Área de paralelogramos

Recapitulación sobre los paralelogramos

Antes de entrar en el tema principal que nos ocupa, hagamos un rápido repaso sobre los paralelogramos para facilitarnos la entrada en este tema.

Como su nombre indica, un paralelogramo tiene lados paralelos. Por tanto, podemos definir un paralelogramo como sigue.

La siguiente figura describe un paralelogramo de lados AB, BD, CD y AC.

Ilustración de un paralelogramo, StudySmarter Originals

Propiedades de los paralelogramos

Volvamos a nuestro paralelogramo ABCD anterior. Veamos algunas propiedades que distinguen a esta forma.

• Los lados opuestos de ABCD son paralelos. En este caso, AB es paralelo a CD y AC es paralelo a BD. Lo escribimos como AB // CD y AC // BD,

• Los ángulos opuestos de ABCD son iguales. Aquí, ∠CAB = ∠CDB y ∠ACD = ∠ABD,

• Las diagonales de un paralelogramo se bisecan en un punto, digamos M. Entonces, AM = MD y BM = MC. Esto se muestra a continuación,

Propiedad de un paralelogramo , StudySmarter Originals

• Cada diagonal de un paralelogramo divide al paralelogramo en dos triángulos congruentes. El triángulo CAB es congruente con el triángulo CDB y el triángulo ACD es congruente con el triángulo ABD.

Tipos de paralelogramos

Hay tres tipos de paralelogramos que debemos considerar a lo largo de este temario, a saber

1. Rectángulo

2. Cuadrado

3. Rombo

Cada uno de estos paralelogramos tiene características propias que los diferencian entre sí. Puedes encontrar una explicación más detallada de los paralelogramos aquí, Paralelogramos.

Definición del área de un paralelogramo

En el diagrama anterior, el área total encerrada por ABCD es el área del paralelogramo ABCD.

Fórmula del área del paralelogramo

Refiriéndonos a nuestro paralelogramo inicial ABCD, añadiremos a esta figura dos nuevos componentes llamados b y h. Esto se muestra en el diagrama siguiente.

Un paralelogramo con base b y altura h, Estudiar Smarter Originals

La variable b se llama base del paralelogramo. Cualquiera de los lados largos de ABCD puede utilizarse como base. En el diagrama anterior, b puede ser AB o CD. Aquí hemos tomado b = AB.

La variable h se denomina altura del paralelogramo. También puede denominarse altitud. La altitud es el segmento de recta perpendicular a un par de lados adyacentes del paralelogramo con un extremo en un lado y el otro extremo en el otro lado.

Ahora que hemos definido nuestras variables b y h, podemos presentar el área de un paralelogramo de la siguiente manera.

Ejemplos de área de paralelogramo

Teniendo esto en cuenta, observemos ahora los siguientes ejemplos trabajados que hacen uso de esta fórmula.

Hallar el área de un paralelogramo a partir de un rectángulo

Supongamos que queremos hallar el área de un paralelogramo cuya altura (o altitud) se desconoce. En cambio, se nos dan las longitudes de dos lados del paralelogramo, a saber, las longitudes de AB y AC.

Intentemos ver este escenario gráficamente. Volviendo a nuestro paralelogramo inicial ABCD, dibujemos dos altitudes para cada par de lados adyacentes, AC y AB, así como CD y BD.

Área de un paralelogramo a partir de un rectángulo, StudySmarter Originals

Obtenemos así dos nuevos puntos en este paralelogramo, a saber, S y T. Observa ahora la forma formada por BTCS. ¿Te resulta familiar? Pues sí. Es un rectángulo, que también es un tipo de paralelogramo. Ahora tenemos que encontrar la forma de obtener las longitudes de CS o BT para poder deducir la altura de este paralelogramo.

Observa que a partir de la construcción de estos dos segmentos de recta, hemos obtenido un par de triángulos rectángulos, CAS y BDT. Como CS = BT, nos basta con calcular sólo uno de ellos. Echemos un vistazo al triángulo CAS.

Triángulo CAS, Originales de StudySmarter

Para simplificar, denotaremos los siguientes lados: x = AS, y = CS y z = AC. Como se trata de un triángulo rectángulo, podemos utilizar el teorema de Pitágoras para obtener la longitud de CS, que es la altura del paralelogramo ABCD. Dadas las longitudes de AS y AC, tenemos

^x2 + ^y2 = ^z2

Reordenando esto y aplicando la raíz cuadrada, obtenemos

$y=\sqrt{z^2-x^2}$

Como ya hemos hallado la longitud de CS, podemos seguir hallando el área del paralelogramo ABCD mediante la fórmula dada. Tomaremos como base la longitud de AB. Por tanto, el área de ABCD es

$Are{a}_{ABCD}=AB\times CS$

Vamos a demostrarlo con un ejemplo.

Ejemplo de paralelogramo inscrito en un rectángulo

En este ejemplo, veremos un caso en el que un paralelogramo está inscrito dentro de un rectángulo. Queremos identificar el área dentro del rectángulo que no está ocupada por el paralelogramo.

Un caso especial: Área del rombo

El rombo es un tipo especial de cuadrilátero que, de hecho, tiene su propia fórmula para calcular su área. A veces se denomina cuadrilátero equilátero. Recordemos la definición de rombo.

Consideremos ahora el rombo siguiente. Sobre este paralelogramo se construyen dos diagonales, AD (línea azul claro) y BC (línea azul oscuro). Las diagonales tienen longitudes _d1 y _d2, respectivamente.

Área de un rombo, StudySmarterOriginals

Área de un rombo

El área del rombo viene dada por la fórmula,

$A=\mathit{}\frac{\mathit{1}}{\mathit{2}}{d}_{\mathit{1}}{d}_{\mathit{2}}$

donde A = área, _d1 = longitud de la diagonal AD y _d2 = longitud de la diagonal BC.

Ejemplo del área de un rombo

He aquí un ejemplo con la fórmula del área de un rombo.

• Lafórmula del área de un rombo también se puede utilizar para hallar el área de una cometa de forma similar.

Terminaremos este artículo con un último ejemplo sobre el área de un paralelogramo, o más concretamente de una cometa.

Ejemplo real del área de un paralelogramo

Volvamos al ejemplo del principio de este artículo. Como ya tenemos una fórmula básica para calcular el área de un paralelogramo, podemos utilizarla para hallar el área de nuestra cometa.