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¿Qué es la superficie de un cono?
La superficie de un cono es la superficie total cubierta por sus dos lados, es decir, la suma del área de su base circular y de su superficie curva.
La superficie de un cono es la superficie total cubierta por sus dos lados, es decir, la suma del área de su base circular y de su superficie curva.
Deberías intentar imaginar cómo es un cono, piensa en el cuerpo o en los lados de un cono. Esto te daría una idea de la tarea.
¿Cuál de los siguientes objetos es más probable que tenga una superficie cónica: una bola, un embudo, un plato o una cama?
Solución:
De la lista de objetos, sólo un embudo tiene una superficie cónica.
Superficie curva de un cono
La superficie curva de un cono es el área del cuerpo del cono sin la base. Aquí es muy importante la altura oblicua del cono.
Ilustración de la superficie curva de un cono, StudySmarter Originals
Cálculo de la superficie curva de un cono
La superficie curva de un cono se calcula multiplicando pi, el radio y la altura oblicua de un cono.
Por tanto, el área de la superficie curva de un cono, \(A_{cs}\) viene dada como
\[A_{cs}=\pi rl\]
donde \(r\) es el radio de la base circular del cono, y \(l\) es la altura oblicua del cono.
Halla la superficie curva de un cono de radio \(7\, cm\) y altura oblicua \(10\, cm\). Toma \(\pi=\frac{22}{7}\)
Solución:
Como se han dado pi, radio y altura oblicua, debes aplicar la fórmula. Por tanto, el área de la superficie curva del cono se calcula como
\[A_{cs}=\frac{22}{7}veces 7, cm \veces 10, cm].
\[A_{cs}=220\, cm^2\]
Fórmula de la superficie de un cono
Como ya hemos dicho, la superficie de un cono es la superficie total combinada de su superficie curva y su base circular, por lo que podemos hacer algunas suposiciones lógicas sobre cuál podría ser la fórmula, pero pronto entraremos en la derivación de la fórmula. Aquí, sin embargo, está la fórmula que debes conocer:
En este caso, "a" es la superficie total, "r" es el radio de la base circular y "l" es la longitud de la superficie curva (normalmente llamada altura oblicua). l no es la altura interna, son dos medidas diferentes. La imagen siguiente lo muestra en el caso de un cono, para que lo entiendas mejor.
Diagrama etiquetado de un cono, StudySmarter Originals
Si te dan la altura interna de un cono, puedes utilizar el teorema de Pitágoras para calcular la longitud oblicua.
Una ilustración sobre cómo se obtiene la altura oblicua a partir del radio y la altura, StudySmarter Originals
Derivación de la superficie de un cono
Ahora que conocemos la fórmula, deberíamos hablar de cómo podemos deducirla a partir de otros datos. Suponiendo que dividimos el lado (lado de altura oblicua) de un cono y lo extendemos, tenemos lo que se muestra en el diagrama siguiente.
Lo principal que debemos recordar es que un cono puede dividirse en dos secciones, la base circular y la sección cónica o superficie curva.
Ilustración sobre la derivación de la superficie total de un cono, StudySmarter Originals
- Separa la superficie curva y la base circular. Te resultará más fácil calcular la superficie de cada parte por separado. Olvídate de la sección circular, por ahora, ya volverás a ella.
- Si tomas la sección cónica y la despliegas, verás que en realidad es un sector de un círculo mayor que tiene un radio de l. Por tanto, la circunferencia de este círculo mayor esy el área es. La longitud del arco del sector que tienes es la misma que la circunferencia de la sección circular original, que es.
La razón entre el área del círculo entero y la razón del área del sector es la misma que la razón entre la circunferencia entera y la parte de la circunferencia del sector. Si tomas el área del sector como "a", puedes ponerlo en una ecuación: \[\frac{a}{todo}, círculo}, área}=\frac{arc}, longitud}{todo}, círculo}, circunferencia}].
- Sustituimos los valores del paso 2 en la ecuación de palabras del paso 3:
En este paso, vamos a ver qué tenemos que hacer para simplificar la ecuación anterior.
Los del lado derecho se cancelan:
Luego multiplicamos ambos lados por :
Esto nos permite cancelar algunas l:
Y nos queda
¿Recuerdas nuestro círculo de antes? Pues bien, el área de un círculo es y el área de nuestra sección cónica es así que si tomamos estas dos áreas y las combinamos obtenemos la superficie total de un cono, que es:
Hallar la superficie de un cono
Dado un cono con un radio en la base de 7 pies y una altura interior de 12 pies, calcula el área de su superficie.
Solución:
Como nos han dado la altura interior, tenemos que utilizar el teorema de Pitágoras para calcular la altura oblicua:
72 + 122 = 193
Altura oblicua =
Podemos tomar la fórmula y ver qué números podemos introducir en ella:
7 es nuestro radio r, y es nuestra altura oblicua l.
Así que nuestra respuesta final, en este caso, seríaya que el área se mide en unidades2.
Dado un cono con un diámetro de base de 14 pies y una altura interior de 18 pies, calcula el área de su superficie.
Solución:
En este caso debemos tener cuidado, ya que se nos ha dado la longitud de la base como diámetro y no como radio. El radio es simplemente la mitad del diámetro, por lo que el radio en este caso es de 7 pies. De nuevo, tenemos que utilizar el teorema de Pitágoras para calcular la altura oblicua:
Altura oblicua =
Tomamos la fórmula y luego sustituimos r por 7 y l por :
Por tanto, nuestra respuesta final es
Ejemplos de superficie de conos
Para mejorar tu habilidad en la resolución de preguntas sobre superficie de conos, te aconsejamos que practiques más problemas.
A partir de la siguiente figura, halla la superficie curva del cono.
Ejemplos de superficie curva son sin la altura oblicua, StudySmarter Originals
Toma \(\pi=3,14\)
Solución:
En este problema se te han dado el radio y la altura, pero no la altura oblicua.
Recuerda que la altura de un cono es perpendicular al radio, de modo que con la altura oblicua se forma un triángulo rectángulo.
Deducir la altura oblicua de un cono cuando no está dada, StudySmarter Originals
Mediante el teorema de Pitágoras,
\[l=\sqrt{8^2+3.5^2}\]
\[l=8,73\, m\]
Ahora puedes hallar el área de la superficie curva
Utiliza \(A_{cs}=\pi rl\). Espero que no hayas olvidado
\A_{cs}=3,14 veces 3,5, m veces 8,73, m\].
Por tanto, la superficie curva del cono, \(A_{cs}) es:
\A_{cs}=95,94, m^2].
En Ikeduru, los frutos de la palmera se disponen de forma cónica, y deben estar cubiertos por hojas de palmera de superficie media \(6\, m^2\) y masa \(10\, kg\). Si la palma está inclinada un ángulo \(30°\) respecto a la horizontal, y la distancia de la base de una reserva cónica de frutos de palma es \(100\, m\). Halla la masa de hoja de palma necesaria para cubrir la reserva de frutos de palma. Toma \(\pi=3,14\).
Solución:
Haz un esquema de la historia.
¿Es una historia o una pregunta? No estoy seguro, resuélvelo
Hallar el área de un cono con un ángulo dado, StudySmarter Originals
Así que puedes usar SOHCAHTOA para obtener tu altura oblicua, ya que
\[\cos\theta=\frac{adyacente}{hipotenusa}\]
El \(50\, m\) se obtuvo dividiendo por la mitad la distancia base, ya que necesitamos el radio.
\[\cos(30°)=\frac{50\, m}{l}\]
Multiplicación cruzada
Observa que \[\cos(30°)=0,866\]
\[0,866l=50\, m\]
Divide ambos lados por \(0,866\) para obtener la altura oblicua, \(l\)
\[l=57,74\, m\]
Ahora puedes hallar la superficie total de la cepa cónica sabiendo que
\[a=\pi r^2+\pi rl\]
Por tanto,
\[a=(3,14 veces (50\, m)^2)+(3,14 veces 50\, m \ 57,74\, m)\].
\[a=7850\, m^2+9065,18\, m^2\]
Por tanto, el área de la cepa cónica es \(16915,18\, m^2\).
Sin embargo, tu tarea consiste en conocer el peso de las hojas de palmera utilizadas para cubrir la cepa cónica. Para ello, necesitas saber cuántas hojas de palmera cubrirían la cepa, ya que el área de una hoja de palmera es \(6\, m^2\). Por tanto, el número de hojas de palmera necesarias, \(N_{pf}\) es
\[N_{pf}=\frac{16915,18\}, m^2}{6\}, m^2}\].
\N_{pf}=2819,2, frondas].
Como cada fronda de palmera pesa \(10\, kg\), la masa total de fronda necesaria para cubrir la reserva cónica de frutos de palmera, \(M_{pf}\) es:
\M_{pf}=2819,2 veces 10\, kg\].
\[M_{pf}=28192\, kg\]
Por tanto, la masa de hoja de palmera necesaria para cubrir una reserva cónica media de fruta de palmera en Ikeduru es \(28192\, kg\).
Superficie de los conos - Puntos clave
- La superficie de un cono es la suma de la superficie de la base circular y de la sección cónica.
- La fórmula para calcular la superficie de un cono es donde es el radio del círculo en la base y es la altura de la inclinación.
- Si te piden la superficie de un cono pero te dan la altura interna en lugar de la altura del inclinado, utiliza el teorema de Pitágoras para calcular la altura del inclinado.
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