Supongamos que tu profesor te ha proporcionado una lista de \(300\) ejercicios para preparar el examen final. El profesor te asegura que el examen tendrá \(10\) preguntas, y que se tomarán de la lista proporcionada.
Aunque te has preparado bien con antelación, sólo has conseguido resolver \(200\) ejercicios. ¿Cuál es la probabilidad de que el profesor elija \(10\) preguntas que hayas resuelto?
Este tipo de pregunta puede responderse utilizando la distribución binomial, y en este artículo aprenderás más sobre ella.
¿Qué es una distribución binomial?
Una distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que se utiliza para calcular la probabilidad de observar un número determinado de aciertos en un número finito de ensayos de Bernoulli. Un ensayo de Bernoulli es un experimento aleatorio en el que sólo puede haber dos resultados posibles que se excluyan mutuamente, uno de los cuales se denomina éxito y el otro fracaso.
Si \(X\) es una variable aleatoria binomial con \(X\sim \text{B}(n,p)\), entonces la probabilidad de obtener exactamente \(x\) éxitos en \(n\ ) ensayos Bernoulli independientes viene dada por la función de masa de probabilidad:
\[P(X=x)={n\choose{x}}p^x(1-p)^{n-x}\]
para \(x=0,1,2,\dots , n\), donde
\[\displaystyle {n\choose{x}}=\frac{n!}{x!(n-x)!}\]
se conoce como coeficiente binomial.
Visita nuestro artículo Distribución Binomial para obtener más detalles sobre esta distribución.
Veamos un ejemplo para ver cómo calcular las probabilidades en una distribución binomial.
Supongamos que vas a hacer un examen tipo test con \(10\) preguntas, en el que cada pregunta tiene \(5\) posibles respuestas, pero sólo \(1\) opción es correcta. Si tuvieras que acertar al azar en cada pregunta
a) ¿Cuál es la probabilidad de que aciertes exactamente \(4\)?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que aciertes \(2\) o menos?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que aciertes \(8\) o más?
Solución:En primer lugar, observemos que hay \(10\) preguntas, por lo que \(n=10\). Ahora bien, como cada pregunta tiene \(5\) opciones y sólo \(1\) es correcta, la probabilidad de acertar es \(\dfrac{1}{5}\), por lo que \(p=\dfrac{1}{5}\). Por tanto
\[1-p=1-\dfrac{1}{5}=\frac{4}{5} .\]
a) La probabilidad de acertar exactamente \(4\) viene dada por
\[\begin{align} P(X=4)&={10\choose{4}}\left(\frac{1}{5}\right)^4\left(\frac{4}{5}\right)^{6} \\ &&aproximadamente 0,088. \end{align}\]
b) La probabilidad de acertar \(2\) o menos viene dada por
\[\inicio{align} P(X\leq 2)&=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) &= {10\elegir{0}} \left(\frac{1}{5}\right)^0\left(\frac{4}{5}\right)^{10}+{10\choose{1}}\left(\frac{1}{5}\right)^1\left(\frac{4}{5}\right)^{9}\\ &\quad +{10\choose{2}}\left(\frac{1}{5}\right)^2\left(\frac{4}{5}\right)^{8} |aproximadamente 0,678.\pend{align}\}
c) La probabilidad de acertar \(8) o más viene dada por \[\begin{align} P(X=8)&=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10) &= {10\f8}} \left(\frac{1}{5}\right)^8\left(\frac{4}{5}\right)^{2}+{10\choose{9}}\left(\frac{1}{5}\right)^9\left(\frac{4}{5}\right)^{1} \\ & \quad+{10\choose{10}}\left(\frac{1}{5}\right)^{10}\left(\frac{4}{5}\right)^{0} |aproximadamente 0,00008.\end{align}\}]
En otras palabras, ¡adivinar las respuestas es una estrategia de examen muy mala si es lo único que vas a hacer!
Derivación de la media y la varianza de la distribución binomial
Observa que una variable binomial \(X\) es la suma de \(n\) ensayos Bernoulli independientes con la misma probabilidad de éxito \(p\), es decir \(X=X_1+X_2+\ldots+X_n\), donde cada \(X_i\) es una variable Bernoulli. Utilizando esto, veamos cómo derivar las fórmulas de la media y la varianza.
Derivación de la media de la distribución binomial
Para calcular el valor esperado de \(X\), a partir de lo anterior tienes
\[\text{E}(X)=\text{E}(X_1+X_2+\ldots+X_n),\]
como el valor esperado es lineal
\[\text{E}(X_1+X_2+\ldots+X_n)=\text{E}(X_1)+\text{E}(X_2)+\ldots+\text{E}(X_n).\]
Por último, recuerda que para una variable Bernoulli \(Y\) con probabilidad de éxito \(q\), el valor esperado es \(q\). Por tanto
\[\text{E}(X_1)+\text{E}(X_2)+\ldots+\text{E}(X_n)=\underbrace{p+p+\ldots+p}_{n\text{ times}}=np.\]
Juntando todo, tienes la fórmula anteriormente mencionada
\[\text{E}(X)=np.\}]
Derivación de la varianza de la distribución binomial
Para calcular la varianza de \(X\), tienes
\[\text{Var}(X)=\text{Var}(X_1+X_2+\ldots+X_n),\]
utilizando que la varianza es aditiva para las variables independientes
\[\begin{align} \text{Var}(X_1+X_2+\ldots+X_n)&=\text{Var}(X_1)+\text{Var}(X_2) \\ &\quad +\ldots+\text{Var}(X_n). \end{align}\]
De nuevo, recuerda que para una variable Bernoulli \(Y\), con probabilidad de éxito \(q\), la varianza es \(q(1-q)\). Entonces
\[\begin{align} \text{Var}(X) &= \text{Var}(X_1)+\text{Var}(X_2)+\ldots+\text{Var}(X_n)&= \underbrace{p(1-p)+p(1-p)+\ldots+p(1-p)}{{n\text{veces}}. \\ & =np(1-p).\nd{align}\}]
Poniéndolo todo junto,
\[\text{Var}(X)=np(1-p).\]
Media y desviación típica de una distribución binomial
En el apartado anterior has visto que la media de la distribución binomial es
\[\text{E}(X)=np,\]
y la varianza es
\[\text{Var}(X)=np(1-p).\]
Para obtener la desviación típica, \(\sigma\), de la distribución binomial, basta con tomar la raíz cuadrada de la varianza, de modo que
\[\sigma = \sqrt{np(1-p) }.\]
Fórmula de la media de la distribución binomial
La media de una variable es el valor medio que se espera observar cuando un experimento se realiza varias veces.
Si \(X\) es una variable aleatoria binomial con \(X\sim \text{B}(n,p)\), el valor esperado o media de \(X\) viene dado por \[\text{E}(X)=\mu=np.\].
Fórmula de la varianza de una distribución binomial
La varianza de una variable es una medida de lo diferentes que son los valores de la media.
Si \(X\) es una variable aleatoria binomial con \(X\sim \text{B}(n,p)\), entonces:
La varianza de \(X\) viene dada por \[\text{Var}(X)=\sigma^2=np(1-p).\].
La desviación típica de \(X) es la raíz cuadrada de la varianza y viene dada por \[\sigma=\sqrt{np(1-p)}.\]
Para una explicación más detallada de estos conceptos, consulta nuestro artículo Media y varianza de las distribuciones de probabilidad discreta.
Ejemplos de media y varianza de la distribución binomial
Veamos algunos ejemplos, empezando por uno clásico.
Sea \(X\) una variable aleatoria tal que \(X\sim \text{B}(10,0,3)\). Halla la media \(\text{E}(X)\) y la varianza \(\text{Var}(X)\).
Solución:
Utilizando la fórmula de la media, tienes
\[\text{E}(X)=np=(10)(0.3)=3.\]
Para la varianza tienes
\[\text{Var}(X)=np(1-p) =(10)(0.3)(0.7)=2.1.\]
Pongamos otro ejemplo.
Sea \(X\) una variable aleatoria tal que \(X\sim \text{B}(12,p)\) y \(\text{Var}(X)=2,88\). Halla los dos valores posibles de \(p\).
Solución:
A partir de la fórmula de la varianza, tienes
\[\text{Var}(X)=np(1-p)=2,88.\]Como conoces \(n=12\), al sustituirlo en la ecuación anterior obtienes
\[12p(1-p)=2,88,\]
que es lo mismo que
\[p(1-p)=0,24\]
o
\[p^2-p+0,24=0,\]
Observa que ahora tienes una ecuación cuadrática, así que utilizando la fórmula cuadrática obtienes que las soluciones son \(p=0,4\) y \(p=0,6\).
¡El ejemplo anterior demuestra que puedes tener dos distribuciones binomiales diferentes con la misma varianza!
Por último, observa que utilizando la media y la varianza de una variable, puedes recuperar su distribución.
Sea \(X\) una variable aleatoria tal que \(X\sim \text{B}(n,p)\), con \(\text{E}(X)=3,6\) y \(\text{Var}(X)=2,88\).
Halla los valores de \(n\) y \(p\).
Solución:
Recuerda que por las fórmulas de la media y la varianza
\[\text{E}(X)=np=3.6\]
y
\[\text{Var}(X)=np(1-p)=2.88.\]
A partir de aquí, sustituyendo tienes
\[3.6(1-p)=2.88,\]
lo que implica que
\[1-p=\frac{2.88}{3.6}=0.8.\]
Por tanto, \(p=0,2\) y de nuevo, a partir de la fórmula de la media, tienes
\[n=\frac{3.6}{0.2}=18.\]
Así que la distribución original es \ (X\sim \text{B}(18,0,8)\).
Media y varianza de la distribución binomial - Puntos clave
Si \(X\) es una variable aleatoria binomial con \(X\sim \text{B}(n,p)\). Entonces, \[P(X=x)={n\elegir{x}}p^x(1-p)^{n-x}]para \(x=0,1,2,\dots,n\) donde \[\displaystyle {n\elegir{x}}=frac{n!}{x!(n-x)!}\].
Si \(X\sim \text{B}(n,p)\), entonces el valor esperado o media de \(X\) es \(\text{E}(X)=\mu=np\).
Si \(X\sim \text{B}(n,p)\), entonces la varianza es \(\text{Var}(X)=\sigma^2=np(1-p) \) y la desviación típica es \(\sigma=\sqrt{np(1-p)}\).
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