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Un círculo es único porque no tiene esquinas ni ángulos, lo que lo diferencia de otras figuras como triángulos, rectángulos y triángulos. Pero se pueden explorar en detalle propiedades específicas introduciendo ángulos dentro de un círculo. Por ejemplo, la forma más sencilla de crear un ángulo dentro de un círculo es trazar dos cuerdas de modo que empiecen en el mismo punto. Esto puede parecer innecesario al principio, pero al hacerlo, podemos emplear muchas reglas de trigonometría y geometría, explorando así las propiedades del círculo con más detalle.
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Enviar comentariosLos ángulos inscritos son ángulos formados en una circunferencia por dos cuerdas que comparten un punto extremo en la circunferencia. El punto final común también se conoce como vértice del ángulo. Esto se muestra en la figura 1, donde dos cuerdas y forman un ángulo inscrito donde el símbolo 'para describir un ángulo inscrito.
Ángulos inscritos, originales de StudySmarter
Los otros puntos extremos de las dos cuerdas forman un arco sobre el círculo, que es el arco AC que se muestra a continuación. Hay dos tipos de arcos formados por un ángulo inscrito.
Cuando la medida del arco es menor que un semicírculo o entonces el arco se define como arco menor, como se muestra en la figura 2a.
Cuando la medida del arco es mayor que un semicírculo o entonces el arco se define como arco mayor, como muestra la figura 2b.
Pero, ¿cómo creamos un arco de este tipo? Trazando dos cuerdas, como hemos comentado antes. Pero, ¿qué es exactamente una cuerda? Toma dos puntos cualesquiera de una circunferencia y únelos para formar un segmento de recta:
Una cuerda es un segmento de recta que une dos puntos de una circunferencia.
Arco mayor y arco menor de una circunferencia, StudySmarter Originals
Ahora que se ha definido una cuerda, ¿qué se puede construir alrededor de una cuerda? Empecemos por un arco, y aunque suene obvio, es una parte simple del círculo que se define a continuación:
Un arco de círculo es una curva formada por dos puntos de una circunferencia. La longitud del arco es la distancia entre esos dos puntos.
La longitud de un arco puede medirse utilizando el ángulo central, tanto en grados como en radianes, y el radio, como se indica en la fórmula siguiente, donde θ es el ángulo central y π es la constante matemática. Al mismo tiempo, r es el radio del círculo.
Varios tipos de ángulos inscritos se modelan mediante diversas fórmulas basadas en el número de ángulos y su forma. Por tanto, no se puede crear una fórmula genérica, pero dichos ángulos se pueden clasificar en ciertos grupos.
Veamos los distintos Teoremas del Ángulo Inscrito.
El teorema del ángulo inscrito relaciona la medida del ángulo inscrito y su arco interceptado.
Establece que la medida del ángulo inscrito en grados es igual a la mitad de la medida del arco interceptado, donde la medida del arco es también la medida del ángulo central.
Teorema del ángulo inscrito, StudySmarter Originals
Cuando dos ángulos inscritos interceptan el mismo arco, entonces los ángulos son congruentes. Los ángulos congruentes tienen la misma medida en grados. Un ejemplo se muestra en la figura 4, donde y m<ABC son iguales ya que interceptan el mismo arco AC:
Ángulos inscritos congruentes, StudySmarter Originals
Cuando un ángulo inscrito intercepta un arco que es una semicircunferencia, el ángulo inscrito es un ángulo recto igual a . Esto se muestra a continuación en la figura, donde el arco es un semicírculo con una medida de y su ángulo inscrito es un ángulo recto con una medida de .
Ángulo inscrito en un semicírculo, StudySmarter Originals
Si un cuadrilátero está inscrito en una circunferencia, lo que significa que el cuadrilátero está formado en una circunferencia por cuerdas, entonces sus ángulos opuestos son suplementarios. Por ejemplo, el siguiente diagrama muestra un cuadrilátero inscrito, en el que es suplementario de y es suplementario de :
Cuadrilátero Inscrito, Originales de StudySmarter
Encuentra los ángulos y si el ángulo central que se muestra a continuación es .
Ejemplo de ángulos inscritos, StudySmarter Originals
Solución:
Como los ángulos y interceptan el mismo arco son congruentes.
Utilizando el teorema del ángulo inscrito, sabemos que el ángulo central es el doble del ángulo inscrito que intercepta el mismo arco.
Por tanto, el ángulo es .
¿Cuál es la medida del ángulo en el círculo que se muestra a continuación si es ?
Ángulos inscritos congruentes, StudySmarter Originals
Solución:
Como los ángulos y interceptan el mismo arco , entonces son iguales . Por tanto, si es entonces también debe ser .
Para resolver cualquier ejemplo de ángulos inscritos, escribe todos los ángulos dados. Reconoce los ángulos dados dibujando un diagrama si no están dados. Veamos algunos ejemplos.
Halla si su arco interceptado tiene una medida de .
Solución:
Utilizando el teorema del ángulo inscrito, deducimos que el ángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo central.
Encuentra y en el cuadrilátero inscrito que se muestra a continuación.
Ejemplo de cuadrilátero inscrito, StudySmarter Originals
Solución:
Como el cuadrilátero mostrado está inscrito en una circunferencia, sus ángulos opuestos son complementarios.
A continuación, sustituimos los ángulos dados en las ecuaciones, y reordenamos las ecuaciones para que el ángulo desconocido sea el sujeto.
Encuentra , y en el siguiente diagrama.
Un cuadrilátero inscrito, StudySmarter Originals
Solución:
Los ángulos inscritos y interceptan el mismo arco . De ahí que sean iguales, por tanto
El ángulo está inscrito en un semicírculo. Por tanto <c debe ser un ángulo recto.
Como el cuadrilátero está inscrito en una circunferencia, sus ángulos opuestos deben ser suplementarios.
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Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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