Área de los Círculos

Elementos de un círculo

Antes de hablar del área de los círculos, repasemos las características únicas que definen su forma. La figura siguiente representa un círculo con centro O. Recuerda que, según la definición, todos los puntos situados en el límite del círculo son equidistantes (de igual distancia) de este punto central O. La distancia del centro del círculo a su límite se denomina radio, R.

El diámetro, D, es la distancia de un extremo a otro de una circunferencia que pasa por el centro de la circunferencia. El diámetro es siempre el doble de la longitud del radio, por lo que si conocemos una de estas medidas, ¡también conocemos la otra! Una cuerda es una distancia de un extremo a otro de una circunferencia que, a diferencia del diámetro, no tiene por qué pasar por el punto central.

Figura 2. Ilustración de un círculo que muestra el diámetro, el radio y el centro del círculo.

Fórmula del área del círculo

Ahora que hemos repasado los elementos de un círculo, empecemos a hablar del área de un círculo. En primer lugar, empezaremos con una definición.

Para hallar el área de un círculo, utilizamos la fórmula

\[Área = \pi \cdot r^2\]

donde

• \(A\\) es el área del círculo.
• \(π\) (pi) es una constante matemática aproximadamente igual a 3,14159.
• \(r\) es el radio del círculo, que es la distancia desde el centro del círculo a cualquier punto de su circunferencia.

Para esta fórmula, es importante saber que \(\pi\) es pi. ¿Qué es pi? Es una constante representada por la letra griega \(\pi\) y su valor equivale aproximadamente a 3,14159.

No tienes que memorizar el valor de pi porque la mayoría de las calculadoras tienen una tecla para introducirlo rápidamente, que se muestra como \(\pi\).

Ejemplos de área de un círculo

Utilicemos la fórmula del área en un ejemplo para ver cómo podemos aplicar este cálculo en la práctica.

¿De dónde procede la fórmula del área de un círculo?

El área de un círculo puede obtenerse cortando el círculo en trozos pequeños, como se indica a continuación.

Un círculo se rompe en trozos para formar un rectángulo aproximado.

Si rompemos el círculo en pequeños trozos triangulares (como los de una porción de pizza) y los juntamos de forma que se forme un rectángulo, puede que no parezca un rectángulo exacto, pero si cortamos el círculo en trozos lo suficientemente finos, entonces podremos aproximarlo a un rectángulo.

Observa que hemos dividido las rodajas en dos partes iguales y las hemos coloreado de azul y amarillo para diferenciarlas. Por tanto, la longitud del rectángulo formado será la mitad de la circunferencia del círculo, que será \(\pi r\). Y la anchura será el tamaño de la rebanada, que es igual al radio del círculo, r.

La razón por la que hemos hecho esto, es que tenemos la fórmula para calcular el área de un rectángulo: la longitud por la anchura. Así, tenemos

\[A = (\pi r)r\]

\[A = \pi r^2\]

Verbalmente, el área de un círculo de radio r es igual a \(\pi\) x el ^radio2. Por tanto, las unidades de área son ^cm2,^m2 o (unidad)² para las unidades adecuadas.

Cálculo del área de círculos con un diámetro

Hemos visto la fórmula del área de un círculo, que utiliza el radio. Sin embargo, también podemos hallar el área de un círculo utilizando su diámetro. Para ello, dividimos la longitud del diámetro por 2, lo que nos da el valor del radio que debemos introducir en nuestra fórmula. (Recuerda que el diámetro de un círculo es el doble de la longitud de su radio). Veamos un ejemplo que utiliza este método.

Cálculo del área de círculos con circunferencia

Además del área de un círculo, otra medida común y útil es su circunferencia.

Veamos algunas fórmulas que relacionan la circunferencia con el radio y el diámetro del círculo:

\frac {{Circunferencia}} {{Diámetro}} = \pi \rightarrow \text{Circunferencia} = \pi \cdot \text{Diámetro} \arrow \text{Circunferencia} = \pi \cdot 2 \cdot r\]

Las fórmulas anteriores muestran que podemos multiplicar \(\pi\) por el diámetro de un círculo para calcular su circunferencia. Como el diámetro es el doble de la longitud del radio, podemos sustituirlo por \(2r\) si necesitamos modificar la ecuación de la circunferencia.

Es posible que te pidan hallar el área de un círculo utilizando su circunferencia. Veamos un ejemplo.

Área de semicírculos y cuartos de círculo con ejemplos

También podemos analizar la forma del círculo en términos de mitades o cuartos. En este apartado hablaremos del área de los semicírculos (círculos cortados por la mitad) y de los cuartos de círculo (círculos cortados en cuartos).

Área y circunferencia de un semicírculo

Un semicírculo es una media circunferencia. Se forma dividiendo un círculo en dos mitades iguales, cortadas a lo largo de su diámetro. El área de un semicírculo puede escribirse como

\(\text{Área de un semicírculo} = \frac{pi \cdot r^2}{2}\)

Donde r es el radio del semicírculo

Para hallar la circunferencia de un semicírculo, primero reducimos a la mitad la circunferencia de todo el círculo, y luego añadimos una longitud adicional que es igual al diámetro d. Esto se debe a que el perímetro o límite de un semicírculo debe incluir el diámetro para cerrar el arco. La fórmula de la circunferencia de un semicírculo es

\[\text{Circunferencia de un semicírculo} = \frac{pi \cdot d}{2} + d\].

Área y circunferencia de un cuarto de círculo

Un círculo puede dividirse en cuatro cuartos iguales, lo que da lugar a cuatro cuartos de círculo. Para calcular el área de un cuarto de círculo, la ecuación es la siguiente

\[\text{Área de un cuarto de círculo} = \frac{pi \cdot r^2}{4}\].

Para obtener la circunferencia de un cuarto de círculo, empezamos dividiendo por cuatro la circunferencia del círculo completo, pero eso sólo nos da la longitud del arco del cuarto de círculo. Entonces tenemos que añadir la longitud del radio dos veces para completar el límite del cuarto de círculo. Este cálculo puede realizarse mediante la siguiente ecuación:

\(\text{Circunferencia de un cuarto de circunferencia} = \frac{pi \cdot d}{4} + 2r Flecha derecha Circunferencia de un cuarto de círculo = \frac{pi \cdot d}{4} + d\)