Contenidos de aprendizaje
Funciones
Descubra
Ya conoces la circunferencia que es una de las famosas cónicas, o figuras que se pueden obtener al cortar un cono en varias secciones. Pero, ¿qué pasa cuando tienes una circunferencia cuyo radio es igual a uno? Bueno, esta circunferencia se llama “circunferencia unitaria” y es más importante de lo que parece a simple vista, en los siguientes párrafos te explicaremos el porqué.
Millones de tarjetas didácticas para ayudarte a sobresalir en tus estudios.
Regístrate gratis¿Cuál es la ecuación de la circunferencia unitaria?
¿Cómo se conoce a la circunferencia con centro en el origen y radio \(r=1\)?
¿Cuánto mide el radio en una circunferencia unitaria?
Supongamos que se tiene una circunferencia unitaria con centro \((0,0)\). Se toma un vector que sale del origen hasta la circunferencia, ¿cuál es su magnitud?
Se tiene una circunferencia unitaria y se traza un triángulo rectángulo dentro del círculo, estando un vértice en el centro y sobre la circunferencia y otro en el eje de abscisas. ¿Cuál es la longitud de la hipotenusa de este triángulo?
¿Cuál es la circunferencia unitaria?
¿Cuál de las siguientes es una identidad trigonométrica?
¿Cuál es la ecuación de la circunferencia unitaria?
¿Cómo se conoce a la circunferencia con centro en el origen y radio \(r=1\)?
¿Cuánto mide el radio en una circunferencia unitaria?
Supongamos que se tiene una circunferencia unitaria con centro \((0,0)\). Se toma un vector que sale del origen hasta la circunferencia, ¿cuál es su magnitud?
Se tiene una circunferencia unitaria y se traza un triángulo rectángulo dentro del círculo, estando un vértice en el centro y sobre la circunferencia y otro en el eje de abscisas. ¿Cuál es la longitud de la hipotenusa de este triángulo?
¿Cuál es la circunferencia unitaria?
¿Cuál de las siguientes es una identidad trigonométrica?
Achieve better grades quicker with Premium
Geld-zurück-Garantie, wenn du durch die Prüfung fällst
Did you know that StudySmarter supports you beyond learning?
Review generated flashcards
Comienza a aprender o crea tus propias tarjetas de aprendizaje con IA
Equipo de profesores de Circunferencia unitaria
¡Gracias por tu interés en el aprendizaje por audio!
Esta función aún no está lista, pero nos encantaría saber por qué prefieres el aprendizaje por audio.
¿Por qué prefieres el aprendizaje por audio? (opcional)
Enviar comentariosLa circunferencia unitaria tiene un radio uno, con centro en el origen \((0,0)\).
La fórmula de para la circunferencia es:
\[(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\]
De este modo si el centro está en \((0, 0)\) su fórmula es:
\[x^2+y^2=1\]
Su gráfica es la siguiente:
Fig. 1. La circunferencia unitaria.
Esta fórmula es muy importante ya que se utiliza como base en trigonometría para encontrar razones trigonométricas y además derivar algunas identidades también.
Las funciones trigonométricas o razones trigonométricas se pueden derivar a partir de la circunferencia unitaria. Veamos la circunferencia y supongamos que tenemos un punto \(A\) en la misma. Si unimos este punto con el eje de las \(x\) y también con el origen \((0, 0)\) se obtiene lo siguiente:
Fig. 2. circunferencia unitaria.
Como puedes observar esto es un triángulo rectángulo. Esto se debe a que el ángulo entre el eje \(x\) y la altura \(h\) es de \(90^o\).
En este caso podemos etiquetar los lados del triángulo como \(c\), \(a\) y \(b\), donde \(c\) es la hipotenusa. Si tomamos el ángulo entre \(c\) y \(b\) como nuestra referencia \(\theta\), entonces tenemos:
Fig. 3. Coordenadas del circulo unitario o unidad.
Y podemos en este caso obtener las identidades para las funciones seno, coseno y tangente. Sabemos que:
\[\sin(\theta)={{CO}\over{H}}\]
\[\cos(\theta)={{CA}\over{H}}\]
Aquí \(CO\) es el cateto opuesto, \(CA\) el cateto adyacente y \(H\) la hipotenusa.
\[\tan(\theta)={{\sin(\theta)}\over{\cos(\theta)}}={{CO}\over{CA}}\]
Si sustituimos los catetos, obtenemos:
\[\sin(\theta)={{b}\over{c}}\]
\[\cos(\theta)={{a}\over{c}}\]
\[\tan(\theta)={{\sin(\theta)}\over{\cos(\theta)}}={{b}\over{a}}\]
Y debido a que \(c\) que es el radio es \(r=1\), se obtiene lo siguiente:
\[\sin(\theta)=b\]
\[\cos(\theta)=a\]
Esto es importante ya que estas son las coordenadas del punto \((a,b)\) en el círculo unitario, es decir, para cada valor de \(\theta\), obtenemos los valores de las coordenadas.
Debido a que la circunferencia unitaria nos da los valores numéricos de las coordenadas, estos se pueden usar para calcular los valores de las funciones trigonométricas para todos los números.
Recuerda que las funciones trigonométricas se repiten cada \(2\pi\), que equivale una vuelta de una circunferencia. De este modo, solo tienes que calcular los valores de \(\sin(x)\) o cualquier otra función en \([0, 2\pi]\) y después los valores se repiten en \([2\pi, 4\pi]\) y así sucesivamente.
Si calculas por ejemplo los valores para las coordenadas cada vez que aumentas \(\theta\) en \(30^o\), obtienes la tabla siguiente:
| \(\theta\) | \(f(\theta)\) |
| \(0\) | \((1,0)\) |
| \(30\) | \(({{\sqrt{3}}\over{2}}, {{1}\over{2}})\) |
| \(60\) | \(({{1}\over{2}}, {{\sqrt{3}}\over{2}})\) |
| \(90\) | \((0, 1)\) |
| \(120\) | \(({{-1}\over{2}}, {{\sqrt{3}}\over{2}})\) |
| \(150\) | \(({{-\sqrt{3}}\over{2}}, {{1}\over{2}})\) |
| \(180\) | \((-1, 0)\) |
| \(210\) | \(({{-\sqrt{3}}\over{2}}, {{-1}\over{2}})\) |
| \(240\) | \(({{-1}\over{2}}, {{-\sqrt{3}}\over{2}})\) |
| \(270\) | \((0, -1)\) |
| \(300\) | \(({{1}\over{2}}, {{-\sqrt{3}}\over{2}})\) |
| \(330\) | \(({{\sqrt{3}}\over{2}}, {{-1}\over{2}})\) |
| \(360\) | \((1, 0)\) |
Tabla 1: Valores para distintas coordenadas en la circunferencia unitaria.
Así puedes observar cómo la coordenada \(x\) corresponde al coseno del ángulo y la coordenada \(y\) corresponde al seno del ángulo.
Fig. 4. Circunferencia unitaria y valores de algunas de sus coordenadas.
La circunferencia unitaria tiene cuatro sectores, que se pueden ver en la siguiente imagen:
Fig. 5. Circunferencia unitaria dividida en sectores.
La dirección en la cual se miden los valores es en el sentido contrario a las manecillas del reloj, donde el valor de cero está en el eje \(x\), el valor de un cuarto de revolución está en el eje \(y\), el valor de media revolución está en la dirección negativa del eje \(x\) y tres cuartos de revolución en la dirección negativa del eje \(y\). Esto lo puedes ver en la siguiente imagen:
Fig. 6. Dirección de la circunferencia unitaria.
La circunferencia unitaria es muy importante para las identidades trigonométricas. Estas identidades son el resultado de la relación de las funciones trigonométricas. Debido a que todas las funciones que existen son una relación entre el seno y el coseno, hay una identidad básica que es muy importante, esta es la suma de los cuadrados.
La suma de los cuadrados viene dada por la fórmula de la circunferencia unitaria.
Recuerda que la ecuación de una circunferencia es igual a:
\[x^2+y^2=r^2\]
Como ya mencionamos las coordenadas \(x, y\) son iguales a:
\[\sin(\theta)=x\]
\[\cos(\theta)=y\]
Por lo tanto si sustituimos esto en la fórmula de la circunferencia, obtenemos:
\[\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1\]
Esta identidad es la base de varias otras identidades como las que se ven en la siguiente tabla.
| Identidad |
\[\cos(2\theta)=\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta)\] |
\[\sin^2(\theta)={{1-\cos(2\theta)}\over{2}}\] |
\[\cos^2(\theta)={{1+\cos(2\theta)}\over{2}}\] |
\[\cos^2(\theta)\sin^2(\theta)={{1+\cos(4\theta)}\over{8}}\] |
\[(\sin(\theta)+\cos(\theta))^2-1=\sin(2\theta)\] |
Con estas identidades puedes encontrar cuánto vale una función en términos de otras cuando necesites hacer sustituciones algebraicas, integrales o derivadas.
Las identidades trigonométricas son muy útiles, ya que nos permiten resolver problemas complejas en los cuales una expresión algebraica se puede reducir o simplificar usando estas igualdades.El círculo unitario es la base de una de las identidades más famosas que existen: la suma de los cuadrados de \(\sin(\theta)\) y \(\cos(\theta)\).
\[\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1\]
Si observas el círculo unitario podrás comprobar que esto se cumple. Una demostración de esto son los puntos donde el círculo cruza los ejes, supongamos en \(y=0\).En \(y=0\), dentro del primer cuadrante:
\[\cos(0)=1\]
En \(x=0\), dentro del primer cuadrante:
\[\sin(0)=0\]
De tal modo que \(1^2+0^2=1\).
Veamos algunos ejercicios simples para que calcules los valores de las coordenadas en el círculo unitario.
Calcula el valor de las coordenadas para \(x\) y \(y\) cuando el ángulo \(\theta=43^o\).
Solución:
Para esto debemos usar las funciones que vimos anteriormente del seno y coseno.
\[\sin(\theta)=x\]
\[\cos(\theta)=y\]
Aquí sustituiremos \(\theta=43^o\), con lo que tenemos:
\[\sin(43^o)=x\]
\[\cos(43^o)=y\]
Si lo calculamos, obtenemos:
\[\sin(43^o)=0,68\]
\[\cos(43^o)=0,73\]
Si la circunferencia unitaria tiene un punto cuyas coordenadas son \(x=0\) e \(y=1\), cuál es el ángulo \(\theta\) del círculo unitario?
Solución:
Para esto debemos despejar las funciones trigonométricas, ya que lo que se tiene son los valores de \(x\) e \(y\).
\[\sin(\theta)=1\]
\[\cos(\theta)=0\]
Lo cual es:
\[\theta=\arcsin(1)\]
\[\theta=\arccos(0)\]
Si nos sabemos los valores de las funciones trigonométricas en los ángulos más importantes, podremos ver fácilmente que este ángulo corresponde a:
\[\theta=90º\]
Cuando trabajamos con una circunferencia unitaria también podemos hacerlo en radianes. No solo eso, la circunferencia unitaria también forma parte de los números complejos, ya que el plano complejo es una circunferencia unitaria si el módulo del número complejo es igual a uno. Veamos un ejemplo donde usamos esto.
El número complejo \(z\) tiene un módulo de uno, ¿cuál es su parte imaginaria y su parte real si su ángulo es de \(\pi\)?
Solución:
Sabemos que un número complejo tiene la forma:
\[z=a+ib\]
Donde \(a\) es su parte real que es la componente \(x\) y \(b\) es su parte imaginaria que es \(y\). Debido a que su módulo es uno y esto es igual a:
\[|z|=\sqrt{a^2+b^2}\]
Esto es igual a:
\[|z|=\sqrt{x^2+y^2}\]
Esto significa que \(|z|\) es la resultante y por lo tanto la hipotenusa, y debido a que la hipotenusa es el módulo \(z=1=r\), el número imaginario cumple:
\[1=\sqrt{x^2+y^2}\]
Lo cual es una circunferencia unitaria donde \((1)^2=1=r\). Debido a esto las coordenadas son las componentes:
\[x=\cos(\theta)=a\]
\[y=\sin(\theta)=b\]
Y podemos entonces usar las fórmulas para calcular cada componente:
\[a=\cos(\pi)=-1\]
\[b=\sin(\pi)=0\]
Así que el número imaginario es:
\[z=-1+0i=-1\]
Siendo la parte real:
\[\text{Re}\,z=-1\]
Y la parte imaginaria:
\[\text{Im}\,z=0\]
Regístrate gratis para acceder a todas nuestras tarjetas.
¿Qué es circunferencia unitaria y cuáles son ejemplos?
Es una circunferencia que tiene un radio unidad, con centro en el origen (0,0). Su ecuación es:
x2+y2=1
¿Cómo se hace la circunferencia unitaria?
Debes trazar una circunferencia cuyo radio es la unidad, la unidad depende de la escala que uses. Puede ser un metro, un decímetro, un centímetro, etc.
¿Cuáles son las razones trigonométricas en una circunferencia?
Seno, coseno, tangente y sus inversas.
¿Cuál es la ecuación de la circunferencia unitaria?
La ecuación de una circunferencia es (x-a)2+(y+b)2=r2
Para la circunferencia unitaria, a y b son iguales a 0 y r=1.
¿Cómo se resuelven las identidades trigonométricas?
Las identidades trigonométricas no se resuelven, sino que son fórmulas que puedes usar para simplificar tus ecuaciones y cálculos.
At StudySmarter, we have created a learning platform that serves millions of students. Meet the people who work hard to deliver fact based content as well as making sure it is verified.
Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
Get to know Lily
Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
Get to know Gabriel
StudySmarter es una compañía de tecnología educativa reconocida a nivel mundial, que ofrece una plataforma de aprendizaje integral diseñada para estudiantes de todas las edades y niveles educativos. Nuestra plataforma proporciona apoyo en el aprendizaje para una amplia gama de asignaturas, incluidas las STEM, Ciencias Sociales e Idiomas, y también ayuda a los estudiantes a dominar con éxito diversos exámenes y pruebas en todo el mundo, como GCSE, A Level, SAT, ACT, Abitur y más. Ofrecemos una extensa biblioteca de materiales de aprendizaje, incluidas tarjetas didácticas interactivas, soluciones completas de libros de texto y explicaciones detalladas. La tecnología avanzada y las herramientas que proporcionamos ayudan a los estudiantes a crear sus propios materiales de aprendizaje. El contenido de StudySmarter no solo es verificado por expertos, sino que también se actualiza regularmente para garantizar su precisión y relevancia.
Aprende másGuarda las explicaciones en tu espacio personalizado y accede a ellas en cualquier momento y lugar.
Regístrate con email Regístrate con AppleAl registrarte aceptas los Términos y condiciones y la Política de privacidad de StudySmarter.
¿Ya tienes una cuenta? Iniciar sesión
Regístrate para poder subrayar y tomar apuntes. Es 100% gratis.
La primera app de aprendizaje que realmente tiene todo lo que necesitas para superar tus exámenes en un solo lugar.
¿Ya tienes una cuenta? Iniciar sesión
La primera plataforma de aprendizaje con todas las herramientas y materiales de estudio que necesitas.
Resumenes 
Flashcards 
StudySmarter AI 
Apuntes 
Plan de estudios 
Sets de estudio 
Repeticion espaciada 
Exámenes 
Magazine 
Hacer carrera 
Formacion Profesional 
Mobile App 
