Composición: 'Estructura', 'Tipos'

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Significado de la composición

En matemáticas, podemos generar una función singular, más compleja, a partir de múltiples funciones simples. Este proceso se conoce como composición, donde consideramos la salida de una función como la entrada de otra función.

La composición de funciones es un proceso matemático en el que dos funciones se combinan para generar una función compuesta. La salida de una función se utiliza como entrada de otra.

Podemos denotar las funciones compuestas como $f \circ g$ o $T \circ S$ donde f y g son funciones y T y S son transformaciones. La composición también se puede denotar como $f (g (x)) .$ La composición de dos funciones f y g da una nueva función h. Es importante conocer el orden de las funciones, ya que afecta a la producción de la nueva función compuesta. Por ejemplo, utilizar la salida de la función f como entrada de la función g para obtener la función compuesta h no es lo mismo que utilizar la función g como entrada de la función f.

También podemos utilizar el concepto de composición en Geometría, llamado composición de transformaciones, que se produce sobre formas (o figuras) y no sobre funciones. Las transformaciones en Geometría incluyen traslaciones, reflexiones, rotaciones, etc.

Una composición de transformaciones es un proceso en el que se realiza una combinación de transformaciones sobre una forma o figura de forma consecutiva, y la forma transformada resultante de una transformación se utiliza como punto de partida en la siguiente transformación.

En este artículo exploramos la composición tanto en términos de transformaciones como de funciones.

Composición de transformaciones

Consideremos una transformación T que mapea del punto A al B y otra transformación S que mapea del punto B al C. A partir de estas transformaciones T y S, podemos producir una nueva transformación compuesta que puede mapear directamente del punto A al C, llamada compuesta de S y T. La denotamos como $S \circ T$ y la enunciamos como "S de T".

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Aquí, aplicamos primero la transformación T, y luego aplicamos la transformación S. Por tanto, podemos representar esta composición como: $C = S (B) = S (T (A)) = (S \circ T) (A)$

Un ejemplo de composición de transformaciones es una reflexión de deslizamiento. Es la composición de una reflexión y una traslación.

Declaraciones sobre la composición de las transformaciones

Veamos algunos teoremas sobre la composición de transformaciones.

Teorema 1: Teorema de composición

La composición de dos isometrías es una isometría.

Teorema 2:Teorema de las reflexiones en líneas paralelas

Una composición de reflexiones en dos rectas paralelas es una traslación. Es decir, para dos rectas paralelas l y m, la reflexión en l y luego la reflexión en m es lo mismo que una traslación.

Teorema 3: Teorema de la reflexión en rectas que se intersecan

Una composición de reflexiones en dos rectas que se intersecan es una rotación alrededor del punto de intersección de esas dos rectas. En otras palabras, si l y m son dos rectas que se cruzan en el punto O, la reflexión en l y luego la reflexión en m es lo mismo que una rotación alrededor del punto O.

Teorema 4: Reflexión en rectas perpendiculares

Una composición de reflexiones en rectas perpendiculares es una media vuelta alrededor del punto de intersección de las rectas.

Teorema 5: Composición de rotaciones

La composición de dos rotaciones respecto a un mismo punto vuelve a ser una rotación.

Teorema 6: Composición de traslaciones

La composición de dos traslaciones también es una traslación.

Ejemplos de composición de traducciones

Veamos un ejemplo trabajado sobre la composición de traslaciones.

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Halla la composición en la rotación dada.

Solución: Aquí, el grado de rotación del arco PP' es $90 °$ y el grado de rotación del arco P'P'' es $45 ° .$ Entonces, para el grado de rotación del arco PP'', utilizamos la composición de la rotación. Esto significa simplemente que sumamos los grados de rotación de las dos rotaciones para obtener nuestra composición de rotación.

$\Rightarrow (R C, 90 ° \circ R C, 45 °) = (R C, 135 °)$

Composición de funciones

Si dos funciones $f (x)$ y $g (x)$ podemos combinarlas para crear una nueva función compuesta. Esto significa que tomamos la función g y la utilizamos como entrada para la otra función f. Entonces, la composición de estas funciones se denota como $f (g (x))$ o $(f \circ g) (x) .$ La llamamos "f de g de x".

También podemos formar una función compuesta utilizando un orden inverso, en el que consideramos la función f como la entrada de la función g. En este caso, la representamos la función compuesta como $g (f (x))$ o $(g \circ f) (x) .$

Observa que $g (f (x))$ y $f (g (x))$ darán lugar a funciones diferentes a menos que sean inversas perfectas (opuestas) entre sí, en cuyo caso $f (g (x)) = g (f (x)) = x .$

Orden de composición de funciones

Cuando se trata de composición, es importante tener en cuenta el orden de las funciones f y g. Aquí se presenta un ejemplo para comprender mejor este concepto.

Considera dos funciones $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x + 2 .$ Ahora hallaremos las composiciones $f \circ g$ y $g \circ f$ y comprobaremos si dan las mismas respuestas o diferentes.

$f \circ g (x) = f (g (x)) = f (x + 2) = {(x + 2)}^{2} = x^{2} + 2 x + 4$

En la ecuación anterior, utilizamos la función g como entrada de la función f. Consideremos ahora una función compuesta en la que utilizamos la función f como entrada de la función g.

$g \circ f (x) = g (f (x)) = g (x^{2}) = x^{2} + 2$

Podemos ver la diferencia entre ambas composiciones. Dicho de otro modo, $f \circ g (x) d o e s n o t e q u a l g \circ f (x)$ .

Dominio de las funciones compuestas

Todos los valores que acepta la función concreta se denominan dominio de dicha función. Sin embargo, en el caso de una composición de funciones, se trata de dos funciones distintas. Por tanto, es necesario tener en cuenta ambas funciones cuando se trata del dominio de una función compuesta.

Hay ocasiones en las que no podemos componer algunas funciones concretas para todos los valores de x. Por tanto, en esta situación, restringiremos algunos valores de x para poder utilizar la composición. Esos valores restringidos se convierten en el dominio de esa función. En las composiciones, el dominio de la segunda función puede ser el mismo que el de la primera o estar dentro de él.

Consideramos dos funciones $f (x) = 4 x - 6, g (x) = x .$ Aquí vamos a encontrar el dominio para la composición $g (f (x)) .$

Como la función g es la raíz cuadrada, sólo podemos considerar valores mayores o iguales que cero para x.

Ahora, la función f se convertirá en la entrada de la función g. Por tanto, f debe tener valores mayores o iguales que cero.

Así que $f (x) \geq 0$ sólo será posible cuando se considere el valor x como $x \geq \frac{3}{2}$ sea considerado.

Aquí el valor de x se obtiene como:

$f (x) \geq 0 \Rightarrow 4 x - 6 \geq 0 \Rightarrow 4 x \geq 6 \Rightarrow x \geq \frac{6}{4} \Rightarrow x \geq \frac{3}{2}$

Por tanto, la función de composición $g (f (x))$ tiene un dominio de $x \geq \frac{3}{2} .$

Ámbito de las funciones compuestas

El rango de una función se refiere a los valores de salida de esa función. Podemos calcular el rango de la función compuesta igual que hacemos con el rango de cualquier otra función. El alcance de la función compuesta puede ser el mismo que el de la segunda función (es decir, la función externa) o estar dentro de él.

Sea $f (x) = x - 8, g (x) = x^{2} .$ Hallaremos la composición $g (f (x)) .$ Aquí la función f puede tomar cualquier valor. Pero la segunda función g tiene forma de cuadrado. Así que los valores serán mayores que iguales a cero. Ahora para la composición $g (f (x))$ tenemos:

$g (f (x)) = g (x - 8) = {(x - 8)}^{2} = x^{2} - 16 x + 64$

Como f puede ser cualquier cosa y aplicándole g, donde g puede ser mayor o igual que cero, el rango de la composición $g (f (x))$ será mayor o igual que cero.

Ejemplos de composición de funciones

Vamos a entender mejor la composición de funciones con algunos ejemplos trabajados.

Dos funciones $f (x) = 3 x$ y $g (x) = 2 x^{2} - 5$ están dadas. Halla la composición $(g \circ f) (x) .$

Solución: Aquí tenemos que hallar $g \circ f .$ Así que primero consideraremos la función y luego la utilizaremos como entrada para la función g. Así que podemos escribirla como

$(g \circ f) (x) = g (f (x)) = g (3 x) = 2 {(3 x)}^{2} + 5 = 2 (9 x^{2}) + 5 = 18 x^{2} + 5$

Encuentra $f (g (- 1))$ para las funciones $f (x) = x^{2} - 2 x$ y $g (x) = x - 5 .$

Solución: Se nos pide que calculemos la composición de f y g cuando el valor de x viene dado como $(- 1) .$ En primer lugar, utilizamos la función g como entrada para la función f. Para ello, sustituimos la variable x en la función f por la función entera de g, es decir id="5166198" role="math" $g (x) = x - 5$ .

Nota: La función de entrada va en cada valor de x y no sólo en el primer valor.

$f (x - 5) = {(x - 5)}^{2} - 2 (x - 5) = x^{2} - 10 x + 25 - 2 x + 10 = x^{2} - 12 x + 35$

Para el último paso, simplemente introducimos el valor de x, -1, en la ecuación compuesta anterior.

$f (g (x)) = x^{2} - 12 x + 35 ∴ f (g (- 1)) = {(- 1)}^{2} - 12 (- 1) + 35 = 48$

Alternativamente, también podemos utilizar el siguiente enfoque para resolver la composición. Primero, evaluamos $g (x)$ :

$\Rightarrow g (x) = x - 5 ∴ g (- 1) = - 1 - 5 = - 6$

A continuación, seguimos adelante utilizando el valor calculado anteriormente como entrada para la función f.

$f (g (- 1)) = f (- 6) = x^{2} - 2 x = {(- 6)}^{2} - 2 (- 6) = 36 + 12 = 48$

$∴ f (g (- 1)) = 48$

Composición - Puntos clave

La composición de funciones es un proceso matemático en el que dos funciones se combinan para generar una función compuesta. La salida de una función se utiliza como entrada de otra.
Una composición de transformaciones es un proceso en el que una combinación de transformaciones (traslaciones, rotaciones, reflexiones, etc.) se realiza sobre una forma o figura consecutivamente, y la forma transformada resultante de una transformación se utiliza como punto de partida en la transformación siguiente.
Cuando se trata de composición, el orden de las funciones f y g es importante.
En la composición, el dominio de la segunda función puede ser el mismo que el de la primera o estar dentro de él.
El ámbito de la función compuesta puede ser el mismo que el de la segunda función (es decir, la función externa) o estar dentro de él.

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Preguntas frecuentes sobre Composición (Matemáticas)

¿Qué es la composición de funciones en matemáticas?

La composición de funciones es la aplicación de una función sobre el resultado de otra. Se expresa como (f◦g)(x)=f(g(x)).

¿Cómo se resuelve una composición de funciones?

Para resolver una composición de funciones, primero calcula g(x) y luego aplica esa salida a la función f(x).

¿Cuál es la notación de la composición de funciones?

La notación típica es (f◦g)(x), donde g(x) se aplica primero y luego f(x) usa ese resultado.

¿Qué significa f◦g(x) en composición de funciones?

En la composición de funciones, f◦g(x) significa que aplicas primero la función g a x, y luego aplicas la función f al resultado de g(x).

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