Cónicas

Lugares geométricos

En geometría existen puntos que cumplen ciertas características. Estas características definen sus trazos y, por ende, su forma. Estos son los lugares geométricos.

Por supuesto, las condiciones que deben cumplir estos puntos que generan una línea están expresadas en forma de ecuaciones o relaciones geométricas. De este modo, podemos expresar como lugares geométricos muchas de las formas estudiadas en geometría.

Ahora, vamos a estudiar las cónicas como lugares geométricos.

Cónicas

Las cónicas son figuras geométricas que pueden definirse como lugares geométricos en el plano. A continuación, verás las cuatro más importantes. Al final, comprenderás cómo las cónicas pueden obtenerse también a partir del corte de un plano con un cono doble. Esto es lo que se denomina secciones cónicas.

Circunferencia

La circunferencia es la cónica más conocida, está formada por un centro y un radio.

Con esta definición, podemos hallar la ecuación de la circunferencia:

1. Determinando los puntos \(P(x,y)\), que están a una distancia \(r\) del centro \(C(c_1,c_2)\): \[d(P,C)=\sqrt{(x-c_1)^2+(y-c_2)^2}=r\]

2. Haciendo el cuadrado de la expresión anterior, \[(x-c_1)^2+(y-c_2)^2=r^2\]

3. Para llegar a la ecuación reducida de la circunferencia de radio \(r\) con centro en \(C(c_1,c_2)\).

Elipse

Hallar la ecuación de la elipse es algo más complicado que con la circunferencia, aunque es un proceso similar.

La ecuación reducida de la elipse es:

\[\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\]

Donde \(a\) y \(b\) son el eje mayor y el eje menor, respectivamente.

Parábola

Después de imponer estas condiciones podemos llegar a la ecuación reducida de la parábola, que tiene la forma:

\[x^2=2py\]

Siendo \(p\) la distancia del foco a la directriz.

La parábola es una curva que tiene un solo máximo o mínimo, dependiendo de si abre hacia arriba o hacia abajo. Además una parábola tiene un punto donde deja de crecer y empieza a decrecer (si tiene un máximo) —o el proceso contrario, si tiene un mínimo—.

Esto se puede ver en la imagen siguiente:

Fig. 1. Representación de una parábola y su mínimo \(O\) en el origen de coordenadas \((0,0)\).

Hipérbola

Desarrollando esto, podemos llegar a la ecuación reducida de la hipérbola:

\[\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\]

Las hipérbolas tienen la importante característica de que no son continuas: hay un rango o punto donde no existen. Conforme se acerca a ese punto, se dice que la función diverge. Esto, en tus cursos de cálculo y análisis, es muy importante, ya que define lo que es un límite y una discontinuidad.

La definición depende de si la hipérbola es vertical u horizontal. Un caso curioso es que la función \(y=\dfrac{1}{x}\) es, de hecho, una hipérbola; aunque la ecuación no lo parezca.

De hecho, esta función pertenece a la familia de funciones \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\). Esta es la ecuación de la hipérbola.

Fig. 2. Representación de la hipérbola con ecuación \(y=1/x\).

Secciones cónicas

Las secciones cónicas no solo incluyen curvas; la recta y el punto también se pueden generar a partir de la intersección tangencial de un plano con el cono.

Fig. 3. Representación de la recta como generatriz del cono en el espacio.

Teniendo como referencia el eje vertical del cono, llamando \(\alpha\) al ángulo que forma este eje con respecto a las generatrices del cono, siendo la tangente de este ángulo la división entre el radio y la altura del cono \(\alpha=\arctan\left(\dfrac{r}{h}\right)\), podemos hacer que un plano corte al cono con otro ángulo \(\theta\) con respecto al eje vertical del cono.

Dependiendo de la relación entre los ángulos \(\alpha\) y \(\theta\), se obtienen cada una de las cónicas. A partir de eso, podemos redefinir las cónicas como secciones cónicas.

La circunferencia surge al cortar el cono doble perpendicularmente con un plano para formar un ángulo \(\theta=90º\).

Supongamos que cortamos el cono con un plano formando un ángulo \(\theta\), de tal modo que \(\theta>\alpha\). Se obtiene, entonces, una elipse.

Imagina, ahora, que cortas el cono por un costado, de modo que la relación entre ángulos es \(\theta=\alpha\). En este caso, se tiene una parábola.

En un último caso, piensa que cortas el cono con un plano formando una relación de ángulos de \(\theta<\alpha\). En este caso, tendrás dos curvas: dos hipérbolas que están una enfrente de la otra.

Fig. 4. Secciones cónicas a partir del corte de un plano con un cono doble.

De este modo, hemos podido obtener las cuatro cónicas simplemente haciendo la intersección de un plano con un cono doble; es por esto que estas figuras reciben el nombre de cónicas.