En este artículo hablaremos en adelante de los ángulos en los círculos.
Encontrar ángulos en círculos
Losángulos en círculos son ángulos que se forman entre radios, cuerdas o tangentes de un círculo.
Los ángulos en circunferencias pueden construirse mediante los radios, las tangentes y las cuerdas. Si hablamos de circunferencias, la unidad común que utilizamos para medir los ángulos en una circunferencia son los grados.
Tienes \(360\) grados en un círculo, como se muestra en la siguiente figura. Observando más detenidamente esta figura, nos damos cuenta de que todos los ángulos formados son una fracción del ángulo completo formado por un círculo, que resulta ser \(360°\).
Fig. 1. Los ángulos formados por rayos en un círculo son una fracción del ángulo completo.
Por ejemplo, si tomas la semirrecta que está en \(0º\) y otra semirrecta que va recta hacia arriba, como se muestra en la figura 2, esto constituye la cuarta parte de la circunferencia del círculo, por lo que el ángulo formado también va a ser la cuarta parte del ángulo total. El ángulo formado por una semirrecta que va hacia arriba con otra semirrecta que va hacia la izquierda o hacia la derecha se denomina ángulo perpendicular (recto).
Reglas de ángulos en círculo
Esto se conoce como el teorema del círculo y son varias reglas sobre las que se resuelven los problemas relativos a los ángulos en un círculo. Estas reglas se tratarán en varios apartados a continuación.
Tipos de ángulos en un círculo
Hay dos tipos de ángulos que debemos tener en cuenta cuando tratamos con ángulos en un círculo.
Ángulos centrales
El ángulo en el vértice cuyo vértice está en el centro del círculo forma un ángulo central.
Cuando dos radios forman un ángulo cuyo vértice está situado en el centro del círculo, hablamos de ángulo central.
Fig. 3. El ángulo central se forma con dos radios prolongados desde el centro del círculo.
Ángulos inscritos
En los ángulos inscritos, el vértice está en la circunferencia del círculo.
Cuando dos cuerdas forman un ángulo en la circunferencia del círculo donde ambas cuerdas tienen un punto final común, hablamos de un ángulo inscrito.
Fig. 4. Un ángulo inscrito cuyo vértice está en la circunferencia del círculo.
Relaciones angulares en círculos
Básicamente, la relación angular que existe en los círculos es la relación entre un ángulo central y un ángulo inscrito.
Relación entre un ángulo central y un ángulo inscrito
Observa la siguiente figura en la que se dibujan juntos un ángulo central y un ángulo inscrito.
La relación entre un ángulo central y un ángulo inscrito es que un ángulo inscrito es la mitad del ángulo central subtendido en el centro del círculo. En otras palabras, un ángulo central es el doble del ángulo inscrito.
Fig. 5. Un ángulo central es el doble del ángulo inscrito.
Observa la siguiente figura y escribe el ángulo central, el ángulo inscrito y una ecuación que resalte la relación entre ambos ángulos.
Fig. 6. Ejemplo de un ángulo central y un ángulo inscrito.
Solución:
Como sabemos que un ángulo central está formado por dos radios que tienen un vértice en el centro de una circunferencia, el ángulo central de la figura anterior pasa a ser
\[\text{Ángulo central}=Ángulo AOB\]
Para un ángulo inscrito, se considerarán las dos cuerdas que tienen un vértice común en la circunferencia. Así, para el ángulo inscrito
\[\text{Ángulo inscrito}=Ángulo AMB\]
Un ángulo inscrito es la mitad del ángulo central, por lo que para la figura anterior la ecuación puede escribirse como
\[\ángulo AMB=\dfrac{1}{2}(\ángulo AOB\derecho)\}]
Ángulos de intersección en un círculo
Los ángulos de intersección de una circunferencia también se conocen como ángulo cuerda-acorde. Este ángulo se forma con la intersección de dos cuerdas. La figura siguiente ilustra dos cuerdas \(AE\) y \(CD\) que se intersecan en el punto \(B\). El ángulo \(\ángulo ABC\) y \(\ángulo DBE\) son congruentes, ya que son ángulos verticales.
En la figura siguiente, el ángulo \(ABC\) es la media de la suma de los arcos \(AC\) y \(DE\).
\[\angle ABC=\dfrac{1}{2}\left(\widehat{AC}+\widehat{DE}\right)\]
Fig. 7. Dos cuerdas que se cruzan.
Halla los ángulos \(x\) y \(y\) de la siguiente figura. Todas las lecturas dadas están en grados.
Fig. 8. Ejemplo de dos cuerdas que se cruzan.
Solución:
Sabemos que la suma media de los arcos \(DE\) y \(AC\) constituye Y. Por tanto,
\[Y=\dfrac{1}{2}\left(100º+55º\right)=82.5º\]
El ángulo \(B\) también resulta ser \(82,5º), ya que es un ángulo vertical. Observa que los ángulos \(\ángulo CXE\) y \(\ángulo DYE\) forman pares lineales ya que \(Y + X\) es \(180°\) . Por tanto
\[\begin{align}180º-Y&=X\\180º-82.5º&=X\\X&=97.5º\end{align}\]
A continuación, se utilizarán algunos términos que debes conocer.
Una tangente - es una línea exterior a un círculo que toca la circunferencia de un círculo en un solo punto. Esta recta es perpendicular al radio del círculo.
Fig. 9. Ilustración de la tangente de un círculo.
Una secante - es una recta que corta a un círculo tocando la circunferencia en dos puntos.
Fig. 10. Ilustración de la secante de un círculo.
Un vértice - es el punto en el que confluyen dos secantes, dos tangentes o una secante y una tangente. En el vértice se forma un ángulo.
Fig. 11. Ilustración de un vértice formado por una secante y una tangente.
Arcosinteriores y arcos exteriores: los arcos interiores son arcos que limitan hacia dentro una o ambas tangentes y secantes. Por su parte, los arcos exteriores limitan una o ambas tangentes y secantes hacia el exterior.
Fig. 12. Ilustración de arcos interiores y exteriores.
Ángulo secante-secante
Supongamos que dos rectas secantes se cruzan en el punto A, la siguiente ilustra la situación. Los puntos \(B\), \(C\), \(D\) y \(E\) son los puntos de intersección en la circunferencia de modo que se forman dos arcos, un arco interior \(\widehat{BC}\), y un arco exterior \(\widehat{DE}\). Si queremos calcular el ángulo \(\alpha\), la ecuación es la mitad de la diferencia de los arcos \(\widehat{DE}\) y \(\widehat{BC}\).
\[\alpha=\dfrac{1}{2}\left(\widehat{DE}-\widehat{BC}\right)\]
Fig. 13. Para calcular el ángulo en el vértice de las rectas secantes, se restan el arco mayor y el arco menor y luego se dividen por la mitad.
Halla \(\theta\) en la siguiente figura:
Fig. 14. Ejemplo sobre ángulos secantes-secantes.
Solución:
De lo anterior se deduce que \(\theta\) es un ángulo secante-secante. El ángulo del arco exterior es \(128º\), mientras que el del arco interior es \(48º\). Por tanto, \(\theta\) es:
\[\theta=\dfrac{128º-48º}{2}\]
Por tanto,
\[\theta=30º\]
Ángulo secante-tangente
El cálculo del ángulo secante-tangente es muy similar al del ángulo secante-secante. En la figura 15, la tangente y la recta secante se cruzan en el punto \(B\) (el vértice). Para calcular el ángulo \(B\), tendrías que hallar la diferencia entre el arco exterior \(\widehat{AC}\) y el arco interior \(\widehat{CD}\), y luego dividirlo por \(2\). Entonces
\[X=\dfrac{1}{2}\left(\widehat{AC}-\widehat{CD}\right)\]
Fig. 15. Un ángulo secante-tangente con vértice en el punto B.
A partir de la figura siguiente, halla \(\theta\):
Fig. 16. Ejemplo de la regla secante-tangente.
Solución:
De lo anterior, debes observar que \(\theta\) es un ángulo secante-tangente. El ángulo del arco exterior es \(170º\), mientras que el del arco interior es \(100º\). Por tanto, \(\theta\) es:
\[\theta=\dfrac{170º-100º}{2}\]
Por tanto,
\[\theta=35º\]
Ángulo tangente-tangente
Para dos tangentes, en la figura 17, la ecuación para calcular el ángulo \(P\) sería
\Ángulo P = izquierda (arco mayor - arco menor, derecha)
\[\angle P=\dfrac{1}{2}\left(\widehat{AXB}-\widehat{AB}\right)\]
Fig. 17. Ángulo tangente-tangente.
Calcula el ángulo \(P\) si el arco mayor es \(240°\) en la figura siguiente.
Fig. 18. Ejemplo de ángulos tangentes-tangentes.
Solución:
Una circunferencia completa forma un ángulo de \(360°\) y el arco \(\widehat{AXB}\) es \(240°\) por tanto,
\[\widehat{AXB]+\widehat{AB}=360º\]
\[\widehat{AB}=360º-240º\]
\[\widehat{AB}=120º\]
Utilizando la ecuación anterior para calcular el ángulo \(P\) se obtiene,
\[\angle P=\dfrac{1}{2}(240º-120º)\]
\[\ángulo P=60º\]
Ángulos en círculos - Puntos clave
- Una circunferencia completa está constituida por \(360\) grados.
- Cuando dos radios de un ángulo cuyo vértice está en el centro del círculo, se trata de un ángulo central.
- Dos cuerdas que forman un ángulo en la circunferencia del círculo donde ambas cuerdas tienen un vértice común se llama ángulo inscrito.
- Un ángulo inscrito es la mitad del ángulo central subtendido en el centro de la circunferencia.
- Para el ángulo cuerda-acorde, el ángulo en el vértice se calcula mediante la media de la suma de los arcos opuestos.
- Para calcular el ángulo en el vértice de los ángulos secante-tangente, secante-secante y tangente-tangente, se resta el arco mayor del arco menor y luego se divide por la mitad.
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