- interseca a otro segmento de recta en ángulo recto (90o), y
- divide el segmento de recta intersecado en dos partes iguales.
El punto de intersección de la mediatriz con un segmento de recta es el punto medio del segmento de recta.
Representación gráfica de una mediatriz
El diagrama siguiente muestra una representación gráfica de una mediatriz que cruza un segmento de recta en un plano cartesiano.
Fig. 1: Mediatriz.
La mediatriz cruza el punto medio de los puntos A (x1, y1) y B (x2, y2) que se encuentran en el segmento de recta. Esto se denota con las coordenadas M (xm, ym). La distancia desde el punto medio hasta cualquiera de los puntos A o B tiene la misma longitud. En otras palabras, AM = BM.
Sea la ecuación de la recta que contiene los puntos A y B y = m1x + c, donde m1 es la pendiente de dicha recta. Análogamente, la ecuación de la mediatriz de esta recta es y =m2 x + d, dondem2 es la pendiente de la mediatriz.
La pendiente de una recta también puede denominarse gradiente.
Como las dos rectas y = m1x + c e y =m2 x + d son perpendiculares entre sí, el producto entre las dos pendientes m1 ym2 es -1.
Ecuación de una bisectriz perpendicular
Volviendo al diagrama anterior, supongamos que nos dan las coordenadas de dos puntos A (x1, y1) y B (x2, y2). Queremos hallar la ecuación de la mediatriz que pasa por el punto medio entre A y B. Podemos localizar la ecuación de la mediatriz siguiendo el siguiente método.
Paso 1: Dados los puntos A (x1, y1) y B (x2, y2), halla las coordenadas del punto medio utilizando la Fórmula del Punto Medio.
Paso2: Calcula la pendiente del segmento de recta, m1, que une A y B utilizando la Fórmula del Gradiente.
Paso 3: Determina la pendiente de la mediatriz,m2, utilizando la siguiente derivación.
Paso 4: Evalúa la ecuación de la mediatriz utilizando la Fórmula de la Ecuación de una Recta y el punto medio M (xm, ym) y la pendientem2 hallados.
Halla la ecuación de la mediatriz del segmento de recta que une los puntos (9, -3) y (-7, 1).
Solución
Sean (x1, y1) = (9, -3) y (x2, y2) = (-7, 1).
El punto medio viene dado por:
La pendiente del segmento de recta que une los puntos (9, -3) y (-7, 1) es:
La pendiente de la mediatriz de este segmento de recta es:
Obtenemos así la ecuación de la mediatriz:
Teorema de la mediatriz
El teorema de la mediatriz nos dice que cualquier punto de la mediatriz equidista de los dos extremos de un segmento de recta.
Se dice que un punto es equidistante de un conjunto de coordenadas si las distancias entre ese punto y cada coordenada del conjunto son iguales.
Observa el diagrama siguiente.
Fig. 2: Teorema de la bisectriz perpendicular.
Si la recta MO es la mediatriz de la recta XY entonces:
Antes de empezar la demostración, recuerda la regla de congruencia SAS.
Congruencia SAS
Si dos lados y un ángulo incluido de un triángulo son iguales a dos lados y un ángulo incluido de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
Fig. 3: Demostración del teorema de la bisectriz perpendicular.
Observa el esquema anterior. Comparando los triángulos XAM e YAM comprobamos que
XM = YM porque M es el punto medio
AM = AM porque es un lado compartido
∠XMA = ∠YMA = 90o
Por la regla de congruencia de SAS, los triángulos XAM e YAM son congruentes. Utilizando CPCTC, A es equidistante tanto de X como de Y, o dicho de otro modo, XA = YA como partes correspondientes de triángulos congruentes.
Dado el triángulo XYZ siguiente, determina la longitud del lado XZ si la mediatriz del segmento de recta BZ es XA para el triángulo XBZ. Aquí, XB = 17 cm y AZ = 6 cm.
Fig. 4: Ejemplo 1.
Como AX es la mediatriz del segmento de recta BZ, cualquier punto de AX equidista de los puntos B y Z por el Teorema de la mediatriz. Esto implica que XB = XZ. Por tanto, XZ = 17 cm.
Teorema de la inversa de la mediatriz
El teorema de la inversa de la mediatriz afirma que si un punto equidista de los extremos de un segmento de recta en el mismo plano, ese punto se encuentra en la mediatriz del segmento de recta.
Para verlo más claro, consulta el esquema siguiente.
Fig. 5: Inverso del teorema de la bisectriz perpendicular.
Si XP = YP, el punto P está en la mediatriz del segmento de recta XY.
Observa el siguiente diagrama.
Fig. 6: Prueba del teorema de la bisectriz perpendicular inversa.
Se nos da que XA = YA. Queremos demostrar que XM = YM. Construye una recta perpendicular desde el punto A que corte a la recta XY en el punto M. Esto forma dos triángulos, XAM e YAM. Comparando estos triángulos, observa que
XA = YA (dado)
AM = AM (lado compartido)
∠XMA = ∠YMA = 90o
Por la regla de congruencia de SAS, los triángulos XAM e YAM son congruentes. Como el punto A es equidistante de X e Y, A se encuentra en la mediatriz de la recta XY. Por tanto, XM = YM, y M también es equidistante de X e Y.
Dado el siguiente triángulo XYZ, determina la longitud de los lados AY y AZ si XZ = XY = 5 cm. La recta AX corta al segmento de recta YZ en ángulo recto en el punto A.
Fig. 7: Ejemplo 2.
Como XZ = XY = 5 cm, esto implica que el punto A se encuentra en la mediatriz de YZ por la inversa del Teorema de la mediatriz. Por tanto, AY = AZ. Resolviendo para x, obtenemos
Ahora que hemos hallado el valor de x, podemos calcular el lado AY como
Como AY = AZ , por tanto, AY = AZ = 3 cm.
Bisectriz perpendicular; circuncentro de un triángulo
La mediatriz de un triángulo es un segmento de recta que se traza desde el lado de un triángulo hasta el vértice opuesto. Esta recta es perpendicular a dicho lado y pasa por el punto medio del triángulo. La mediatriz de un triángulo divide los lados en dos partes iguales.
Todo triángulo tiene tres mediatrices, ya que tiene tres lados.
El circuncentro es un punto en el que se cruzan las tres mediatrices de un triángulo.
El circuncentro es el punto de concurrencia de las tres mediatrices de un triángulo dado.
Un punto en el que se cruzan tres o más rectas distintas se denomina punto de concurrencia. Del mismo modo, se dice que tres o más rectas son concurrentes si pasan por un punto idéntico.
Esto se describe en el diagrama siguiente, donde P es el circuncentro del triángulo dado.
Fig. 8: Teorema del circuncentro.
Teorema del circuncentro
Los vértices de un triángulo son equidistantes del circuncentro. En otras palabras, dado un triángulo ABC, si las mediatrices de AB, BC y AC se encuentran en el punto P, entonces AP = BP = CP.
Prueba
Observa el triángulo ABC anterior. Se dan las mediatrices de los segmentos AB, BC y AC. La mediatriz de AC y BC se cruzan en el punto P. Queremos demostrar que el punto P está en la mediatriz de AB y equidista de A, B y C. Observa ahora los segmentos AP, BP y CP.
Según el Teorema de la mediatriz, cualquier punto de la mediatriz equidista de los dos extremos de un segmento de recta. Por tanto, AP = CP y CP = BP.
Por la propiedad transitiva, AP = BP.
La propiedad transitiva establece que si A = B y B = C, entonces A = C.
Por la inversa del teorema de la mediatriz, cualquier punto equidistante de los extremos de un segmento se encuentra en la mediatriz. Por tanto, P está sobre la mediatriz de AB. Como AP = BP = CP, el punto P equidista de A, B y C.
Hallar las coordenadas del circuncentro de un triángulo
Supongamos que nos dan tres puntos, A, B y C, que forman un triángulo en la gráfica cartesiana. Para localizar el circuncentro del triángulo ABC, podemos seguir el método siguiente.
Evalúa el punto medio de los dos lados.
Halla la pendiente de los dos lados elegidos.
Calcula la pendiente de la mediatriz de los dos lados elegidos.
Determina la ecuación de la mediatriz de los dos lados elegidos.
Iguala las dos ecuaciones del Paso 4 entre sí para hallar la coordenada x.
Introduce la coordenada x hallada en una de las ecuaciones del Paso 4 para identificar la coordenada y.
Localiza las coordenadas del circuncentro del triángulo XYZ dados los vértices X (-1, 3), Y (0, 2) y Z (-2, -2).
Empecemos por esbozar el triángulo XYZ.
Fig. 9: Ejemplo 3.
Intentaremos hallar las mediatrices de los segmentos de recta XY y XZ dados sus respectivos puntos medios.
Bisectriz perpendicular de XY
El punto medio viene dado por:
La pendiente del segmento de recta XY es:
La pendiente de la mediatriz de este segmento de recta es:
Por tanto, obtenemos la ecuación de la mediatriz como
Bisectriz perpendicular de XZ
El punto medio viene dado por:
La pendiente del segmento de recta XZ es:
La pendiente de la mediatriz de este segmento de recta es:
Por tanto, obtenemos la ecuación de la mediatriz como:
Establece las ecuaciones de la mediatriz de XY = mediatriz de XZ
La coordenada x se obtiene mediante:
La coordenada y se obtiene mediante:
Así, el circuncentro viene dado por las coordenadas
Teorema del ángulo bisector
El Teorema del Ángulo Bisectriz nos dice que si un punto se encuentra en la bisectriz de un ángulo, entonces el punto es equidistante de los lados del ángulo.
Esto se describe en el diagrama siguiente.
Fig. 10: Teorema de la bisectriz de un ángulo.
Si el segmento de recta CD biseca el ∠C y AD es perpendicular a AC y BD es perpendicular a BC, entonces AD = BD.
Antes de empezar la demostración, recuerda la regla de congruencia ASA.
Congruencia ASA
Si dos ángulos y un lado incluido de un triángulo son iguales a dos ángulos y un lado incluido de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
Prueba
Tenemos que demostrar que AD = BD.
Como la recta CD biseca a ∠C, esto forma dos ángulos de igual medida, a saber ∠ACD = ∠BCD. Además, observa que como AD es perpendicular a AC y BD es perpendicular a BC, entonces ∠A = ∠B = 90o. Por último, CD = CD para ambos triángulos ACD y BCD.
Por la regla de congruencia ASA, el triángulo ACD es congruente con el triángulo BCD. Por tanto, AD = BD.
Relación entre el teorema del ángulo bisector y los triángulos
Efectivamente, podemos utilizar este teorema en el contexto de los triángulos. Aplicando este concepto, la bisectriz de cualquier ángulo de un triángulo divide el lado opuesto en dos partes que son proporcionales a los otros dos lados del triángulo. La bisectriz de un ángulo divide el ángulo bisecado en dos ángulos de medidas iguales.
Esta proporción se describe en el diagrama siguiente para el triángulo ABC.
Fig. 11: Teorema del ángulo bisector y triángulos.
Si el ángulo bisectriz de ∠C está representado por el segmento de recta CD y ∠ACD = ∠BCD, entonces:
Teorema de la inversa del ángulo bisector
El teorema de la inversa de la bisectriz de un ángulo afirma que si un punto equidista de los lados de un ángulo, dicho punto se encuentra en la bisectriz del ángulo.
Esto se ilustra en el diagrama siguiente.
Fig. 12: Inverso del teorema de la bisectriz del ángulo.
Si AD es perpendicular a AC y BD es perpendicular a BC y AD = BD, entonces el segmento de recta CD biseca la ∠C.
Prueba
Tenemos que demostrar que CD biseca a ∠C.
Como AD es perpendicular a AC y BD es perpendicular a BC, entonces ∠A = ∠B = 90o. También se nos da que AD = BD. Por último, ambos triángulos ACD y BCD comparten un lado común al trazar un segmento de recta que pasa por ∠C, es decir, CD = CD.
Según la regla de congruencia de SAS, el triángulo ACD es congruente con el triángulo BCD. Por tanto, CD biseca a ∠C.
Relación entre la inversa del teorema de la bisectriz del ángulo y los triángulos
Como antes, podemos aplicar este teorema también a los triángulos. En este contexto, un segmento de recta construido a partir de cualquier ángulo de un triángulo que divide el lado opuesto en dos partes tales que son proporcionales a los otros dos lados del triángulo implica que el punto del lado opuesto de ese ángulo se encuentra en la bisectriz del ángulo.
Este concepto se ilustra a continuación para el triángulo ABC.
Fig. 13: Inverso del teorema de la bisectriz del ángulo y los triángulos.
Si entonces D se encuentra en la bisectriz del ángulo de ∠C y el segmento de recta CD es la bisectriz del ángulo de ∠C.
Observa el triángulo XYZ a continuación.
Fig. 14: Ejemplo 4.
Halla la longitud del lado XZ si XA es el ángulo bisector de ∠X, XY = 8 cm, AY = 3 cm y AZ = 4 cm.
Por el Teorema del ángulo bisector de los triángulos, dado que XA es el ángulo bisector de ∠X, entonces
Por tanto, la longitud de XZ es aproximadamente 10,67 cm.
El mismo concepto se aplica a la inversa del Teorema del ángulo bisector para triángulos. Supongamos que nos dan el triángulo anterior con las medidas XY = 8 cm, XZ = cm, AY = 3 cm y AZ = 4 cm. Queremos determinar si el punto A se encuentra en la bisectriz del ángulo de ∠X. Evaluando la razón de los lados correspondientes, hallamos que
Por tanto, el punto A se encuentra sobre el ángulo bisector de ∠X y el segmento de recta XA es el ángulo bisector de ∠X.
Bisectriz de un triángulo
La bisectriz de un ángulo de un triángulo es un segmento de recta que se traza desde el vértice de un triángulo hasta el lado opuesto. La bisectriz de un ángulo de un triángulo divide el ángulo bisecado en dos medidas iguales.
Todo triángulo tiene tres bisectrices angulares, ya que tiene tres ángulos.
El incentro es un punto de intersección de las tres bisectrices angulares de un triángulo.
El incentro es el punto de concurrencia de las tres bisectrices angulares de un triángulo dado. Esto se ilustra en el diagrama siguiente, donde Q es el incentro del triángulo dado.
Fig. 15: Teorema del incentro.
Teorema del incentro
Los lados de un triángulo equidistan del incentro. En otras palabras, dado un triángulo ABC, si las bisectrices de los ángulos ∠A, ∠B y ∠C se encuentran en el punto Q, entonces QX = QY = QZ.
Prueba
Observa el triángulo ABC anterior. Están dadas las bisectrices angulares de ∠A, ∠B y ∠C. Las bisectrices de los ángulos ∠A y ∠B se cortan en el punto Q. Queremos demostrar que el punto Q está sobre la bisectriz del ángulo ∠C y equidista de X, Y y Z. Observa ahora los segmentos de recta AQ, BQ y CQ.
Según el teorema de la bisectriz de un ángulo, cualquier punto situado sobre la bisectriz de un ángulo es equidistante de los lados del ángulo. Por tanto, QX = QZ y QY = QZ.
Por la propiedad transitiva, QX = QY.
Por el Teorema Inverso de la Bisectriz de un Ángulo, un punto que equidista de los lados de un ángulo está sobre la bisectriz del ángulo. Por tanto, Q está en la bisectriz del ángulo de ∠C. Como QX = QY = QZ, el punto Q es equidistante de X, Y y Z.
Si el incentro del triángulo XYZ, halla el valor de en la figura de abajo. XA, YB y ZC son las bisectrices de los ángulos del triángulo.
Fig. 16: Ejemplo 5.
∠YXA y ∠ZYB vienen dados por 32o y 27o respectivamente. Recuerda que una bisectriz de ángulo divide un ángulo en dos medidas iguales. Observa además que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180o.
Como Q es el incentro XA, YB y ZC son los ángulos bisectores del triángulo, entonces
Por tanto, ∠θ = 31o
La mediana de un triángulo
La mediana es un segmento de recta que une el vértice de un triángulo con el punto medio del lado opuesto.
Todo triángulo tiene tres medianas, ya que tiene tres vértices.
El centroide es un punto en el que se cruzan las tres medianas de un triángulo.
El centroide es el punto de concurrencia de las tres medianas de un triángulo dado. Esto se muestra en la siguiente ilustración, donde R es el incentro del triángulo dado.
Fig. 17: Teorema del centroide.
Teorema del centroide
El centroide de un triángulo es dos tercios de la distancia de cada vértice al punto medio del lado opuesto. En otras palabras, dado un triángulo ABC, si las medianas de AB, BC y AC se encuentran en un punto R, entonces
Si R es el centroide del triángulo XYZ, halla el valor de AR y XR dado que XA = 21 cm en el diagrama de abajo. XA, YB y ZC son las medianas del triángulo.
Fig. 18: Ejemplo 6.
Por el Teorema del Centroide, deducimos que XR se puede hallar mediante la fórmula:
El valor de AR es:
Por tanto, cm y
cm.
La altitud de un triángulo
La altitud es un segmento de recta que pasa por el vértice de un triángulo y es perpendicular al lado opuesto.
Todo triángulo tiene tres altitudes, ya que tiene tres vértices.
El ortocentro es un punto en el que se cruzan las tres altitudes de un triángulo.
El ortocentro es el punto de concurrencia de las tres altitudes de un triángulo dado. Esto se describe en la imagen siguiente, donde S es el ortocentro del triángulo dado.
Fig. 19: Ortocentro de un triángulo.
Puede ser útil observar que la ubicación del ortocentro, S, depende del tipo de triángulo dado.
| Tipo de triángulo | Posición del ortocentro, S |
| Agudo | S está dentro del triángulo |
| Recto | S está sobre el triángulo |
| Obtuso | S queda fuera del triángulo |
Localización del ortocentro de un triángulo
Supongamos que nos dan un conjunto de tres puntos para un triángulo dado A, B y C. Podemos determinar las coordenadas del ortocentro de un triángulo utilizando la Fórmula del Ortocentro. Ésta viene dada por la técnica que se indica a continuación.
Halla la pendiente de los dos lados
Calcula la pendiente de la mediatriz de los dos lados elegidos (observa que la altitud de cada vértice del triángulo coincide con el lado opuesto).
Determina la ecuación de la mediatriz de los dos lados elegidos con su vértice correspondiente.
Iguala las dos ecuaciones del Paso 3 entre sí para hallar la coordenada x.
Introduce la coordenada x hallada en una de las ecuaciones del Paso 3 para identificar la coordenada y.
Localiza las coordenadas del ortocentro del triángulo XYZ dados los vértices X (-5, 7), Y (5, -1) y Z (-3, 1). XA, YB y ZC son las altitudes del triángulo.
Empezaremos dibujando un esbozo del triángulo XYZ.
Fig. 20: Ejemplo 7.
Intentaremos hallar las mediatrices de los segmentos de recta XY y XZ dados sus respectivos vértices.
Bisectriz perpendicular de XY
El vértice correspondiente de XY viene dado por el punto Z (-3, 1)
La pendiente del segmento de recta XY es:
La pendiente de la mediatriz de este segmento de recta es:
Obtenemos así la ecuación de la mediatriz:
Bisectriz perpendicular de XZ
El vértice correspondiente a XZ viene dado por el punto Y (5, -1)
La pendiente del segmento de recta XZ es:
La pendiente de la mediatriz de este segmento de recta es:
Por tanto, obtenemos la ecuación de la mediatriz como:
Establece las ecuaciones de la mediatriz de XY = mediatriz de XZ
La coordenada x se obtiene mediante:
La coordenada y se obtiene mediante:
Así, el ortocentro viene dado por las coordenadas
Bisectriz perpendicular - Puntos clave
Teoremas importantes
Teorema Descripción Teorema de la mediatriz Cualquier punto de la mediatriz equidista de los dos extremos de un segmento de recta.
Teorema inverso de la mediatriz Si un punto equidista de los extremos de un segmento de recta en el mismo plano, ese punto se encuentra en la mediatriz del segmento de recta.
Teorema del ángulo bisector Si un punto se encuentra en la bisectriz de un ángulo, entonces el punto equidista de los lados del ángulo.
El teorema del ángulo bisector y los triángulos La bisectriz de cualquier ángulo de un triángulo divide el lado opuesto en dos partes proporcionales a los otros dos lados del triángulo y divide el ángulo bisecado en dos ángulos de igual medida.
La inversa del teorema del ángulo bisectriz Si un punto es equidistante de los lados de un ángulo, entonces el punto se encuentra en la bisectriz del ángulo.
La inversa del teorema del ángulo bisectriz y los triángulos Un segmento de recta construido a partir de cualquier ángulo de un triángulo que divide el lado opuesto en dos partes tales que son proporcionales a los otros dos lados del triángulo implica que el punto situado en el lado opuesto de ese ángulo se encuentra en la bisectriz del ángulo. Conceptos importantes
Concepto Punto de Concurrencia Propiedad Bisectriz perpendicular Circuncentro Los vértices de un triángulo equidistan del circuncentro. Bisectriz del ángulo Incentro Los lados de un triángulo equidistan del incentro. Mediana Centroide El centroide de un triángulo es dos tercios de la distancia de cada vértice al punto medio del lado opuesto. Altitud Ortocentro Los segmentos de recta que incluyen las altitudes del triángulo son concurrentes en el ortocentro. Método: Determinar la ecuación de la mediatriz
- Halla las coordenadas del punto medio.
- Calcula la pendiente de los segmentos de recta elegidos.
- Determina la pendiente de la mediatriz.
- Evalúa la ecuación de la mediatriz.
- Método: Hallar las coordenadas del circuncentro de un triángulo
Evalúa el punto medio de dos lados.
Halla la pendiente de los dos lados elegidos.
Calcula la pendiente de la mediatriz de los dos lados elegidos.
Determina la ecuación de la mediatriz de los dos lados elegidos.
Iguala las dos ecuaciones del Paso 4 entre sí para hallar la coordenada x.
Introduce la coordenada x hallada en una de las ecuaciones del Paso 4 para identificar la coordenada y.
Método: Localización del ortocentro de un triángulo
- Halla la pendiente de los dos lados.
- Calcula la pendiente de la mediatriz de los dos lados elegidos.
- Determina la ecuación de la mediatriz de los dos lados elegidos con su vértice correspondiente.
- Iguala las dos ecuaciones del Paso 3 entre sí para hallar la coordenada x.
- Introduce la coordenada x hallada en una de las ecuaciones del Paso 3 para identificar la coordenada y.
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