Supongamos ahora que quieres calcular el espacio total que ocupa un campo de fútbol. Entonces, necesitarías saber cómo calcular el área de un rectángulo.
Un rectángulo es un cuadrilátero con ángulos internos que son todos ángulos rectos. El espacio bidimensional ocupado por un rectángulo es el área de un rectángulo.
Un cuadrilátero con 2 pares de lados opuestos paralelos se llama paralelogramo. Como todos los ángulos de un rectángulo son rectos, resulta que los pares de lados opuestos de un rectángulo son siempre paralelos. Esto hace que todo rectángulo sea un paralelogramo. De hecho, un rectángulo se considera un tipo especial de paralelogramo.
Área de los rectángulos: Fórmula
El área de un rectángulo es la medida de la cantidad de espacio encerrado por el rectángulo. Se calcula multiplicando la longitud del rectángulo por su anchura. El área de un rectángulo se calcula multiplicando su longitud por su anchura. Considera el siguiente rectángulo.
Hallar el área del rectángulo mediante este ejemplo ilustrativo
El área de un rectángulo viene dada por la fórmula
\[Área = b \veces h\]
donde b = longitud de la base, h = longitud de la altura
Ahora el valor, b, es la longitud del lado AB, que aquí se considera la base. Convencionalmente, uno de los lados más largos del rectángulo se considera la base, y uno de los lados perpendiculares a la base se considera la altura. En este rectángulo, la altura es igual a la longitud de AD.
En algunas convenciones, la base y la altura se denominan longitud y anchura del rectángulo.
Caso especial: Fórmula del área de un cuadrado
Un cuadrado es un caso especial de rectángulo. Además de que los 4 ángulos internos son ángulos rectos, los 4 lados de un cuadrado son iguales.
Un ejemplo del área del cuadrado.
Observa el cuadrado anterior y recuerda la fórmula del área de un rectángulo: \[Área = base \ veces altura.\]
Como los 4 lados de un cuadrado son iguales, la base y la altura son iguales. Basta con conocer la longitud de los lados de un cuadrado para calcular su área. Así, en el caso de un cuadrado, la fórmula puede reducirse a
\[Área = longitud\ de,lado \ de,lado = (longitud\ de,lado)^2\]
Área de rectángulos: Unidades cuadradas
Cuando consideres el área de una figura, recuerda que el área se mide en unidades cuadradas, como centímetros cuadrados (cm2), pies cuadrados (ft2), pulgadas cuadradas (in2), etc.
Si no estás familiarizado con la unidad cuadrada, te resultará útil considerar el concepto tal y como se representa visualmente en la figura siguiente. Considera cuántas unidades cuadradas se necesitan para cubrir exacta y exhaustivamente toda la superficie de una figura cerrada. Esta cantidad es el área de la figura.
Unidades cuadradas, Jurgensen & Brown-Geometría
Área de rectángulos: Ejemplos de problemas
Los siguientes ejemplos muestran cómo hallar el área de un rectángulo.
Ejemplo 1: Supón que tienes un rectángulo con una longitud de 10 unidades y una anchura de 5 unidades. Para hallar el área
\[Área=10\,unidades\veces5\, unidades=50\, cuadrado\, unidades\]
Ejemplo 2: Imagina una parcela de jardín en forma de rectángulo con una longitud de 15 metros y una anchura de 8 metros. Para determinar el área
\[Área=15\,metros\tiempos8\, metros=120\, cuadrados\, metros\]
Ejemplo 3: Considera una piscina rectangular con una longitud de 25 metros y una anchura de 10 metros. Para hallar el área
\[Área=25\,metros\times10\, metros=250\, cuadrado\, metros\]
Aquí tienes un desglose más detallado de cómo hallar el área de un rectángulo:
Un rectángulo con un área de 60m2 tiene una base de longitud 20 m. ¿Cuál es la altura del rectángulo?
Solución
Área = b × h
⇒60 m2= 20 m × h
⇒ h = 60m2 ÷ 20 m
⇒ h = 3 m
Si te dan la longitud de 1 de los lados (base o altura) de un rectángulo y la longitud de la diagonal, puedes calcular la longitud desconocida del lado (altura o base) utilizando el Teorema de Pitágoras. El teorema de Pitágoras afirma que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros 2 lados.
La siguiente figura muestra cómo la diagonal de un rectángulo lo divide en 2 triángulos rectángulos, lo que nos permite utilizar el teorema de Pitágoras. Entonces, una vez conocidas la base y la altura del rectángulo, se puede calcular el área.
La diagonal de un rectángulo lo divide en 2 triángulos rectángulos.
En el siguiente rectángulo ABCD, AB = 9, BD = 15. Halla el área del rectángulo.
Solución
Como los ángulos internos de un rectángulo son ángulos rectos, BD es la hipotenusa del triángulo rectángulo, ΔABD.
Entonces,
Según el Teorema de Pitágoras,
\[AD^2 + AB^2 \N - Flecha derecha AD^2 + 9^2 = 15^2 \N - Flecha derecha AD^2 = 15^2 - 9^2 \N - Flecha derecha AD^2 = 144 \N - Flecha derecha AD = 12 \].
Área del rectángulo = b × h
= 12 pies × 9 ft.
= 108 ft2
Un cuadrado tiene lados de 3 m de longitud. ¿Cuál es el área del cuadrado?
Solución
Área = lado × lado
= 10 pies × 10 pies
= 100 pies2
Área de rectángulos con fracciones
Si la longitud y la anchura de un rectángulo se dan como fracciones, puedes calcular su área multiplicando estas fracciones.
Vamos a explicarlo con un ejemplo:
Supongamos que la longitud \( b \) de un rectángulo es \( \frac{3}{4}\) unidades y la anchura \( h \) es \( \frac{2}{5}\) unidades.
Para hallar el área \( A \) del rectángulo: \[ A = b \times h \] Sustituye las fracciones dadas: \[ A = \frac{3}{4} \times \frac{2}{5} \] Para multiplicar las fracciones: \Comienza. \Multiplicar los numeradores:& &cuadrado 3 veces 2 = 6 \text Multiplicar los denominadores:& &cuadrado 4 veces 5 = 20 \end {align*} Esto da: \[ A = \frac{6}{20} \] Simplificando la fracción al dividir tanto el numerador como el denominador por su máximo común divisor: \[ A = \frac{3}{10} \] Por tanto, el área del rectángulo es de \( \frac{3}{10} \) unidades cuadradas.
Perímetro y área de rectángulos
El perímetro y el área son dos propiedades fundamentales de un rectángulo.
Perímetrode un rectángulo: El perímetro es la distancia total alrededor del rectángulo, o la suma de todos sus lados. Como los lados opuestos de un rectángulo tienen la misma longitud, el perímetro \(P\) puede hallarse mediante la fórmula \[P=2l+2w\]
En el mismo ejemplo, con una longitud de 5 unidades y una anchura de 3 unidades, el perímetro sería
\[2(5)+2(3) = 10+6 = 16\,unidades \]
En resumen:
- El área da el espacio total encerrado por el rectángulo y se mide en unidades cuadradas (por ejemplo, centímetros cuadrados, metros cuadrados, pulgadas cuadradas).
- El perímetro da la distancia total alrededor del rectángulo y se mide en unidades lineales (p. ej., centímetros, metros, pulgadas).
Área de rectángulos - Aspectos clave
- Un rectángulo es un cuadrilátero cuyos ángulos internos son todos rectos.
- El área de un rectángulo viene dada por la fórmula Área = b × h
donde b = base, h = altura.
Un cuadrado es un caso especial de rectángulo. Además de que los 4 ángulos internos son ángulos rectos, los 4 lados de un cuadrado son iguales.
El área de un cuadrado viene dada por la fórmula Área = lado × lado
Cuando las dimensiones de un rectángulo se dan en fracciones, el proceso sigue siendo el mismo: basta con multiplicar la longitud fraccionaria por la anchura fraccionaria.
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