Teoremas de congruencia ASA, AAS y HL en geometría
¿Qué es HL?
Es el único teorema pensado explícitamente para determinar la congruencia de triángulos rectángulos. Pero, ¿qué significa HL? Estas siglas significan "Hipotenusa-Pata". Significa que si la hipotenusa y el cateto respectivo son iguales entre dos o más triángulos rectángulos, entonces los triángulos dados son congruentes. Puedes pensar en HL igual que en SSS para los triángulos rectángulos. ¿Por qué crees que es así?
Te daré una pista: hay un famoso teorema que lo explica.
Como probablemente ya sepas, se debe al teorema de Pitágoras.
Si conoces dos lados de un triángulo rectángulo, puedes calcular con precisión el tercer lado utilizando esta fórmula. Esto significa que si dos lados de un triángulo rectángulo son iguales a los lados respectivos de otro triángulo rectángulo, ambos triángulos son congruentes.
Si puedes calcular el tercer lado dados dos lados cualesquiera de un triángulo rectángulo, ¿por qué esta condición de congruencia se llama HL y no SS (como en Lado-Lado)?
Ésta es una pregunta excelente para poner a prueba tu comprensión de los triángulos rectángulos. ¿Quizá se te ocurra la respuesta a ésta?
En primer lugar, SS podría confundirse con una condición universal de congruencia, no sólo para triángulos rectángulos, porque las letras son muy parecidas a las de otras condiciones: SSS, SAS, etc. HL destaca. Pero esto es bastante trivial.
La razón principal de la necesidad de hipotenusa y cateto para esta condición es que, dado un triángulo rectángulo con dos catetos conocidos, la condición sería SAS, es decir, Lado-Ángulo-Lado. Si esto te parece confuso, recuerda que estamos hablando de triángulos rectángulos, lo que significa que ya conocemos el ángulo entre los dos catetos. Se trata de un ángulo recto, exactamente de 90º. Por tanto, si sabes que la longitud de ambos catetos es igual a la de otro triángulo rectángulo, ambos triángulos son congruentes dada la condición SAS.
HL es exclusiva de los triángulos rectángulos - SAS es universal para todos los triángulos. Es importante tener en cuenta que cuando se utiliza la condición HL, el ángulo entre el cateto y la hipotenusa puede no conocerse y no es necesario para demostrar la congruencia con otro triángulo rectángulo.
Siempre es importante distinguir los catetos de la hipotenusa para utilizar correctamente la condición HL para evaluar la congruencia. ¡Demos un salto más!
¿Qué es ASA?
El significado de ASA es Ángulo-Lado-Ángulo. Este teorema de congruencia dice que si dos o más triángulos tienen un lado igual con ángulos iguales en ambos extremos de este lado, entonces los triángulos dados son congruentes. Mira la imagen de abajo para entenderlo mejor:
Dos triángulos congruentes según el Teorema AAS, StudySmarter Originals
Para que el ASA funcione, los ángulos respectivos deben ser iguales y estar situados a ambos lados del lado respectivo.
Teorema de congruencia AAS
Ángulo-Angulo-Lado o AAS para abreviar. Como su nombre indica, un ángulo debe estar en un extremo de un lado, y el otro ángulo es el ángulo "libre". Esto significa que el ángulo que no esté en un extremo del lado respectivo será opuesto a él. Aquí tienes una imagen para aclararte:
Dos triángulos congruentes por AAS, StudySmarter Originals
El ángulo "libre" está directamente encima del lado correspondiente, no está unido al otro extremo del lado. Por tanto, el AAS puede formularse así: si un lado, un ángulo en uno de sus extremos y un ángulo opuesto a él son iguales entre dos o más triángulos, entonces estos triángulos son congruentes.
Teorema AAS
El Teorema AAS es el mismo que el Teorema de Congruencia AAS.
Ejemplos de ASA, AAS y HL
¡Veamos cómo podemos utilizar estos teoremas a través de algunos ejemplos!
Se dan tres triángulos rectángulos. Todos ellos tienen hipotenusas iguales. ¿Significa esto que todos ellos son congruentes? Aquí tienes una imagen que te ayudará a entenderlo un poco mejor:
Triángulos rectángulos de igual orientación, StudySmarter Originals
Como puedes ver, la igualdad de hipotenusas no significa congruencia de inmediato. También necesitas conocer la longitud de al menos un cateto de cada triángulo para demostrar la congruencia o la no congruencia.
Dos triángulos rectángulos se colocan uno frente al otro así:
Triángulos rectángulos de diferente posición, StudySmarter Originals
Las hipotenusas son iguales, y el cateto inferior del triángulo de la derecha es igual al cateto superior del triángulo de la izquierda. ¿Son congruentes estos triángulos?
Como puedes ver, se puede utilizar HL para demostrar la congruencia. En ambos triángulos, la hipotenusa y el cateto respectivo son iguales. Esto se ve mejor si giras uno de los triángulos 180º. Así que ahora podemos decir
En la imagen de abajo aparecen tres triángulos rectángulos. No supongas unidades de medida, sólo números.
Infórmate sobre los triángulos dados a continuación.
ABC AB = 10, BC = 5
DEF: DE = 10, EF = 5
GHI: IG = 5, HI = 10
¿Se puede demostrar la congruencia en este ejemplo?
En este ejemplo, sólo se puede demostrar la congruencia entre los triángulos ABC y DEF porque IG y HI son ambos catetos del triángulo GHI - la hipotenusa GH tiene una longitud aproximada de 11,18.
ABC ≅ DEF
Tres triángulos comparten un lado. Se sabe que los dos tienen ángulos respectivos iguales. ¿Son congruentes todos los triángulos dados?
Tres triángulos que comparten un lado, StudySmarter Originals
Todos los triángulos comparten el lado AB, así que no necesitamos conocer la longitud de ningún lado para seguir demostrando la congruencia. Tampoco conocemos ninguno de los ángulos de los triángulos dados, pero tampoco necesitamos saber sus valores exactos. Basta con saber que los dos triángulos tienen dos ángulos respectivos iguales. Estos ángulos son DAB, DBA, CAB y CBA. Como puedes ver, estos ángulos iguales están situados en ambos extremos del lado común AB. Utilizando ASA, podemos demostrar la congruencia entre dos de los triángulos dados, que son ACB y ADB:
ACB ≅ ADB
Para responder completamente a la pregunta planteada en este ejemplo: no, todos los triángulos dados no son congruentes. Sólo dos de ellos lo son.
Dos triángulos rectángulos comparten la misma hipotenusa y tienen un ángulo agudo igual. ¿Son congruentes estos triángulos?
Dos triángulos rectángulos que comparten un lado, StudySmarter Originals
Ambos triángulos rectángulos comparten la hipotenusa. Los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo están siempre en cada extremo de la hipotenusa, y el ángulo recto está siempre opuesto a la hipotenusa. Por tanto, dos ángulos: uno en el extremo del lado compartido, el otro - directamente opuesto. Todos los ángulos respectivos son iguales, y el lado es compartido. Esto nos da toda la información necesaria para que el teorema AAS demuestre la congruencia entre ambos triángulos:
ACB ≅ ADB
HL, ASA y AAS - Puntos clave
- HL es el único teorema pensado explícitamente para determinar la congruencia de triángulos rectángulos.
- HL se deriva de Hipotenusa-Pata y significa que si la hipotenusa y el cateto respectivo son iguales entre dos o más triángulos, entonces los triángulos dados son congruentes;
- ASA significa Ángulo-Lado-Ángulo y nos dice que si dos o más triángulos tienen un lado igual con ángulos iguales en ambos extremos, entonces los triángulos dados son congruentes;
- AAS viene de Angulo-Angulo-Lado y significa que si un lado, un ángulo en uno de sus extremos y un ángulo opuesto a él son iguales entre dos o más triángulos, entonces estos triángulos son congruentes.
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