Circunferencia

Elementos de la circunferencia

A continuación, hemos representado en una figura las distintas partes relacionadas con la circunferencia.

Fig. 1. Elementos en una circunferencia.

Además, es importante tener claros los siguientes elementos:

Ecuación de la circunferencia

Después de haber definido la circunferencia, vamos a ver cómo hallar su ecuación. Esta nos dará la fórmula de la circunferencia y nos permitirá representarla.

Ecuación reducida de la circunferencia

• En primer lugar, tomamos un punto genérico del plano \( P(x,y) \) y el centro de la que será nuestra circunferencia con coordenadas \( C(c_1,c_2)\). El radio será \(r\).
• Ahora, debemos imponer la condición de que todos los puntos estén a la misma distancia del centro. Esto es: \[d(P,C)=\sqrt{(x-c_1)^2+(y-c_2)^2}=r\]
• Simplificando y elevando al cuadrado, obtenemos la ecuación de la circunferencia, que también se denomina ecuación reducida de la circunferencia: \[(x-c_1)^2+(y-c_2)^2=r^2\]

Con esta ecuación podemos obtener fácilmente las coordenadas del centro y la magnitud del radio, sin necesidad de aplicar ninguna fórmula. Sin embargo, resulta más complicada para hacer operaciones, puesto que los binomios no están desarrollados.

Ecuación general de la circunferencia

• Podemos desarrollar los binomios de cada coordenada: \[x^2+c_1^2-2c_1x+y^2+c_2^2-2c_2y-r^2=0 \]
• Al despejar: \[x^2+y^2-2c_1x-2c_2y+c_1^2+c_2^2-r^2=0\]
• Ahora, podemos sustituir \( D=-2c_1, E=-2c_2\) y \(F=c_1^2+c_2^2-r^2\).

Así, obtenemos la ecuación general de la circunferencia: \[x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\]

Posición relativa de un punto respecto a una circunferencia

Si lo que necesitas saber es la posición relativa entre un punto \( P(P_1,P_2)\) y una circunferencia, lo que tienes que determinar es la distancia entre el punto y el centro de la circunferencia, que tiene como fórmula:

\[d(P,C)=\sqrt{(P_1-c_1)^2+(P_2-c_2)^2}\]

Conociendo esta distancia, podemos decir que:

• Si \(d(P,C)>r\), entonces \(P\) es exterior a la circunferencia.

• Si \(d(P,C)=r\), entonces \(P\) pertenece a la circunferencia.

• Si \(d(P,C)<r\), entonces \(P\) es interior a la circunferencia.

Posición relativa de una recta respecto a una circunferencia

Para determinar la posición relativa de una recta respecto a una circunferencia, tenemos que calcular la distancia entre la recta y el centro de la circunferencia, y comparar esta distancia con el radio. A esto se le llama cálculo de la distancia entre una recta y un punto.

Si tenemos una recta \(s\) con ecuación general: \[Ax+By+C=0\]

Entonces, la distancia entre la recta y un punto \(P(P_1,P_2)\) es: \[d(s,P)={\frac{|A·P_1+B·P_2+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}}\]

De igual manera, podemos determinar la posición relativa entre el punto y la recta como:

• Si \(d(s,P)>r\), entonces la recta es exterior a la circunferencia y no se cortan en ningún punto.

• Si \(d(s,P)=r\), entonces la recta es tangente a la circunferencia y se cortan en un solo punto.

• Si \(d(s,P)<r\), entonces la recta es interior a la circunferencia y se cortan en dos puntos.

Posición relativa de dos circunferencias

Para determinar la posición relativa de dos circunferencias, lo único que tienes que hacer es calcular la distancia entre los centros de ambas y compararla con los radios respectivos. En el caso de contar con dos circunferencias \(C_1\) y \(C_2\), podemos encontrarnos en distintas situaciones:

• Si \(d(C_1,C_2)>r_1+r_2\), son circunferencias exteriores y no se cortan en ningún punto.

• Si \(d(C_1,C_2)=r_1+r_2\), son circunferencias tangentes exteriores y se cortan en un punto.

• Si \(r_1-r_2<d(C_1,C_2)<r_1+r_2\), son circunferencias secantes y se cortan en dos puntos.

• Si \(d(C_1,C_2)=r_1-r_2\), son circunferencias tangentes interiores y se cortan en un punto.

• Si \(d(C_1,C_2)<r_1-r_2\,) son circunferencias interiores y no se cortan en ningún punto.

• Si \(C_1\equiv C_2\), son circunferencias concéntricas y no se cortan en ningún punto.

Potencia de un punto respecto a una circunferencia

La potencia de un punto respecto a una circunferencia es otra manera de determinar la posición relativa entre un punto y una circunferencia.

• Se tiene un punto exterior \(P\) a la circunferencia, del que parten dos rectas (cualesquiera) que cortan la circunferencia.
• A partir de los puntos en los que las rectas cortan la circunferencia y el punto exterior, se forman dos triángulos que son semejantes, por tener un ángulo en común en el punto \(P\); tal como puedes observar en la siguiente figura.

Fig. 2. Un punto P exterior a la circunferencia, a partir del cual parten dos rectas que cortan la circunferencia en puntos \(A\) y \(B\), y sus semejantes \(A'\) y \(B'\).

Los triángulos \(\overline{PBA'}\) y \(\overline{PB'A}\) son semejantes, lo que implica que sus lados son proporcionales:

\[\frac{\overline{PA'}}{\overline{PB}}=\frac{\overline{PA}}{\overline{PB'}}\Rightarrow \overline{PA}·\overline{PB}=\overline{PA'}·\overline{PB'}\]

A esta cantidad \(\overline{PA}·\overline{PB}\) se le denomina potencia del punto P, respecto de la circunferencia C, y se escribe \(Pot_C(P)\).

Como esta cantidad se puede calcular para cualquier recta secante desde el punto \(P\), podemos hacer que esta recta sea la que pase por el centro de la circunferencia. Por tanto, la distancia del punto \(P\) al centro se denomina \(d\) y del centro hacia el punto de corte con la circunferencia opuesto al punto \(P\) es el radio.

Con esto, podemos determinar la potencia de cualquier circunferencia como: \[Pot_C(P)=(d-r)(d+r)=d^2-r^2\]

Gracias a esta relación, podemos determinar la posición de un punto p con respecto a la circunferencia, a través de su potencia:

• Si \(d>r\Rightarrow Pot_C(P)>0\), el punto es exterior.
• Si \(d=r\Rightarrow Pot_C(P)=0\), el punto pertenece a la circunferencia.
• Si \(d<r\Rightarrow Pot_C(P)<0\), el punto es interior.