Altitud

¿Qué es la altitud?

La altitud se mide como la distancia del vértice a la base, por lo que también se conoce como altura de un triángulo. Cada triángulo tiene tres altitudes, y estas altitudes pueden estar fuera, dentro o en el lado de un triángulo. Veamos cómo puede quedar.

Altitudes con diferentes posiciones, ck12.org

Propiedades de una altitud

Éstas son algunas de las propiedades de la altitud:

• Una altitud forma un ángulo de $90°$en el lado opuesto al vértice.
• La ubicación de la altitud cambia según el tipo de triángulo.
• Como el triángulo tiene tres vértices, tiene tres altitudes.
• El punto de intersección de estas tres altitudes se denomina ortocentro del triángulo.

Fórmula de la altitud para distintos triángulos

Existen distintas formas de fórmulas de altitud según el tipo de triángulo. Veremos la fórmula de la altitud para triángulos en general, así como específicamente para triángulos escalenos, triángulos isósceles, triángulos rectángulos y triángulos equiláteros, incluyendo breves discusiones sobre cómo se derivan estas fórmulas.

Fórmula general de la altitud

Como la altitud se utiliza para hallar el área de un triángulo, podemos derivar la fórmula a partir de la propia área.

Área de un triángulo$=\frac{1}{2}\times b\times h$donde b es la base del triángulo y h es la altura/altitud. Por tanto, a partir de esto, podemos deducir la altura de un triángulo de la siguiente manera:

$$\begin{gathered} Area=\frac{1}{2}\times b\times h \\ \Rightarrow 2\times Area=b\times h \\ \Rightarrow \frac{2\times Area}{b}=h \end{gathered}$$

Altitud (h)$\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{\times }\mathbf{A}\mathbf{r}\mathbf{e}\mathbf{a}\mathbf{)}\mathbf{/}\mathit{b}$

Fórmula de la altitud para el triángulo escaleno

El triángulo que tiene diferentes longitudes laterales para los tres lados se conoce como triángulo escaleno. Aquí se utiliza la fórmula de Herón para obtener la altitud.

Altitud de un triángulo escaleno, StudySmarter Originals

Área de un triángulo$∆ABC$(por la fórmula de Herón)$=\sqrt{s\left(s-x\right)\left(s-y\right)\left(s-z\right)}$

Aquí s es el semiperímetro del triángulo (es decir $s=\frac{\left(x+y+z\right)}{2}$) y x, y, z son las longitudes de los lados.

Utilizando ahora la fórmula general del área e igualándola con la fórmula de Herón podemos obtener la altura,

Área$=\frac{1}{2}\times b\times h$

$\Rightarrow \sqrt{s\left(s-x\right)\left(s-y\left(s-z\right)\right)}=\frac{1}{2}\times b\times h$

Por tanto, la altitudde un triángulo escaleno: $\mathit{h}\mathbf{=}\frac{\mathbf{2}\mathbf{\left(}\sqrt{\mathbf{s}\mathbf{(}\mathbf{s}\mathbf{-}\mathbf{x}\mathbf{)}\mathbf{(}\mathbf{s}\mathbf{-}\mathbf{y}\mathbf{)}\mathbf{(}\mathbf{s}\mathbf{-}\mathbf{z}\mathbf{)}}\mathbf{\right)}}{\mathbf{b}}\mathbf{.}$

Fórmula de la altitud para el triángulo isósceles

Un triángulo isósceles es un triángulo cuyos dos lados son iguales. La altitud de un triángulo isósceles es la mediatriz de ese triángulo con su lado opuesto. Podemos deducir su fórmula utilizando las propiedades del triángulo isósceles y el teorema de Pitágoras.

Altitud en triángulo isósceles, StudySmarter Originals

Como el triángulo$∆ABC$ es un triángulo isósceles, los lados $AB=AC$de longitud x. Aquí utilizamos una de las propiedades de un triángulo isósceles, que establece que la altura biseca su lado base en dos partes iguales.

$\Rightarrow \frac{1}{2}BC=DC=BD$

Aplicando ahora el teorema de Pitágoras sobre$∆ABD$ obtenemos

$$\begin{gathered} A{B}^2=A{D}^2+B{D}^2 \\ \Rightarrow A{B}^2=A{D}^2+{\left(\frac{1}{2}BC\right)}^2 \\ \Rightarrow A{D}^2=\hspace{0.17em}A{B}^2-{\left(\frac{1}{2}BC\right)}^2 \end{gathered}$$

Ahora sustituyendo todos los valores del lado dado obtenemos:

$$\begin{gathered} \Rightarrow h^2=x^2-\frac{1}{4}{y}^2 \\ \therefore h=\sqrt{{\mathrm{x}}^2-\frac{1}{4}{\mathrm{y}}^2} \end{gathered}$$

Por tanto, laaltura del triángulo isósceles es$\mathit{h}\mathbf{}\mathbf{=}\mathbf{}\sqrt{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{}\mathbf{-}\mathbf{}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}}$donde x es la longitud de los lados, y es la base y h es la altura.

Fórmula de la altitud para un triángulo rectángulo

Un triángulo rectángulo es un triángulo con un ángulo como$90°$y la altitud desde uno de los vértices hasta la hipotenusa puede explicarse con ayuda de una importante afirmación llamada Teorema de la Altitud del Triángulo Recto. Este teorema da la fórmula de la altitud del triángulo rectángulo.

Altitud del triángulo rectángulo, StudySmarter Originals

Entendamos primero el teorema.

Teorema de la altitud del triángulo rectángulo: La altitud desde el vértice del ángulo recto hasta la hipotenusa es igual a la media geométrica de los dos segmentos de la hipotenusa.

Prueba: De la figura dada AC es la altitud del triángulo rectángulo $△ABD$. Utilizando ahora el Teorema de Semejanza de Triángulos Rectángulos, obtenemos que dos triángulos $△ACD$ y $△ACB$ son semejantes.

$∆ACD~∆ACB.$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{DC}{AC}=\frac{AC}{CB} \\ \Rightarrow A{C}^2=\hspace{0.17em}DC\times CB \\ \Rightarrow h^2=xy \\ \therefore h=\sqrt{xy} \end{gathered}$$

Por tanto, a partir del teorema anterior, podemos obtener la fórmula de la altitud.

Altitud de un triángulo rectángulo$\mathit{h}\mathbf{}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{x}\mathbf{y}}$, donde x e y son las longitudes a cada lado de la altitud que juntas forman la hipotenusa.

Nota: No podemos utilizar el teorema de Pitágoras para calcular la altitud del triángulo rectángulo, ya que no se proporciona información suficiente. Por tanto, utilizamos el Teorema de la Altitud del Triángulo Recto para hallar la altitud.

Fórmula de la altitud del triángulo equilátero

El triángulo equilátero es un triángulo con todos los lados y ángulos iguales respectivamente. Podemos obtener la fórmula de la altitud utilizando la fórmula de Herón o la fórmula de Pitágoras. La altitud de un triángulo equilátero también se considera una mediana.

Altitud del triángulo equilátero, StudySmarter Originals

Área de un triángulo$∆ABC$(por la fórmula de Herón)$=\sqrt{s\left(s-x\right)\left(s-y\right)\left(s-z\right)}$

Y también sabemos que el Área del triángulo $=\frac{1}{2}\times b\times h$

Así que utilizando las dos ecuaciones anteriores obtenemos

$h=\frac{2\left(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\right)}{base}$

Ahora bien, el perímetro de un triángulo equilátero es 3x. Por tanto, el semiperímetro $s=\frac{3x}{2}$y todos los lados son iguales.

$$\begin{gathered} h=\frac{2\sqrt{\frac{3x}{2}\left(\frac{3x}{2}-x\right)\left(\frac{3x}{2}-x\right)\left(\frac{3x}{2}-x\right)}}{x} \\ =\frac{2\sqrt{\left(\frac{3x}{2}\right)\left(\frac{x}{2}\right)\left(\frac{x}{2}\right)\left(\frac{x}{2}\right)}}{x} \\ =\frac{2}{x}\times x^2\frac{\sqrt{3}}{4} \\ =\frac{\sqrt{3}x}{2} \end{gathered}$$

Altitud del triángulo equilátero:$\mathit{h}\mathbf{}\mathbf{=}\mathbf{\hspace{0.17em}}\frac{\sqrt{\mathbf{3}}\mathbf{x}}{\mathbf{2}}$, donde h es la altitud y x es la longitud de los tres lados iguales.

Concurrencia de altitudes

En las propiedades de la altitud hemos visto que las tres altitudes de un triángulo se intersecan en un punto llamado ortocentro. Comprendamos los conceptos de concurrencia y posición del ortocentro en diferentes triángulos.

Podemos calcular las coordenadas del ortocentro utilizando las coordenadas de los vértices del triángulo.

Posición del ortocentro en un triángulo

La posición del ortocentro puede variar según el tipo de triángulo y las altitudes.

Triángulo agudo

El ortocentro en un triángulo agudo está dentro del triángulo.

Ortocentro de un triángulo agudo, StudySmarter Originals

Triángulo rectángulo

El ortocentro del triángulo rectángulo está en el vértice del ángulo recto.

Triángulo rectángulo Ortocentro, StudySmarter Originals

Triángulo obtuso

En un triángulo obtuso, el ortocentro se encuentra fuera del triángulo.

Triángulo obtuso Ortocentro, StudySmarter Originals

Aplicaciones de la altitud

He aquí algunas aplicaciones de la altitud en un triángulo:

1. La principal aplicación de la altitud es determinar el ortocentro de ese triángulo.
2. La altitud también puede utilizarse para calcular el área de un triángulo.