¿Qué es un ángulo inscrito de una circunferencia?
Los ángulos inscritos son ángulos formados en una circunferencia por dos cuerdas que comparten un punto extremo en la circunferencia. El punto final común también se conoce como vértice del ángulo. Esto se muestra en la figura 1, donde dos cuerdas y forman un ángulo inscrito donde el símbolo 'para describir un ángulo inscrito.
Ángulos inscritos, originales de StudySmarter
Los otros puntos extremos de las dos cuerdas forman un arco sobre el círculo, que es el arco AC que se muestra a continuación. Hay dos tipos de arcos formados por un ángulo inscrito.
Cuando la medida del arco es menor que un semicírculo o entonces el arco se define como arco menor, como se muestra en la figura 2a.
Cuando la medida del arco es mayor que un semicírculo o entonces el arco se define como arco mayor, como muestra la figura 2b.
Pero, ¿cómo creamos un arco de este tipo? Trazando dos cuerdas, como hemos comentado antes. Pero, ¿qué es exactamente una cuerda? Toma dos puntos cualesquiera de una circunferencia y únelos para formar un segmento de recta:
Una cuerda es un segmento de recta que une dos puntos de una circunferencia.
Arco mayor y arco menor de una circunferencia, StudySmarter Originals
Ahora que se ha definido una cuerda, ¿qué se puede construir alrededor de una cuerda? Empecemos por un arco, y aunque suene obvio, es una parte simple del círculo que se define a continuación:
Un arco de círculo es una curva formada por dos puntos de una circunferencia. La longitud del arco es la distancia entre esos dos puntos.
- Un arco de circunferencia que tiene dos puntos extremos en el diámetro, entonces el arco es igual a una semicircunferencia.
- La medida del arco en grados es igual al ángulo central que intercepta dicho arco.
La longitud de un arco puede medirse utilizando el ángulo central, tanto en grados como en radianes, y el radio, como se indica en la fórmula siguiente, donde θ es el ángulo central y π es la constante matemática. Al mismo tiempo, r es el radio del círculo.
Fórmula de los ángulos inscritos
Varios tipos de ángulos inscritos se modelan mediante diversas fórmulas basadas en el número de ángulos y su forma. Por tanto, no se puede crear una fórmula genérica, pero dichos ángulos se pueden clasificar en ciertos grupos.
Teoremas de los ángulos inscritos
Veamos los distintos Teoremas del Ángulo Inscrito.
Ángulo inscrito
El teorema del ángulo inscrito relaciona la medida del ángulo inscrito y su arco interceptado.
Establece que la medida del ángulo inscrito en grados es igual a la mitad de la medida del arco interceptado, donde la medida del arco es también la medida del ángulo central.
Teorema del ángulo inscrito, StudySmarter Originals
Ángulos inscritos en el mismo arco
Cuando dos ángulos inscritos interceptan el mismo arco, entonces los ángulos son congruentes. Los ángulos congruentes tienen la misma medida en grados. Un ejemplo se muestra en la figura 4, donde y m<ABC son iguales ya que interceptan el mismo arco AC:
Ángulos inscritos congruentes, StudySmarter Originals
Ángulo inscrito en un semicírculo
Cuando un ángulo inscrito intercepta un arco que es una semicircunferencia, el ángulo inscrito es un ángulo recto igual a . Esto se muestra a continuación en la figura, donde el arco es un semicírculo con una medida de y su ángulo inscrito es un ángulo recto con una medida de .
Ángulo inscrito en un semicírculo, StudySmarter Originals
Cuadrilátero inscrito
Si un cuadrilátero está inscrito en una circunferencia, lo que significa que el cuadrilátero está formado en una circunferencia por cuerdas, entonces sus ángulos opuestos son suplementarios. Por ejemplo, el siguiente diagrama muestra un cuadrilátero inscrito, en el que es suplementario de y es suplementario de :
Cuadrilátero Inscrito, Originales de StudySmarter
Ejemplos de ángulos inscritos
Encuentra los ángulos y si el ángulo central que se muestra a continuación es .
Ejemplo de ángulos inscritos, StudySmarter Originals
Solución:
Como los ángulos y interceptan el mismo arco son congruentes.
Utilizando el teorema del ángulo inscrito, sabemos que el ángulo central es el doble del ángulo inscrito que intercepta el mismo arco.
Por tanto, el ángulo es .
¿Cuál es la medida del ángulo en el círculo que se muestra a continuación si es ?
Ángulos inscritos congruentes, StudySmarter Originals
Solución:
Como los ángulos y interceptan el mismo arco , entonces son iguales . Por tanto, si es entonces también debe ser .
Método para resolver problemas de ángulos inscritos
Para resolver cualquier ejemplo de ángulos inscritos, escribe todos los ángulos dados. Reconoce los ángulos dados dibujando un diagrama si no están dados. Veamos algunos ejemplos.
Halla si su arco interceptado tiene una medida de .
Solución:
Utilizando el teorema del ángulo inscrito, deducimos que el ángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo central.
Encuentra y en el cuadrilátero inscrito que se muestra a continuación.
Ejemplo de cuadrilátero inscrito, StudySmarter Originals
Solución:
Como el cuadrilátero mostrado está inscrito en una circunferencia, sus ángulos opuestos son complementarios.
A continuación, sustituimos los ángulos dados en las ecuaciones, y reordenamos las ecuaciones para que el ángulo desconocido sea el sujeto.
Encuentra , y en el siguiente diagrama.
Un cuadrilátero inscrito, StudySmarter Originals
Solución:
Los ángulos inscritos y interceptan el mismo arco . De ahí que sean iguales, por tanto
El ángulo está inscrito en un semicírculo. Por tanto <c debe ser un ángulo recto.
Como el cuadrilátero está inscrito en una circunferencia, sus ángulos opuestos deben ser suplementarios.
Ángulos inscritos - Puntos clave
- Un ángulo inscrito es un ángulo formado en una circunferencia por dos cuerdas con un punto final común que se encuentra en la circunferencia.
- El teorema del ángulo inscrito establece que el ángulo inscrito es la mitad de la medida del ángulo central.
- Los ángulos inscritos que interceptan el mismo arco son congruentes.
- Los ángulos inscritos en una semicircunferencia son ángulos rectos.
- Si un cuadrilátero está inscrito en una circunferencia, sus ángulos opuestos son suplementarios.
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