potencial de \(X\), junto con la probabilidad de que \(X\) tome ese valor en un ensayo del experimento. En otras palabras, las distribuciones de probabilidad discreta se utilizan para describir las probabilidades asociadas a los valores de la variable aleatoria discreta. Dos tipos habituales de variables aleatorias discretas son las variables aleatorias binomiales (con una distribución de probabilidad binomial) y las variables aleatorias geométricas (con una distribución de probabilidad geométrica).
En este artículo, sólo consideramos las variables aleatorias binomiales y geométricas, que son relevantes para un curso de Estadística AP. Otros tipos que no se tratarán en este artículo son las distribuciones Bernoulli, Multinomial, Hipergeométrica y Poisson.
Distribuciones de probabilidad binomial y geométrica de variables aleatorias discretas
La distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta se refiere al catálogo de los valores potenciales de esa variable aleatoria discreta, junto con la probabilidad de que tome ese valor en un intento del experimento.
Las distribuciones de las variables aleatorias discretas deben satisfacer las dos condiciones siguientes, dada una variable aleatoria discreta \(X\):
Cada probabilidad \(P(x)\) debe estar entre \(0\) y \(1, 0 \leq P(x) \leq 1\).
La suma de todas las probabilidades no supera \(1\): \(\suma P(x) = 1\).
Veamos un ejemplo de lo que se entiende por distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta.
Sea \(X\) el número de caras que se observan al lanzar dos veces una moneda justa. Primero, construye la distribución de probabilidad de \(X\). Segundo, halla la probabilidad de que se observe al menos una cara.
Solución:
Para este espacio muestral, los valores posibles de \(X\) son \(0\), \(1\) y \(2\). Los resultados potenciales tienen las mismas probabilidades de ocurrir y siguen como:
\(S = {hh, ht, th, tt}\).
Es decir, "\(hh\)" se refiere al resultado de dos cabezas,
"\(ht\)" se refiere al resultado de una cabeza y una cola, y así sucesivamente.
Como el número de cabezas observado está representado por \(X = 0\):
\(X = 0\) corresponde a \({tt}\), sin cabezas observadas
\(X = 1\) corresponde a \({ht, th}\), con \(1\) cabezas observadas
\(X = 2\) corresponde a \({hh}\), con \(2\) cabezas observadas
Simplemente contando, obtenemos la probabilidad de cada uno de estos tres sucesos, representada por la variable discreta \(X\). Así
Tabla 1: Distribución de probabilidad de lanzar dos veces una moneda justa
| \(X\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
| \(P(x)\) | \(0.25\) | \(0.50\) | \(0.25\) |
La probabilidad de que se observe al menos una cabeza es un suceso que puede describirse mediante la expresión matemática \(X \geq 1\). La probabilidad de este suceso concreto (al menos una cabeza) se calcula sumando los dos sucesos mutuamente excluyentes de \(X =1\) y \(X = 2\). Por tanto, \(P (X \geq 1) = P (1) + P (2) = 0,50 + 0,25 = 0,75\). En otras palabras, hay una probabilidad \(75\%\) de que salga al menos una cara al lanzar una moneda dos veces.
Variables aleatorias binomiales
Una variable aleatoria binomial es un tipo de variable aleatoria discreta que utilizamos para expresar la frecuencia de un resultado (o suceso) concreto a lo largo de un número fijo de ensayos experimentales. La variable aleatoria binomial se expresa dentro de una distribución binomial.
Para que una variable aleatoria discreta sea también una variable aleatoria binomial, deben darse las siguientes características:
El número de ensayos está predeterminado o es fijo.
Los ensayos son independientes. (Los resultados de los ensayos no influyen unos en otros).
En cada ensayo, sólo pueden producirse dos resultados: un "éxito" o un "fracaso". En otras palabras, el acontecimiento concreto de interés ocurrirá o no ocurrirá. Este tipo de resultado también puede llamarse "binario".
Cualquier ensayo tiene la misma probabilidad de "éxito" que los demás del experimento.
Si la variable aleatoria discreta \((X)\) se clasifica como binomial, puede utilizarse para contar el número de éxitos en los n ensayos. Esto implica que \(X\) tiene una distribución binomial con los dos parámetros siguientes:
"\(n\)", que mide el número de ensayos y
"\(p\)", que mide la probabilidad de éxito de un suceso concreto.
Por ejemplo, consideremos una muestra aleatoria de 125 enfermeras seleccionadas de un gran hospital en el que la proporción de enfermeras que son mujeres es del 57%. Supongamos que X denota el número de enfermeras de la muestra. En este experimento, hay 125 (n = 125) ensayos idénticos e independientes de un procedimiento común: seleccionar una enfermera al azar. Hay exactamente dos resultados posibles para cada ensayo, "éxito" (el suceso que estamos contando, que la enfermera sea mujer) y "fracaso" (que no sea mujer). Por último, la probabilidad de éxito en cualquier ensayo es el mismo número (p = 0,57). Como la proporción de enfermeras es de un 57% de mujeres, una selección aleatoria proporcionaría, por tanto, un 57% de probabilidades de seleccionar una enfermera. Así pues, X es una variable aleatoria binomial con parámetros n = 125 y p = 0,57.
Fórmula de probabilidad para una variable aleatoria binomial
Si una distribución se describe mediante una variable aleatoria binomial, puedes aplicar la fórmula siguiente para calcular la probabilidad de \(X\):
\[P(X=x)= \begin{pmatrix} n \\\ X \end {pmatrix} p^x q^{n-x}={{frac{n!}{(n-X)!}\cdot (X!)p^x q^{n-x}}].
donde
\(P\) = probabilidad binomial
\(x\) = frecuencia de un resultado específico en un número determinado de ensayos
\(\inicio{pmatriz} n \\ X \fin {pmatriz} \)= número de combinaciones
\(p\) = probabilidad de éxito en un único ensayo
\(q\) = probabilidad de fracaso en un único ensayo
\(n\) = número de pruebas
Suponiendo que una moneda justa se lanza \(10\) veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener \(6\) cruz?
Solución
En un experimento de lanzamiento de una moneda se pueden obtener dos resultados: cara o cruz. Por tanto:
La probabilidad de obtener cruz es \(50\%\) (o \(0,5\)) en un lanzamiento dado.
Número de intentos, \(n = 10\).
Frecuencia del resultado, \(x = 6\).
- Probabilidad de éxito en un único ensayo, \(p = 0,5\)
- Probabilidad de fracaso en un único ensayo, \(q = 0,5\).
Introduciendo estos valores en la fórmula
\[P(X=x)={{frac{n!}{(n-X)!}\cdot (X!)p^x q^{n-x}}\}].
\[P(X=x)=0,205\]
Variables aleatorias geométricas
Las variables aleatorias geométricas son variables aleatorias discretas que forman una distribución geométrica. Este concepto se utiliza en diversos ámbitos de la vida, como el análisis coste-beneficio en las industrias financieras, entre otros.
Las condiciones experimentales requeridas para las variables aleatorias geométricas son muy similares a las de las variables aleatorias binomiales: ambas categorizan los ensayos como éxitos o fracasos, y los ensayos deben ser independientes, con la misma probabilidad de ocurrencia para cada uno. Sin embargo, a diferencia de las variables aleatorias binomiales, el número de intentos no está fijado de antemano para las variables aleatorias geométricas. Más bien depende del número de fallos sucesivos que se produzcan antes de alcanzar un éxito.
Por ejemplo, considera una variable aleatoria geométrica, \(X = 3\), que representa la obtención de un número \(3\) como resultado de la tirada de un dado justo.
En este experimento de variable aleatoria geométrica, contaríamos el número de veces que se lanza el dado antes de alcanzar una vez un valor de \(3 (X = 3)\).
La prueba en la que sale un \(3\) se etiqueta como "éxito", y cualquier prueba en la que no sale un \(3\) se etiqueta como "fracaso". Como se trata de un experimento de variable aleatoria geométrica, sólo necesitamos obtener un éxito para terminarlo.
Como las observaciones son independientes entre sí, la probabilidad de que \(X = 3\) (salga un \(3\) de la tirada del dado) será \(1/6\) para cada tirada. Esta probabilidad de \(1/6\) se debe a que el dado tiene seis caras, que dan valores de 1 a \(6\).
Fórmula de probabilidad para una variable aleatoria geométrica
Si una distribución se describe mediante una variable aleatoria geométrica, puedes aplicar la fórmula siguiente para calcular la probabilidad de \(X\):
\[P(X=x)=(1-p)^{x-1}p\]
donde \(0<p<1\) y \(x=1, 2, 3...\)
Un representante de la División de Marketing del Teatro Nacional selecciona personas al azar en una calle cualquiera de Washington D.C. hasta que encuentra a una persona que haya asistido a la última función de cine.
Sea \(p\), la probabilidad de que consiga encontrar a esa persona, igual a \(0,20\). Y que \(X\) denota el número de personas que selecciona hasta que encuentra su primer éxito.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que el representante de marketing deba seleccionar a 4 personas antes de encontrar a una que haya asistido a la función de cine?
Solución:
\[f(x)=P(X=x)=(1-p)^{x-1}p\]
\[P(X=4)=(1-0.2)^{4-1}0.2=0.1024\]
Por lo tanto, hay aproximadamente una probabilidad de \(10\%\) de que el representante de marketing tenga que seleccionar a \(4\) personas antes de encontrar a una que asista a la última función de cine.
La media, la varianza y la desviación típica de las variables aleatorias discretas
En este apartado tratamos la media, la varianza y la desviación típica aplicadas a variables aleatorias discretas. A continuación, aplicamos estos conceptos a un problema de ejemplo.
Media
La media también se conoce como valor esperado, y se refiere a la media de los valores. En el caso de las variables aleatorias discretas, la media se refiere a la media de todos los valores asignados a los sucesos que ocurren en los ensayos repetidos del experimento. La media de una variable aleatoria discreta viene dada por la expresión siguiente
\[\mu= E(x)=\suma x \cdot P(x)\]
Así, la media se obtiene multiplicando cada valor por su probabilidad de ocurrencia. A continuación, se suman estos valores para generar la media del experimento.
Halla la media de la siguiente distribución de probabilidad discreta:
| \(x\) | \(-2\) | \(1\) | \(2\) | \(3.5\) |
| \(P(x)\) | \(0.21\) | \(0.34\) | \(0.54\) | \(0.31\) |
Solución:
Siguiendo la fórmula
\[\mu= E(x)=\suma x \cdot P(x)\]
\[\mu = ((-2)\cdot(0.21))+((1)\cdot(0.34))+((2)\cdot(0.54))+((3.5)\cdot(0.31))\]
Por tanto, \(\mu = 2,085\)
Varianza
La varianza mide la dispersión de los datos. Más concretamente, es la media ponderada que mide las desviaciones o variabilidades al cuadrado de cada valor respecto a la media de los ensayos repetidos de un experimento. Viene dada por
\[\sigma^2 = \suma (x-\mu)^2P(x)\]
Desviación típica
De forma similar a la varianza, la desviación típica también mide la dispersión de los datos. Concretamente, mide la magnitud en que cada observación se desvía de la media. Para calcular la desviación típica de una variable aleatoria discreta, basta con tomar la raíz cuadrada del valor de la varianza.
\[\sigma=\sqrt{\sum(x-\mu)^2P(x)}\]
Una variable aleatoria discreta X tiene la siguiente distribución de probabilidad:
| \(x\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(4\) |
| \(P(x)\) | \(0.2\) | \(0.5\) | \(α\) | \(0.1\) |
1. \(α\)
2. \(P (0)\)
3. \(P (X > 0)\)
4. \(P (X ≥ 0)\)
5. La media \(\mu\) de \(X\)
6. La varianza de \(X\)
7. La desviación típica de \(X\)
Solución
1. Como todas las probabilidades deben sumar \(1\),\( α = 1 - (0,2 + 0,5 + 0,1) = 0,2\)
2. Consultando la tabla, \(P (0) = 0,5\)
3. Volviendo a la tabla, \(P (X > 0) = P (1) + P (4) = 0,2 + 0,1 = 0,3\)
4. De la tabla, \(P (X ≥ 0) = P (0) + P (1) + P (4) = 0,5 + 0,2 + 0,1 = 0,8\)
5. Utilizando la fórmula de la definición de la media \(\mu\):
\[\mu=E(x)=suma x P(x)= ((-1)\cdot 0,2) + ((0)\cdot 0,5)+((1)\cdot 0,2)+((4)\cdot 0,1)=0,4 \].
6. Utilizando el valor de \(\mu\) obtenido con la fórmula de la varianza:
\[\sigma^2 = \suma (x-\mu)^2P(x)=((-1-0,4)^2\cdot 0,2) + ((0-0,4)^2\cdot 0,5+ ((1-0,4)^2\cdot 0,2)+((4-0,4)^2\cdot 0,1)=1,84 \].
7. A partir de la varianza calculada, podemos obtener la desviación típica utilizando su fórmula de la siguiente forma
\[\sigma=\sqrt{\sum(x-\mu)^2P(x)}\]
\[\sigma= \sqrt{1,84}=1,3565\]
Variable aleatoria discreta - Puntos clave
- Las variables aleatorias discretas son variables aleatorias que toman valores especificados o finitos en un intervalo. Los valores pueden ser contables y tener un número finito de resultados.
Los tipos de variables aleatorias discretas son: Bernoulli, Multinomial, Binomial, Geométrica, Hipergeométrica y Poisson.
Una lista de cada valor potencial de una variable aleatoria discreta \(X\), junto con la probabilidad de que \(X\) tome ese valor en un ensayo del experimento, es la distribución de probabilidad de esa variable aleatoria discreta \(X\).
La distribución de probabilidad de una variable aleatoria binomial viene dada por:
\[P(X=x)={{frac{n!}{(n-X)!}\cdot (X!)p^x q^{n-x}}\].
La distribución de probabilidad de una variable aleatoria geométrica viene dada por:
\[P(X=x)=(1-p)^{x-1}p\]
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