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¿Sabías que antiguamente se utilizaba un martillo y un cincel para abrir las latas de conserva? Esto era antes de que se inventara el abrelatas. Imagínate vivir en aquella época y tener que pasar por ese trabajo sólo para abrir una lata de sopa. Te habrás dado cuenta de que la mayoría de los alimentos enlatados tienen forma cilíndrica.
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Equipo de profesores de Área de la superficie del cilindro
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Enviar comentariosEn este artículo aprenderás sobre la superficie de uncilindro, en concreto sobre la superficie de un cilindro.
El término cilíndrico significa tener los lados rectos y paralelos y la sección transversal circular.
Un cilindro es una figura geométrica tridimensional con dos extremos circulares planos y un lado curvo con la misma sección transversal de un extremo a otro.
Los extremos circulares planos de un cilindro son paralelos entre sí y están separados o unidos por una superficie curva. Mira la siguiente figura.
Fig. 1. Partes de un cilindro recto.
Algunos ejemplos de formas cilíndricas que vemos a diario son los alimentos enlatados y la sopa enlatada. A continuación se muestran las partes individuales de un cilindro. Los extremos son círculos, y si extiendes la superficie curva de un cilindro, ¡obtienes un Rectángulo!
Fig. 2. Las partes individuales de un cilindro.
Hay distintos tipos de cilindros, entre ellos
Cilindros circulares rectos, como en la imagen de arriba,
Medios cilindros;
Cilindros oblicuos (un cilindro en el que la parte superior no está directamente encima de la base); y
Cilindros elípticos (en los que los extremos son elipses en lugar de círculos).
En concreto, aquí vas a estudiar los cilindros circulares rectos, por lo que a partir de ahora los llamaremos simplemente cilindros.
Veamos la definición de superficie total de un cilindro.
La superficie total de uncilindro se refiere al área ocupada por las superficies del cilindro, es decir, las superficies de ambos extremos circulares y de los lados curvos.
La unidad de la superficie de un cilindro es \( cm^2\), \( m^2\) o cualquier otra unidad cuadrada.
Normalmente se omite la palabra "total", llamándola simplemente superficie de un cilindro. Como puedes ver en la imagen del apartado anterior, el área de un cilindro consta de dos partes:
La superficie ocupada sólo por el Rectángulo cilindro se denomina superficielateral.
La superficie de los extremos es el área de dos círculos.
Veamos cada parte.
Para facilitarnos las cosas, utilicemos algunas variables. Aquí
\(h\) es la altura del cilindro; y
\(r\) es el radio del círculo.
Generalmente, el área de un rectángulo no es más que la longitud de sus dos lados multiplicada. A uno de esos lados lo llamas \(h\), pero ¿qué pasa con el otro lado? El lado restante del rectángulo es el que envuelve el círculo que constituye el extremo del cilindro, por lo que debe tener una longitud igual a la circunferencia del círculo. Eso significa que los dos lados del rectángulo son:
\(h\); y
\(2 \pi r\).
Eso te da una fórmula de superficie lateral de
\[ \text{Superficie lateral} = 2\pi r h.\]
Veamos un ejemplo.
Halla el área de la superficie lateral del cilindro derecho de abajo.
Fig. 3. Cilindro de \(11\text{ cm}\) de altura y \(5\text{ cm}\}) de radio.
Contesta:
La fórmula para calcular la superficie lateral es
\[ \text{Área de superficie lateral} = 2\pi r h.\}]
Por la imagen anterior, sabes que
\r = 5 {cm} y h = 11 {cm}.
Introduciéndolos en tu fórmula obtienes\[\begin{align} \mbox { Superficie lateral } & = 2 \pi r h \& = 2 \pi \cdot 5 \cdot 11 \& = 2 \pi \cdot 55 \ & = 2 \cdot 3,142 \cdot 55 \ & \aprox 345,62 \text{ cm}^2 .\end{align} \]
¡Pasemos ahora a la superficie total!
Un cilindro tiene distintas partes, lo que significa que tiene distintas superficies: los extremos tienen su superficie y el rectángulo tiene la suya. Si quieres calcular la superficie de un cilindro, tienes que hallar la superficie ocupada tanto por el rectángulo como por los extremos.
Ya tienes una fórmula para la superficie lateral:
\[ \text{Superficie lateral} = 2\pi r h.\]
Los extremos del cilindro son círculos, y la fórmula del área de un círculo es
\text{Área de un círculo } = \pi r^2.\]
Pero el cilindro tiene dos extremos, por lo que el área total de los extremos viene dada por la fórmula
\Área de los extremos del cilindro = 2pi r^2.
La superficie ocupada tanto por la parte rectangular como por los extremos se denomina superficie total. Juntando las fórmulas anteriores se obtiene la fórmula de la superficie total de un cilindro
\text{Superficie total del cilindro} = 2 \pi r h + 2\pi r^2.\]
A veces lo verás escrito como
\text{Superficie total del cilindro } = 2 \pi r (h +r) .\}
Veamos un ejemplo rápido que utiliza la fórmula que has encontrado en el apartado anterior.
Halla la superficie de un cilindro recto cuyo radio es \(7 \text{ cm}\) y su altura es \(9 \text{ cm}\).
Responde:
La fórmula para calcular la superficie de un cilindro recto es
\text{Superficie total del cilindro} = 2 \pi r (h +r) .\}
Por la pregunta sabes que el valor del radio y la altura son
\[r = 7\text{cm} \text{ y } h = 9\text{cm}.\}
Antes de continuar, debes asegurarte de que los valores del radio y la altura son de la misma unidad. Si no lo son, tendrás que convertir las unidades para que sean iguales.
El siguiente paso es sustituir los valores en la fórmula:\[ \begin{align}\mbox {Superficie total del cilindro } & = 2 \pi r (r + h) \\& = 2 \pi \cdot 7 (7 + 9) \& = 2 \pi \cdot 7 \cdot 16 \& = 2 \pi \cdot 112 \& = 2 \cdot 3.142 \cdot 112. \ñ[\ñ]\ñend{align}\ñ]
¡No olvides las unidades al escribir la respuesta! Así que para este problema, la superficie total del cilindro es \(112 \, \text{cm}^2\).
Puede que te pidan que encuentres una respuesta aproximada con un decimal. En ese caso, puedes introducirla en tu calculadora para obtener que la superficie total es aproximadamente \(703,8 \, \text{cm}^2).
Veamos otro ejemplo.
Halla la superficie de un cilindro recto dado que el radio es \(5\, \text{ft}) y la altura es \(15\, \text{in}).
Responde:
La fórmula para hallar la superficie de un cilindro recto es
\text[\text{Superficie total del cilindro} = 2 \pi r (h +r) .\]
Por la pregunta sabes que los valores del radio y la altura son:
\r = 5 pies y h = 15 pulgadas].
¡Alto! No son las mismas unidades. Tienes que convertir una en otra. A menos que la pregunta indique en qué unidades debe estar la respuesta, puedes elegir cualquiera de las dos para convertirla. En este caso no se especifica, así que convirtamos el radio a pulgadas. Entonces
\[ 5 \text{ft} = 5 \text{ft} \cdot \frac{ 12\, \text{in}}{1 \, \text{ft}} = 60 \, \text{in}.\]
Ahora puedes sustituir los valores
\r = 60, \text{in} \text{in} y h = 15, \text{in}]
en la fórmula para obtener
\[\texto{en} \texto{en} \mbox {Superficie total del cilindro} & = 2 \pi r (r + h) \mbox& = 2 \pi \cdot 60 (60 + 15) \mbox& = 2 \pi \cdot 60 \cdot 75 \mbox & = 2 \pi \cdot 4500 \mbox& = 9000 \pi \text{in}^2. \fin \]
¿Qué ocurre si cortas un cilindro por la mitad?
Ya conoces el área superficial de un cilindro, pero veamos qué ocurre cuando el cilindro se corta por la mitad longitudinalmente.
Se obtiene un semicilindro cuando un cilindro se corta longitudinalmente en dos partes paralelas iguales.
La siguiente figura muestra el aspecto de un semicilindro.
Fig. 4. Un medio cilindro.
Cuando oyes la palabra "mitad" en matemáticas, piensas en algo dividido por dos. Por tanto, para hallar la superficie y la superficie total de un semicilindro hay que dividir por dos las fórmulas de un cilindro recto (un cilindro completo). Eso te da
\text{Área superficial de medio cilindro} = \pi r (h +r) .\}
Veamos un ejemplo.
Calcula la superficie del semicilindro de abajo. Utiliza la aproximación \(\pi \aprox 3,142\).
Fig. 5. Medio cilindro.
Responde:
A partir de la figura anterior, tienes
\[r= 4\, \text{cm}\text{ y } h= 6\, \text{cm}. \]
La fórmula que utilizarías aquí es
\[\text{Área superficial del medio cilindro} = \pi r (h +r) .\}
Sustituyendo los valores en la fórmula,
\[ \begin{align} \Área de la superficie del semicilindro & = 3,142 \cdot 4 \cdot (6+4) &= 3,142 \cdot 4 \cdot 10 & = 75,408, \text{cm}^2 \end{align} \]
En el caso de la superficie de un semicilindro tapado, es algo más que dividir por dos. Hay algo más que debes tener en cuenta. Recuerda que el cilindro que tienes entre manos no está completo, es decir, ¡seguro que no contiene agua! Puedes taparlo añadiendo una sección rectangular sobre la parte cortada. Veamos una imagen.
Fig. 6. Muestra la superficie rectangular de un semicilindro.
Sólo necesitas el área de esa superficie rectangular con la que tapaste el cilindro. Puedes ver que tiene la misma altura que el cilindro real, así que sólo necesitas el otro lado. Resulta que ése es el diámetro del círculo, ¡que es igual al doble del radio! Así que
{\i1}Inicio{\i} {align} \text{Área superficial del semicilindro tapado } &= \text{Área superficial del semicilindro } \\ &\quad + \text{Área de la tapa del rectángulo} \\ &= \pi r (h +r) + 2rh.\end{align}\]
Veamos un ejemplo.
Halla el área de la superficie del semicilindro tapado de la siguiente figura.
Fig. 7. Medio cilindro.
Solución.
La fórmula que utilizarás aquí es
\text{Área superficial del semicilindro tapado } = \pi r (h +r) + 2rh.\}]
La figura anterior muestra el valor del diámetro y la altura:
\[\mbox {diámetro } = 7\, \text{cm} \text{ y } h = 6\, \text{cm}. \]
Pero la fórmula pide el radio, así que tienes que dividir el diámetro por \(2\) para obtener
\[ r= \frac{7} {2} \, \text{cm}. \]
Por tanto, los valores que necesitas son
\[ r = 3,5\, \text{cm} \text{ y } h= 6\, \text{cm}. \]
Por tanto, la superficie será
\[ \begin{align} \text{Área superficial del cilindro de media caperuza} &= \pi r (h +r) + 2rh \\\pi\left(\frac{7}{2}\right)\left( \frac{7}{2} +6\right) + 2\left(\frac{7}{2}\right) 6 \\\\\\= \pi \left(\frac{7}{2}\right) \left(\frac{19}{2}\right) + 42 \pi &= \frac{133}{4}\pi + 42 \text \fin \]
Si te piden que des una respuesta aproximada con dos decimales, comprobarías que la superficie del semicilindro tapado es aproximadamente \(146,45, \text{cm}^2).
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